2015年福建省三明市中考数学试卷解析
2015年福建省三明市建宁县初中学业质量检查数学试卷及参考答案
2015年福建省三明市建宁县初中学业质量检查数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都只有一个正确答案，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）在，，0，﹣0.2四个数中，最大的数是（）A．0 B．C．D．﹣0.22．（4分）三明市地处福建省中西部，面积为22900平方千米，将22900用科学记数法表示为（）A．229×102B．22.9×103C．2.29×104D．0.229×1053．（4分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（）A．B．C．D．5．（4分）在一个不透明的袋子里装有12个白球，若干个红球，它们除颜色不同外其余都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则红球的个数为（）A．18 B．20 C．24 D．286．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．30°C．24°D．18°7．（4分）如图：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．任意四边形8．（4分）如图：⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于P，已知BP：AP=1：4，则CD的长为（）A．10 B．8 C．6 D．49．（4分）小明同学到文具店为班级购买圆珠笔和本子，圆珠笔每支0.8元，本子每个1.2元，小明带了10元钱，则可供其选择的购买方案的个数为（两样都必需购买，并把钱用完）（）A．7 B．6 C．5 D．410．（4分）如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）计算：（2x）2•3x=．12．（4分）已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3），则在每个象限中，其函数值y随x的增大而．13．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．14．（4分）如图：△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在弧AC上，则∠D的大小为．15．（4分）三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是．16．（4分）已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2﹣4x+a=0的两根，当直线m与⊙O相切时，a=．三、解答题：（共7题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．18．（7分）如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段BD的长．19．（8分）先化简，再求值：，其中，．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）请你找一个你认为适合的数，代入上式求出这个方程的根．21．（10分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．22．（10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力．公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息1：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工的数量的1.5倍．信息2：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用10天；根据以上信息，求两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（要求用直接设元和间接设元两种不同的方法列出方程或方程组，而直接设元要求做出详细解答；间接设元列出方程即可，不需解答．）23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．24．（12分）（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=，△EFC的面积S1=，△ADE的面积S2=．探究发现（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．25．（14分）如图，已知抛物线y=k（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为x=﹣4，求这个一次函数与抛物线的解析式；（2）在（1）问的条件下，若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？（3）问原抛物线在第一象限是否存在点P，使得△APB∽△ABC？若存在，请直接写出这时k的值；若不存在，请说明理由．2015年福建省三明市建宁县初中学业质量检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都只有一个正确答案，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）在，，0，﹣0.2四个数中，最大的数是（）A．0 B．C．D．﹣0.2【分析】根据正数大于一切负数，0大于负数，数轴上右边的数总比左边的大即可确定最大的数．【解答】解：∵0大于负数，∴在，，0，﹣0.2四个数中，最大的数是0，故选：A．2．（4分）三明市地处福建省中西部，面积为22900平方千米，将22900用科学记数法表示为（）A．229×102B．22.9×103C．2.29×104D．0.229×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将22900用科学记数法表示为2.29×104．故选：C．3．（4分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】原式各项合并得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式不能合并，错误；C、原式=2，错误；D、原式=2÷=2，正确，故选：D．4．（4分）将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（）A．B．C．D．【分析】本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A、出现了田字格，故不能；B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；C、可以拼成一个正方体．故选C．5．（4分）在一个不透明的袋子里装有12个白球，若干个红球，它们除颜色不同外其余都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则红球的个数为（）A．18 B．20 C．24 D．28【分析】首先设红球的个数为x个，根据题意得：=，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：=，解得：x=24，经检验：x=24是原分式方程的解；所以红球的个数为24．故选：C．6．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．30°C．24°D．18°【分析】首先根据AB=AC，判断出∠ABC=∠C；然后根据三角形的内角和定理，求出∠C的度数；最后用90°减去∠C的度数，求出∠DBC的度数是多少即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠C=（180°﹣36°）÷2=144°÷2=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣72°=18°即∠DBC的度数是18°．故选：D．7．（4分）如图：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．任意四边形【分析】如图，首先证明四边形ADCF是平行四边形；然后证明CD⊥AB，得到四边形ADCF为矩形，即可解决问题．【解答】解：如图，由旋转变换的性质得：AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形；∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，四边形ADCF为矩形，故选：A．8．（4分）如图：⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于P，已知BP：AP=1：4，则CD的长为（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】连接OC，由于AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，所以CD=2CP，再由AB=10，BP：AP=1：4，可求出OC及OP的长，在Rt△CPO中利用勾股定理可求出CP的长，故可得出结论．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，∴CD=2CP，∵AB=10，BP：AP=1：4，∴OC=OB=5，BP=2，AP=8，∴OP=OB﹣BP=3，在Rt△C，PO中，CP==4，∴CD=8．故选：B．9．（4分）小明同学到文具店为班级购买圆珠笔和本子，圆珠笔每支0.8元，本子每个1.2元，小明带了10元钱，则可供其选择的购买方案的个数为（两样都必需购买，并把钱用完）（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】设购买购买x支圆珠笔，y本本子，根据题意得出：0.8x+1.2y=10，进而求出即可．【解答】解；设购买x支圆珠笔，y本本子，根据题意得出：0.8x+1.2y=10，整理得：2x+3y=25，当x=2时，y=7；当x=5时，y=5；当x=8时，y=3；当x=11时，y=1；综上所述，共有4种购买方案．故选：D．10．（4分）如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时，为45°，②P在CD之间，∠APB保持45°，大小不变，③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时，为90°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）计算：（2x）2•3x=12x3．【分析】原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=4x2•3x=12x3，故答案为：12x312．（4分）已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3），则在每个象限中，其函数值y随x的增大而增大．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（2，﹣3），∴把（2，﹣3）代入得﹣6=k＜0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而增大，故答案为：增大；13．（4分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，∴正面向上的概率为．故答案为：．14．（4分）如图：△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在弧AC上，则∠D的大小为60°．【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠C的度数，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，∴∠C=180°﹣70°﹣50°=60°，∴∠D=∠C=60°．故答案为60°．15．（4分）三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是90°．【分析】首先根据AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAF的平分线，判断出∠BAD=∠CAD，∠BAE=∠EAF，进而判断出∠BAD+∠BAE=∠CAD+∠EAF；然后根据∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠EAF=180°，求出∠BAD+∠BAE的度数，即可判断出三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是多少．【解答】解：如图，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAF的平分线，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAE=∠EAF，∴∠BAD+∠BAE=∠CAD+∠EAF，又∵∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠EAF=180°，∴∠BAD+∠BAE=180°÷2=90°即∠DAE=90°，∴三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是90°．故答案为：90°．16．（4分）已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2﹣4x+a=0的两根，当直线m与⊙O相切时，a=4．【分析】若直线和圆相切，则d=r．即方程有两个相等的实数根，得16﹣4a=0，a=4．【解答】解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16﹣4a=0，∴a=4，故答案为：4三、解答题：（共7题，满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进一步在数轴上表示即可．【解答】解：由①得x≤3，由②得x＞﹣2，故原不等式组的解集为﹣2＜x≤3．在数轴上表示为：18．（7分）如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段BD的长．【分析】首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，然后由角平分线的性质求出∠CAD=30°，再根据特殊角的三角函数值即可求出AD的长度，最后根据AD=BD即可得出答案．【解答】解∵△ABC中，∠C=90°∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∴AD=BD，在Rt△ADC中，AD===2，∴BD=2．19．（8分）先化简，再求值：，其中，．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=[﹣]•=•=，当a=，b=时，原式=．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）请你找一个你认为适合的数，代入上式求出这个方程的根．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）确定m=1，代入求得方程的根即可．【解答】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：当m=1时，原方程为x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2．21．（10分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为50，图①中m的值是32；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．【分析】（1）用5元学生数除以5元学生占抽样调查学生数的百分比求解即可．（2）利用平均数，众数和中位数的定义求解．（3）该校总人数乘捐款为10元的学生的百分比．【解答】解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为：4÷8%=50（人），1﹣24%﹣20%﹣16%﹣8%=32%，所以m=32，故答案为：50，32．（2）本次调查获取的样本数据的平均数：（4×5+10×16+15×12+20×10+30×8）÷50=16（元），求本次调查获取的样本数据的众数是10，本次调查获取的样本数据的中位数是15．（3）该校本次活动捐款为10元的学生人数为：700×32%=224（人）．22．（10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力．公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息1：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工的数量的1.5倍．信息2：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用10天；根据以上信息，求两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（要求用直接设元和间接设元两种不同的方法列出方程或方程组，而直接设元要求做出详细解答；间接设元列出方程即可，不需解答．）【分析】设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可【解答】解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，根据题意得，﹣=10，解得x=40，经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意，1.5x=1.5×40=60，答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．设甲工厂单独加工完成这批产品用x天，乙工厂单独加工完成这批产品用y天，由题意得：．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB，∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．24．（12分）（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=6，△EFC的面积S1=9，△ADE的面积S2=1．探究发现（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．【分析】（1）四边形DBFE是平行四边形，利用底×高可求面积；△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADE的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是▱，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S 1：S2=a2：b2，由于S1=bh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=ah，容易证出结论；（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求▱DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．【解答】（1）解：S=6，S1=9，S2=1；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC，∴，∵，∴，∴，而S=ah，∴S2=4S1S2；（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF，∴BH=EF∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF，∴△GHC的面积为5+3=8，由（2）得，▱DBHG的面积为，∴△ABC的面积为2+8+8=18．25．（14分）如图，已知抛物线y=k（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为x=﹣4，求这个一次函数与抛物线的解析式；（2）在（1）问的条件下，若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？（3）问原抛物线在第一象限是否存在点P，使得△APB∽△ABC？若存在，请直接写出这时k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B点坐标代入y=﹣x+b中求出得b=2，则可得到一次函数解析式为y=﹣x+2，接着利用一次函数解析式确定D点坐标，然后把D点坐标代入代入y=k（x+2）（x ﹣4）中求出k的值即可得到得抛物线解析式；（2）利用二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，可设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根据二次函数的性质求解；（3）作PH⊥x轴于H，如图，先表示出C点坐标为（0，﹣8k），设P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根据相似三角形的判定方法，当∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC时，△APB∽△ABC；再根据正切定义，在Rt△APH中有tan∠PAH=，在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，则=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接着利用勾股定理计算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到10•2=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可确定P点坐标．【解答】解：（1）当y=0时，k（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，则A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=﹣x+b得﹣2+b=0，解得b=2，所以一次函数解析式为y=﹣x+2，当x=﹣4时，y=﹣x+2=4，则D点坐标为（4，4），把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得k•（﹣2）•（﹣8）=4，解得k=，所以抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；（2）设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，所以当t=0时，EF最大，最大值为4，即当直线m移动到与y轴重合的位置时，EF的值最大，最大值是4；（3）存在．作PH⊥x轴于H，如图，当x=0时，y=k （x +2）（x ﹣4）=﹣8k ，则C （0，﹣8k ）， 设P [n ，k （n +2）（n ﹣4）]，当∠PAB=∠CAB ，AP ：AB=AB ：AC 时，△APB ∽△ABC ； 在Rt △APH 中，tan ∠PAH=，在Rt △OAC 中，tan ∠OAC==4k ，∴=4k ，解得n=8，则P （8，40k ）， ∴AP===10，而AC===2， ∵AP ：AB=AB ：AC ， ∴AP•AC=AB 2， 即10•2=62，∴5（16k 2+1）=9，解得k 1=，k 2=﹣（舍去），∴k=，P 点坐标为（8，4）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2015年福建省三明市梅列区初中学业质量检查数学试卷(解析版)
2015年福建省三明市梅列区初中学业质量检查数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡的相应位置填涂1．（4分）4的算术平方根是（）A．4 B．﹣2 C．2 D．±22．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a6B．a•a2=a2C．a3+a2=a6 D．（3a）3=9a33．（4分）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°4．（4分）我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示正确的是（）A．7.5×105B．75×10﹣6C．0.75×10﹣4D．7.5×10﹣55．（4分）用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能的是（）A．B． C．D．6．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．（4分）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（）A．39，40 B．42，37 C．39，41 D．41，428．（4分）如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A．30 B．24 C．18 D．69．（4分）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2+3x﹣1=0 C．x2+x+1=0D．x2﹣2x+3=010．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上，则k的值为（）A．9 B．9 C．3 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.将答案填入答题卡的相应位置.11．（4分）因式分解：6a2﹣3a=．12．（4分）已知，函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k时，它是一次函数．13．（4分）在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是．14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BOD=度．15．（4分）“五一”期间，新华都百货商品按标价打八折促销，小玲购买了一件商品，付款56元，则该商品的标价为元．16．（4分）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1、A2、A3…．若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，从A2点到A3点的回形线为第3圈，…，依此类推，则第10圈的长为．三、解答题：本大题共9小题，计86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.17．（6分）计算：|﹣3|﹣（3.14﹣π）0+（﹣1）﹣3．18．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣2．19．（8分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB的长．20．（10分）如图，在8×8的方格中建立平面直角坐标系，有点A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0），P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2）．（1）画出平移后的△A1B1C1，写出点A1、C1的坐标；（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中D点的坐标．21．（10分）为迎接“文明城”的检查，某区计划在公共场所安置温馨提示牌和垃圾箱，已知购买5个温馨提示牌和6个垃圾箱共需730元，购买7个温馨提示牌和12个垃圾箱共需1310元．问：（1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？（2）如果该区购买温馨提示牌数量是垃圾箱数的2倍，且所需费用不超过1500元，则最多购买温馨提示牌和垃圾箱数各多少个？22．（10分）某商场对A、B两个品牌的智能扫地机在四个月的试销期内共售出400台进行统计，绘制了两幅统计图（如图所示），请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）第四个月销量占总销量的百分比是；（2）第三、四两月，B品牌的智能扫地机售出的台数分别是，在图2中补全表示B品牌智能扫地机月销量的折线；（3）商场为跟踪调查这两款机的使用情况，从第四个月售出的机中，随机抽取一台，求抽到B品牌智能扫地机的概率；（4）经计算，两个品牌智能扫地机月销量的平均水平相同，请你结合折线统计图的走势进行简要分析，判断该商场应经销哪个品牌的智能扫地机．23．（10分）如图，在等腰△ABC中，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）已知：AD=4，AE=3，求⊙O的半径．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣4a与直线y=﹣x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP 的面积．25．（14分）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将Rt△ABC绕点B顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），得到Rt△A′BC′，直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图①，当点C′在AB边上时，判断线段AD和A′D之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将Rt△A′BC′由图①的位置旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图①的位置按顺时针方向旋转，当A、C′、A′三点在一条直线上时，请画出示意图，并写出旋转角的度数．2015年福建省三明市梅列区初中学业质量检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡的相应位置填涂1．（4分）4的算术平方根是（）A．4 B．﹣2 C．2 D．±2【分析】本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题．【解答】解：∵=2，∴4的算术平方根是2．故选：C．2．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a6B．a•a2=a2C．a3+a2=a6 D．（3a）3=9a3【分析】A、根据幂的乘方的定义解答；B、根据同底数幂的乘法解答；C、根据合并同类项法则解答；D、根据积的乘方的定义解答．【解答】解：A、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确；B、a•a2=a1+2=a3，故本选项错误；C、a3和a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D（3a）3=27a3，故本选项错误．故选：A．3．（4分）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．故选：D．4．（4分）我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示正确的是（）A．7.5×105B．75×10﹣6C．0.75×10﹣4D．7.5×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000075=7.5×10﹣5，故选：D．5．（4分）用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能的是（）A．B． C．D．【分析】根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．【解答】解：当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；所以截面的形状不可能是直角三角形．故选：B．6．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等零．【解答】解：依题意得，x+1=0，解得x=﹣1．当x=﹣1时，分母x+2≠0，即x=﹣1符合题意．故选：B．7．（4分）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（）A．39，40 B．42，37 C．39，41 D．41，42【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答，即可求出答案．【解答】解：∵39出现了2次，出现的次数最多，∴众数是39；把这6个数从小到大排列为：37，39，39，41，42，45，∵共有6个数，∴中位数是第3个和4个数的平均数，∴中位数是（39+41）÷2=40；故选：A．8．（4分）如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A．30 B．24 C．18 D．6【分析】根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了．【解答】解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，故选：B．9．（4分）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2+3x﹣1=0 C．x2+x+1=0D．x2﹣2x+3=0【分析】利用一元二次方程的根的判别式计算分别求出判别式的值，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，方程有两相等实数根．B、x2+3x﹣1=0，△=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，方程有两个不相等的实数根．C、x2+x+1=0，△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根．D、x2﹣2x+3=0，△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程没有实数根．故选：B．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上，则k的值为（）A．9 B．9 C．3 D．3【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．【解答】解：连接OB，过B作BG⊥OA于G，∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB=OA=AB=6，∵BG⊥OA，∴∠BGO=90°，∴∠OBG=30°，∴OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，即B的坐标是（3，3），∵B点在反比例函数y=上，∴k=3×3=9，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.将答案填入答题卡的相应位置.11．（4分）因式分解：6a2﹣3a=3a（2a﹣1）．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出即可．【解答】解：6a2﹣3a=3a（2a﹣1）．故答案为：3a（2a﹣1）．12．（4分）已知，函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k≠1时，它是一次函数．【分析】根据一次函数的定义，令k﹣1≠0即可．【解答】解：根据一次函数定义得，k﹣1≠0，解得k≠1．故答案为：≠1．13．（4分）在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是0.88．【分析】中奖与不中奖的总概率和为1，只要用1减去中奖的概率即可得出不中奖的概率．【解答】解：不中奖的概率为：1﹣0.12=0.88．14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BOD=120度．【分析】根据圆内接四边形的性质，可求得∠A的度数，根据圆周角定理，可求得∠BOD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°∴∠A=180°﹣∠BCD=180°﹣120°=60°故∠BOD=2∠A=2×60°=120°．15．（4分）“五一”期间，新华都百货商品按标价打八折促销，小玲购买了一件商品，付款56元，则该商品的标价为70元．【分析】设该商品的标价为x元，由新华都百货商品按标价打八折促销，小玲购买了一件商品，付款56元，列出方程0.8x=56，解得即可．【解答】解：设该商品的标价为x元，由题意得：0.8x=56，解得：x=70．答：该商品的标价为70元．故答案为70．16．（4分）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1、A2、A3…．若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，从A2点到A3点的回形线为第3圈，…，依此类推，则第10圈的长为79．【分析】结合图形根据长方形的周长公式计算几个特殊值．【解答】解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n圈的长是2（2n﹣1+2n）+1=8n﹣1．当n=10时，原式=80﹣1=79．故答案为79．三、解答题：本大题共9小题，计86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.17．（6分）计算：|﹣3|﹣（3.14﹣π）0+（﹣1）﹣3．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣1﹣1=1．18．（6分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣2．【分析】原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣x+5x﹣5+x2﹣4x+4=2x2﹣1，当x=﹣2时，原式=8﹣1=7．19．（8分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB的长．【分析】根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，BC=10m，∴AC=10m，∴AB==20m．答：坡面AB的长为20m．20．（10分）如图，在8×8的方格中建立平面直角坐标系，有点A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0），P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2）．（1）画出平移后的△A1B1C1，写出点A1、C1的坐标；（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中D点的坐标．【分析】（1）根据P点对应点变化规律得出△ABC平移规律进而求出即可；（2）利用平行四边形的判定与性质得出符合题意的答案．【解答】解：（1）∵P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2），∴平移后的△A1B1C1，个点坐标分别为：A1（2，4）、C1（3，2）、B1（1，3），如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：D（0，1），D1（﹣2，﹣1），D2（﹣4，3）．21．（10分）为迎接“文明城”的检查，某区计划在公共场所安置温馨提示牌和垃圾箱，已知购买5个温馨提示牌和6个垃圾箱共需730元，购买7个温馨提示牌和12个垃圾箱共需1310元．问：（1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？（2）如果该区购买温馨提示牌数量是垃圾箱数的2倍，且所需费用不超过1500元，则最多购买温馨提示牌和垃圾箱数各多少个？【分析】（1）先设安装1个温馨提示牌需要x元，1个垃圾箱需要y元，根据安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元，安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310元，列出方程组，求出方程组的解即可．（2）设买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌2m个，根据题意得：80m+50•2m≤1500，解得：m，因为m为正整数，所以m的最大值为8，即可解答．【解答】解：（1）设购买1个温馨提示牌需x元，购买1个垃圾箱需y元，根据题意得：，解得答：购买1个温馨提示牌需50元，购买1个垃圾箱需80元．（2）设买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌2m个，根据题意得：80m+50•2m≤1500，解得：m，∵m为正整数，∴m的最大值为8，2×8=16（个），∴最多购买温馨提示牌16个，垃圾箱数8个．22．（10分）某商场对A、B两个品牌的智能扫地机在四个月的试销期内共售出400台进行统计，绘制了两幅统计图（如图所示），请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）第四个月销量占总销量的百分比是30%；（2）第三、四两月，B品牌的智能扫地机售出的台数分别是50台、80台，在图2中补全表示B品牌智能扫地机月销量的折线；（3）商场为跟踪调查这两款机的使用情况，从第四个月售出的机中，随机抽取一台，求抽到B品牌智能扫地机的概率；（4）经计算，两个品牌智能扫地机月销量的平均水平相同，请你结合折线统计图的走势进行简要分析，判断该商场应经销哪个品牌的智能扫地机．【分析】（1）根据扇形统计图可得出第四个月销量占总销量的百分比是1﹣15%﹣30%﹣25%=，再计算即可，（2）根据扇形统计图求出第三、四两月的销量，再分别减去A品牌的智能扫地机售出的台数，再画图即可，（3）根据第四个月售出的机中，A品牌智能扫地机和B品牌智能扫地机的数量，代入概率公式计算即可，（4）根据折线统计图的走势分析，得出B品牌智能扫地机的销量是上升趋势，从而得出答案．【解答】解：（1）第四个月销量占总销量的百分比是1﹣15%﹣30%﹣25%=30%，故答案为：30%；（2）∵第三、四两月的销量分别是400×25%=100，400×30%=120，∴B品牌的智能扫地机售出的台数分别是100﹣50=50（台），120﹣40=80（台），故答案为：50台，80台，画图如下：（3）∵第四个月售出的机中，A品牌智能扫地机40台，B品牌智能扫地机80台，∴抽到B品牌智能扫地机的概率==；（4）∵两个品牌智能扫地机月销量的平均水平相同，根据折线统计图的走势分析，B品牌智能扫地机的销量是上升趋势，∴该商场应经销B品牌的智能扫地机．23．（10分）如图，在等腰△ABC中，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）已知：AD=4，AE=3，求⊙O的半径．【分析】（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；（2）根据三角函数的性质，求得cos∠B=cos∠A==，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵DE⊥AC，AD=4，AE=3，∴cos∠A==，由（1）可知∠BDC=90°，BD=AD=4，∠A=∠B，∴cos∠B==，∴=，∴BC=，∴⊙O的半径为．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣4a与直线y=﹣x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP 的面积．【分析】（1）可求抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；（2）根据D、E中点坐标在直线BC上，求出D点关于直线BC对称点的坐标；（3）作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标，即可求出面积．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交于点B，C，∴点B（4，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx﹣4a经过B（4，0），C（0，4）两点，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=﹣m2+3m+4，即m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=3，∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4），由（1）知OC=OB，∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E，∵C（0，4），∴CD∥AB，且CD=3，∴∠ECB=∠DCB=45°，∴E点在y轴上，且CE=CD=3，∴OE=1，∴E（0，1），即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，由（1）有：OB=OC=4，∴∠OBC=45°，∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBA，∵C（0，4），D（3，4），∴CD∥OB且CD=3，∴∠DCE=∠CBO=45°，∴DE=CE=，∵OB=OC=4，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=，∴tan∠PBF=tan∠CBD=，设PF=3t，则BF=5t，OF=5t﹣4，∴P（﹣5t+4，3t），∵P点在抛物线上，∴3t=﹣（﹣5t+4）2+3（﹣5t+4）+4，解得：∴t=0（舍去）或t=，∴P（，）．∴S=×5×=．△ABP25．（14分）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将Rt△ABC绕点B顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），得到Rt△A′BC′，直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图①，当点C′在AB边上时，判断线段AD和A′D之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将Rt△A′BC′由图①的位置旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图①的位置按顺时针方向旋转，当A、C′、A′三点在一条直线上时，请画出示意图，并写出旋转角的度数．【分析】（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．【解答】解：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∴BC=BC′，BA=BA′，∵∠A′BC′=∠ABC=60°，∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形，∴∠BAA′=∠BC′C=60°，∵∠A′C′B=90°，∴∠DC′A′=30°，∵∠AC′D=∠BC′C=60°，∴∠ADC′=60°，∴∠DA′C′=30°，∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′，∴AD=DC′，DC′=DA′，∴AD=A′D；（2）仍然成立：AD=A′D，证法一：利用相似．如图2﹣1：由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′，∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′），∴∠1=∠3，设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，∴∠2=∠4，=，连接BD，∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴∠5=∠6，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠5=90°，∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°，∵BA=BA′，∠ADB=90°，∴AD=A′D，证法二：利用全等．如图2﹣2：过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3，由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴∠4=∠5，∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6，∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′，在△ADE与△A′DC′中，，∴△ADE≌△A′DC′（ASA），∴AD=A′D；（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°，在Rt△ACB和Rt△AC′B中，，∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），∴∠ABC=∠ABC′=60°，∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．。
2015年福建省三明市沙县初中学业质量检查数学试卷及参考答案
2015年福建省三明市沙县初中学业质量检查数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣的相反数是（）A．2015 B．﹣2015 C．D．﹣2．（4分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列计算正确的是（）A．m3﹣m2=m B．﹣（﹣3）=3 C．（m+n）2=m2+n2D．（3x）2=6x24．（4分）已知二次函数y=x2+2x﹣k，小聪利用计算器列出了下表：那么方程x2+2x﹣k=0的一个近似根是（）A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.45．（4分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（）A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的6．（4分）中新网2014年11月19日电据财政部网站消息，为保证城乡义务教育阶段学校春季开学后正常运转和“两免一补”政策落实到位，中央财政下达2015年城乡义务教育补助经费部分预算697.2亿元．将697.2亿用科学记数法表示应为（）A．6.972×1011B．6.972×1010C．0.6972×103D．6.972×1027．（4分）化简的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．a2﹣b2D．18．（4分）为了估计一袋黄豆有多少粒，小海是这样做的：在袋中放入100粒黑豆，充分搅匀后取出100粒豆子，其中有黑豆2粒，据此可估算出该袋中原有黄豆的粒数x．根据题意，可列方程（）A． B．C． D．9．（4分）如图的坐标平面上，有一条通过点（﹣2，﹣3）的直线l．若四点（﹣2，a）、（0，b）、（c，0）、（d，﹣1）在l上，则下列数值判断正确是（）A．a=2 B．b＞﹣3 C．c＜﹣2 D．d=310．（4分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AB=6cm；②直线NH的解析式为y=﹣5t+90；③△QBP不可能与△ABE相似；④当∠PBQ=30°时，t=13秒．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）市运会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是．12．（4分）化简：2（a+1）﹣a=．13．（4分）因式分解：9x﹣3x3=．14．（4分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．15．（4分）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，斜边AC上的中线BD交y轴于点E，双曲线y=（k＞0）的图象经过点A．若△BEC的面积为，则k的值为．16．（4分）这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（填序号）．①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）﹣|﹣1|+（2015﹣π）0﹣（）﹣1．18．（7分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O 分别交AD、BC于点E、F．求证：OE=OF．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣5，1），C（﹣2，0），点P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）．（1）画出平移后的△A1B1C1，写出A1的坐标；（2）说明△ABC的形状．21．（10分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A的概率．（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°．求图中所示阴影部分的面积．23．（10分）如图，等边△ABC边长为4，E是边AB上动点，EH⊥BC于H，过E 作EF∥BC，交线段AC于点F，在线段BC上取点P，使PE=AE．设BE=x（0＜x ≤2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段BC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求▱EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）求（2）中的▱EFPQ的最大面积，并判断此时▱EFPQ的形状．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴分别交于A、B两点，与抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且抛物线的对称轴为直线x=﹣1且过C点（点C点A的右侧）．（1）求直线l1与抛物线的解析式及点C的坐标；（2）如果平行于x轴的动直线l2与抛物线交于点P，与直线l1交于点M，点N 为OA的中点，那么是否存在这样的直线l2，使得△MON是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，已知一正方形ABCD及一等腰直角三角尺．将三角尺的锐角顶点与D重合，腰与边DC重叠，并将三角尺绕点D顺时旋转，使它的斜边与AB所在直线交于点E，一条直角边与BC交于点F（点E、F不与点A、C重合），直线DE、DF分别与直线AC交于P、Q两点．（1）三角尺旋转到如图1位置时，求证：△ADP∽△BDF，且相似比为1：；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）直接写了两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形与，与．（3）如图2，AB的垂直平分线RH交DC于点R，当M点旋转到RH上时，点N、P重合．①（1）中的结论依然成立，请问（2）中的结论仍然成立吗？如果成立，选其中一个结论加以证明；如果不成立，请说明理由；②在图2中，如果ON=6，求RM的长．2015年福建省三明市沙县初中学业质量检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣的相反数是（）A．2015 B．﹣2015 C．D．﹣【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得﹣的相反数是：﹣（﹣）=．故选：C．2．（4分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【分析】先分析出四种几何体的主视图的形状，即可得出主视图为圆的几何体．【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故A错误；B、圆锥的主视图是三角形，故B错误；C、球的主视图是圆，故C正确；D、正方体的主视图是正方形，故D错误．故选：C．3．（4分）下列计算正确的是（）A．m3﹣m2=m B．﹣（﹣3）=3 C．（m+n）2=m2+n2D．（3x）2=6x2【分析】根据同类项、完全平方公式和幂的乘方计算即可．【解答】解：A、m3与m2不是同类项，不能合并，错误；B、﹣（﹣3）=3，正确；C、（m+n）2=m2+2mn+n2，错误；D、（3x）2=9x2，错误；故选：B．4．（4分）已知二次函数y=x2+2x﹣k，小聪利用计算器列出了下表：那么方程x2+2x﹣k=0的一个近似根是（）A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.4【分析】根据x＜﹣1时，y随x的增大而减小，可得答案．【解答】解：由y=x2+2x﹣k的增减性，得x＜﹣1时，y随x的增大而减小．当x=﹣4.4时，y=0.56，当x=﹣4.3时，y=﹣0.11，∴x2+2x﹣k=0的一个近似根﹣4.4＜x＜﹣4.3，由于﹣0.11的绝对值比0.56更接近0，所以x2+2x﹣k=0的一个近似根是x=﹣4.3．故选：C．5．（4分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（）A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．【解答】解：A、连续抛一枚均匀硬币2次有可能一次正面朝上，2次正面朝上，0次正面朝上，故A错误；B、连续抛一枚均匀硬币10次，有可能正面都朝上，故B错误；C、大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上的次数不确定，故C错误；D、通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故D正确；故选：D．6．（4分）中新网2014年11月19日电据财政部网站消息，为保证城乡义务教育阶段学校春季开学后正常运转和“两免一补”政策落实到位，中央财政下达2015年城乡义务教育补助经费部分预算697.2亿元．将697.2亿用科学记数法表示应为（）A．6.972×1011B．6.972×1010C．0.6972×103D．6.972×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：697.2亿=697 2000 0000=6.972×1010，故选：B．7．（4分）化简的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．a2﹣b2D．1【分析】根据同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．【解答】解：原式=，=，=a+b．故选：A．8．（4分）为了估计一袋黄豆有多少粒，小海是这样做的：在袋中放入100粒黑豆，充分搅匀后取出100粒豆子，其中有黑豆2粒，据此可估算出该袋中原有黄豆的粒数x．根据题意，可列方程（）A． B．C． D．【分析】设该袋中原有黄豆x粒，根据充分搅匀后取出100粒豆子，其中有黑豆2粒列出方程即可．【解答】解：设该袋中原有黄豆x粒，根据题意得：，故选：A．9．（4分）如图的坐标平面上，有一条通过点（﹣2，﹣3）的直线l．若四点（﹣2，a）、（0，b）、（c，0）、（d，﹣1）在l上，则下列数值判断正确是（）A．a=2 B．b＞﹣3 C．c＜﹣2 D．d=3【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，根据此函数为减函数，利用增减性分析解答即可．【解答】解：如图，可得此一次函数是减函数，因为﹣2＜0，所以可得a＞b，因为﹣3＜﹣1＜0，可得c＜d＜﹣2，故选：C．10．（4分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AB=6cm；②直线NH的解析式为y=﹣5t+90；③△QBP不可能与△ABE相似；④当∠PBQ=30°时，t=13秒．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，=BC•AB=30，∴BC=BE=10cm，S△BCE∴AB=6cm，故①正确；②根据10﹣12秒面积不变，可得ED=2，当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=18，故点H的坐标为（18，0），设直线NH的解析式为y=kx+b，将点H（18，0），点N（12，30）代入可得：，解得：．故直线NH的解析式为：y=﹣5t+90，故②错误；③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，由勾股定理，得AE=8，如图2所示：∵tan∠BPQ=tan∠ABE==，∴=，即=，解得：t=，∵BQ=10cm，PQ=7.5cm，大于DC（DC=6cm），∴不可能；故③正确；④如图2所示，tan∠PBQ===，解得t=，故④错误；综上可得①②正确．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）市运会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是丙．【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙最合适的人选．【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，∴最合适的人选是丙．故答案为：丙．12．（4分）化简：2（a+1）﹣a=a+2．【分析】首先把括号外的2乘到括号内，去括号，然后合并同类项即可．【解答】解：原式=2a+2﹣a=a+2．故答案是：a+2．13．（4分）因式分解：9x﹣3x3=﹣3x（x2﹣3）．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=﹣3x（x2﹣3）．故答案为：﹣3x（x2﹣3）．14．（4分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为（6，2）．【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有==，即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，化简后得x=6，y=2，因此圆心坐标为（6，2）．15．（4分）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，斜边AC上的中线BD交y轴于点E，双曲线y=（k＞0）的图象经过点A．若△BEC的面积为，则k的值为6．【分析】作AF⊥y轴于F，EH⊥AB于H，由于AC为斜边AC上的中线，根据三=S△CBE=3，再利用矩形的面积公式得到S矩形ABOF=2S△角形面积公式得到S△ABE=6，然后根据反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义即可得到k ABE的值．【解答】解：作AF⊥y轴于F，EH⊥AB于H，如图，∵BD为斜边AC上的中线，=S△CBE=3，∴S△ABE=2S△ABE=6，∴S矩形ABOF∴k=6．故答案为6．16．（4分）这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是③（填序号）．①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．【分析】任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+1）和（n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值．【解答】解：显然选项①中13不是“正方形数”；选项②④中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．故答案为：③．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）﹣|﹣1|+（2015﹣π）0﹣（）﹣1．【分析】原式第一项利用二次根式的性质化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1+1﹣2=0．18．（7分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大、小小取小、比大的小比小的大取中间、比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．【解答】解：解不等式①得x＞﹣，解不等式②得x≤1，所以不等式的解集为﹣＜x≤1．在数轴上表示为：19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O 分别交AD、BC于点E、F．求证：OE=OF．【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=OC．根据平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，进而可根据AAS定理证明△AEO≌△CFO，再根据全等三角形的性质可得OE=OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC．∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣5，1），C（﹣2，0），点P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）．（1）画出平移后的△A1B1C1，写出A1的坐标；（2）说明△ABC的形状．【分析】（1）根据P点对应点变化规律得出△ABC平移规律进而求出即可；（2）借助网格利用勾股定理逆定理得出△ABC的形状．【解答】解：（1）∵点P（a，b）是△ABC的AC边上的一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2），∴A（﹣3，2），B（﹣5，1），C（﹣2，0）的对应点坐标分别为：A1（2，4），B1（0，3），C1（3，2），如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：AB=，AC=，则BC=，故AB2+AC2=BC2，则△ABC是等腰直角三角形．21．（10分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A的概率．（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“花椒饼”的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率；（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，根据等量关系为：2011年的利润×（1+增长率）2=2013年的利润，把相关数值代入即可列出方程．【解答】解：（1）喜欢花椒饼的人数为50﹣14﹣21﹣5=10（人），补全条形统计图如下：（2）列表如下：所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，由题意可得：50×（1+x）2=60.5，解得：x=10%，答：这两年平均增长率是10%．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°．求图中所示阴影部分的面积．【分析】（1）连结OC，如图，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，则可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定定理可得CD为⊙O的切线；（2）利用三角形外角性质可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，则∠OCE=90°，在Rt △OCE中利用∠EOC的正切可计算出CE=3，然后三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S△OOE﹣S扇形COB进行计算即可．【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：连结OC，如图，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD，而CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，∴∠EOC=60°，∵OC⊥CD，∴∠OCE=90°，在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=，∴CE=3tan60°=3，∴S阴影部分=S△OOE﹣S扇形COB=×3×3﹣=．23．（10分）如图，等边△ABC边长为4，E是边AB上动点，EH⊥BC于H，过E 作EF∥BC，交线段AC于点F，在线段BC上取点P，使PE=AE．设BE=x（0＜x ≤2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段BC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求▱EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）求（2）中的▱EFPQ的最大面积，并判断此时▱EFPQ的形状．【分析】（1）根据三角形ABC是等边三角形和EF∥BC，可得等边三角形AEF，则可写出与EF相等的线段；（2）根据（1）可知EF=AE=4﹣x，要求平行四边形的面积，只需求得EF边上的高．作EH⊥BC于H，根据30度的直角三角形EHB进行表示EH的长，进一步求得平行四边形的面积；（3）根据二次函数的顶点式或顶点的公式法求得平行四边形的面积的最大值时x的值，判断平行四边形形状．【解答】解：（1）线段EF相等的两条线段是AE，AF；∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=∠AFE=∠C=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=AF；（2）如图，连接FP，作EQ∥FP交FE于E∵BE=x，EH⊥BC，∴∠EHB=90°，∵∠C=60°，在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∠B=60°∠HEB=180°﹣∠C﹣∠EHC=30°，∴BH=BE=x，∴EH=x，∵四边形EFPQ为平行四边形∴PQ=FE又∵PE=AE∴PQ=EF=AE=4﹣x=﹣x2+2x．∴S平行四边形EFPQ=﹣x2+2x（3）∵S平行四边形EFPQ=﹣（x﹣2）2+2有最大值=2．∴当x=2时，S平行四边形EFPQ此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、点Q重合∴平行四边形EFPQ是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴分别交于A、B两点，与抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且抛物线的对称轴为直线x=﹣1且过C点（点C点A的右侧）．（1）求直线l1与抛物线的解析式及点C的坐标；（2）如果平行于x轴的动直线l2与抛物线交于点P，与直线l1交于点M，点N 为OA的中点，那么是否存在这样的直线l2，使得△MON是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直线l1分别与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出直线l1的解析式，根据抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，得出抛物线的解析式，由x2+2x﹣3=0得出点C的坐标，（2）先求出AN=ON=1.5，过点N作M1N⊥x轴，交l1与点M1，根据∠OAB=45°，得出△M1ON是等腰三角形，根据点P的纵坐标为﹣1.5，得出x2+2x﹣3=﹣1.5求出点P的坐标，设ON的中点是D，过点D作DM2⊥x轴，交l1与M2，则M2N=M2O，△M2ON是等腰三角形，由x2+2x﹣3=﹣得点P的坐标，当ON=OM时，OM与l1无交点，此时不存在直线l2使得△MON是等腰三角形．【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，，解得：，直线l1的解析式为y=﹣x﹣3，∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，∴，解得；b=2，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3=0得：x1=1，x2=﹣3，则点C的坐标为（﹣3，0），（2）∵点N为OA的中点，∴AN=ON=1.5，过点N作M1N⊥x轴，交l1与点M1，则M1的坐标为（﹣1.5，﹣1.5），∵OA=OB，∴∠OAB=45°，∴AN=M1N，∴△M1ON是等腰三角形，∴当直线l2移动到点M1时△MON是等腰三角形，∵l2∥x轴，∴点P的纵坐标为﹣1.5，由x2+2x﹣3=﹣1.5得：x1=﹣1，x2=﹣﹣1，∴点P的坐标为P1（﹣1，﹣1.5），P2=（﹣﹣1，﹣1.5），设ON的中点是D，则D点的坐标是（﹣，0），过点D作DM2⊥x轴，交l1与M2，则M2的坐标为；（﹣，﹣），M2N=M2O，△M2ON是等腰三角形，由x2+2x﹣3=﹣得：x1=﹣1，x2=﹣﹣1，∴点P的坐标为P3（﹣﹣1，﹣），P4=（﹣﹣1，﹣），当ON=OM时，OM与l1无交点，此时不存在直线l2使得△MON是等腰三角形．25．（14分）如图，已知一正方形ABCD及一等腰直角三角尺．将三角尺的锐角顶点与D重合，腰与边DC重叠，并将三角尺绕点D顺时旋转，使它的斜边与AB所在直线交于点E，一条直角边与BC交于点F（点E、F不与点A、C重合），直线DE、DF分别与直线AC交于P、Q两点．（1）三角尺旋转到如图1位置时，求证：△ADP∽△BDF，且相似比为1：；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）直接写了两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形△CDQ与△BDE，△DPQ与△DFE．（3）如图2，AB的垂直平分线RH交DC于点R，当M点旋转到RH上时，点N、P重合．①（1）中的结论依然成立，请问（2）中的结论仍然成立吗？如果成立，选其中一个结论加以证明；如果不成立，请说明理由；②在图2中，如果ON=6，求RM的长．【分析】（1）首先根据四边形ABCD是正方形，△DMN是等腰直角三角形，推得∠DAP=∠DBF，∠ADP=∠BDF，即可判断出△ADP∽△BDF；然后根据四边形ABCD是正方形，可得AD：BD=1：，据此判断出△ADP和△BDF相似比为1：即可．（2）根据相似三角形的判定方法，即可推得两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形．（3）①（2）中的结论仍然成立．根据相似三角形的判定方法，判断出∠DCQ=∠DBE，∠CDQ=∠BDE，即可判断出△CDQ∽△BDE；然后根据CD：BD=1：，即可推得△CDQ和△BDE的相似比为1：．②首先作NG⊥RH于点G，根据全等三角形判定的方法，判断出△MGN≌△DRM，即可推得NG=MR，MG=DR，再根据DR=RO，推得MG=RO；然后根据MG+OM=RO+OM，推得RM=OG，在△ONG中，根据勾股定理，求出RM的长是多少即可．【解答】（1）证明：如图1，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAP=∠DBF=∠ADO=45°，∴∠ADP+∠ODP=45°，又∵△DMN是等腰直角三角形，∴∠MDN=45°，∴∠BDF+∠ODP=45°，∴∠ADP=∠BDF，在△ADP和△BDF中，∴△ADP∽△BDF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD：BD=1：，∴△ADP和△BDF的相似比为1：．（2）解：两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形△CDQ与△BDE，△DPQ与△DFE．①如图2，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCQ=∠DBE=∠CDO=45°，∴∠CDQ+∠ODQ=45°，又∵△DMN是等腰直角三角形，∴∠MDN=45°，∴∠BDE+∠ODQ=45°，∴∠CDQ=∠BDE，在△CDQ和△BDE中，∴△CDQ∽△BDE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD：BD=1：，∴△CDQ和△BDE的相似比为1：．②如图3，，∵△ADP∽△BDF，且相似比为1：，∴DP：DF=1：，∵△CDQ∽△BDE，且相似比为1：，∴DQ：DE=1：，∴DP：DF=DQ：DE，又∵∠PDQ=∠FDE，∴△DPQ∽△DFE，且相似比为1：．（3）①解：（2）中的结论仍然成立．如图4，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCQ=∠DBE=∠CDO=45°，又∵△DMN是等腰直角三角形，∴∠MDN=45°，∴∠CDO+∠ODQ=∠MDE+∠BDM，即∠CDQ=∠BDE，在△CDQ和△BDE中，∴△CDQ∽△BDE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD：BD=1：，∴△CDQ和△BDE的相似比为1：．②解：如图5，作NG⊥RH于点G，，∴∠MGN=90°，∴∠GNM+∠NMG=90°，∵∠DMN=90°，∴∠RMD+∠NMG=90°，∴∠GNM=∠RMD，∵RH是AB的中垂线，∴∠DRM=90°，∴∠MGN=∠DRM，∵△DMN是等腰直角三角形，∴MN=DM，在△MGN和△DRM中，，∴△MGN≌△DRM，∴NG=MR，MG=DR，∵DR=RO，∴MG=RO，∴MG+OM=RO+OM，∴RM=OG，∵ON=6，∠NOG=45°， ∴RM=OG=6×=3．故答案为：△CDQ 、△BDE 、△DPQ 、△DFE ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
福建福州中考数学2015年试题精品word版答案或解析精编
2015年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．2．（3分）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107 D．1×1065．（3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图6．（3分）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点8．（3分）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°9．（3分）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．510．（3分）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数C．反比例函数 D．二次函数二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）分解因式a2﹣9的结果是．12．（4分）计算（x﹣1）（x+2）的结果是．13．（4分）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．14．（4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是．15．（4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．18．（7分）化简：﹣．19．（8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．20．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是．25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．26．（13分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．2015年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：a的相反数是﹣a．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号．2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的判定方法判断即可．【解答】解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，∴不等式组的解集在数轴上表示为：．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107 D．1×106【分析】直接根据乘法分配律即可求解．【解答】解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【解答】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；故选：A．【点评】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a【分析】利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．【解答】解：a•a﹣1=a0=1．故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．【解答】解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．5【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【解答】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数C．反比例函数 D．二次函数【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是（a+3）（a﹣3）．【分析】直接运用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是x2+x﹣2 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．【分析】设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．【解答】解：设这个反比例函数解析式为y=，∴=﹣3，解得k=6，∴这个反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是0 ．【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．【解答】解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．故答案为：0．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为2cm3．【分析】作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．【解答】解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB=OA=，∴该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC 绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1 ．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．【分析】运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．【解答】解：原式=﹣1++4﹣3=．【点评】该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．【解答】解：﹣===1．【点评】考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．【解答】解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得，解得：．答：篮球队有28支，排球队有20支．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 2 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．【分析】（1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．【解答】解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，∴，∴n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，所以其概率=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．【解答】（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG ，tan∠HBC的值是﹣1 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 6 ．【分析】（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．【解答】解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=x，∴DC=DH+CH=x+x=1，解得x=．∴tan∠HBC===．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴=，即BP•BF=BE•BN，∴1×=BN，∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 2 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD ⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+DQ≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．方法二：（1）略．（2）过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，∴C（0，m），D（4，4+m），∵S△POQ=（Q x﹣P x）（Q Y﹣C Y），S△PAQ=（Q x﹣P x）（D Y﹣A Y），∵，∴，∴m1=2，m2=﹣1．（3）①设P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），∵K PQ=1，∴l PQ：y=x+t2﹣5t，∵C（2，2），A（4，0），∴l AC：y=﹣x+4，∴D X=，DY=，∴Q（2，t2﹣5t+2），∵PQ⊥AC，垂足为点D，∴点Q关于直线AC的对称点Q′（﹣t2+5t+2，2），欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，PQ′==，显然当t=2时，PQ′的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6，②∵（PD+DQ）2≥4•PD•DQ，∴PD•DQ≤==18，∴PD•DQ的最大值为18．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．。
2010—2015年福建省三明市中考数学试卷(解析版)
2010年福建省三明市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．比﹣3大2的数是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．52．下列运算正确的是（）A．a+2a2=3a2B．a8÷a2=a4C．a3•a2=a6D．（a3）2=a63．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4．则这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．截止2010年4月20日23时35分，央视“情系玉树，大爱无疆”赈灾晚会共收到社会各界为玉树捐款2 175 000 000元，用科学记数法表示捐款数应为（）A．2.175×1010元B．2.175×109元C．21.75×108元D．217.5×107元6．下列成语所描述的事件是必然事件的是（）A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥7．林老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙：函数的图象经过第四象限；丙：在每一个象限内，y值随x值增大而增大．根据他们的叙述，林老师给出的这个函数可能是（）A．y=﹣3x B．y=﹣C．y=x﹣3 D．y=x2﹣38．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE D．∠CAE=∠B9．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的全面积是（）A．14πB．24πC．26πD．36π10．如图，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．化简：=_________．12．方程的解为_________．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=75°，DE∥AB交BC于点E，将△DCE沿DE翻折，得到△DFE，则∠EDF=_________度．14．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9．这组数据的中位数是6．则这组数据的众数为_________．15．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是_________米．16．观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是_________．三、解答题（共8小题，满分86分）17．（1）请从三个代数式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2中，任选两个构造一个分式，并化简该分式；（2）解方程：（x﹣1）2+2x﹣3=0．18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）若AC=BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．19．九年级（1）班的小亮为了了解本班同学的血型情况，对全班同学进行了调查．将调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图表．请你根据图表提供的信息回答下列问题：（1）九年级（1）班共有学生_________人，其中a=_________；（2）扇形统计图中，AB血型所在扇形的圆心角为_________度；（3）已知同种血型的人可以互相输血．O型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小红是九年级（1）班的B血型学生．因病需要输血．在本班学生中（小红除外）任找一人，求他的血可以输给小红的概率．20．如图，BD是⊙O的弦．过点D作⊙O的切线交BO延长线于点A．AC⊥AD交BD延长线于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=5，∠B=25°．求AD的长．（精确到0.1）21．为了增强农民抵御大病风险的能力，三明市政府根据本地的实际情况，制定了2010年全市新型农村合作医疗住院统筹补偿方案，其中县级定点医疗机构的住院补偿费标准为：起付线400元（即医疗费400元及以下自理），医疗费超过400元的部分补偿比例为60%，封顶线（即最高补偿费）为60000元．（1）享受合作医疗的李大妈在一次住院治疗中的医疗费为18000元．则她这次住院医疗得到的补偿费为多少元？（2）王老伯在一次住院治疗中得到的补偿费为60000元，他的住院医疗费最少为多少元？（3）设享受合作医疗的农民在一次住院治疗中的医疗费为x元，按规定得到的补偿费为y元，根据补偿费标准，得到y与x的函数图象如图所示．分段写出y与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．22．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）23．如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（﹣4，0）、C（0，﹣12）．顶点为M，过点A的直线y=kx﹣4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l 平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）﹣5的绝对值是_________．（2）如图，∠AOB=50°，OC平分∠AOB，则∠AOC的度数=_________．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．考点：有理数的加法。
2015年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
2015年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试物理试题（满分：100分考试时间：6月22日上午8 : 30 – 10 : 00）友情提示：1．全卷五大题，共32小题。
2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。
3．答题要求见答题卡上的“注意事项”。
一、选择题（本大题18小题，每小题2分，共36分。
每小题只有一个选项符合题意）1．下列物体中，能被磁体吸引的是A．铜块B．铝块C．铁块D．木块2．汽油机工作时把内能转化为A．机械能B．电能C．化学能D．核能3.一曲“小苹果”风靡大江南北。
我们能分辩出是筷子兄弟的演唱，依据的是声音的Ａ.音调Ｂ.响度Ｃ.音色Ｄ.音速4.2015年4月４日发生的月全食持续时间只有12.3 min，这是134年以来持续时间最短的月全食。
月食形成的原因是Ａ.光的反射Ｂ.光的折射Ｃ. 光的色散Ｄ.光的直线传播5．洗热水澡时，卫生间的玻璃镜面常会蒙上一层水雾，这一现象属于物态变化中的A．熔化B．液化C．凝华D．汽化6．下列器材中，用于辨别火线和零线的是A．验电器B．电流表C．测电笔D．电能表7．人们常用酒精擦拭体表为高烧病人降温，这是因为酒精A．蒸发吸热B．凝固放热C．升华吸热D．液化放热8．如图1所示的简单机械，使用时属于费力杠杆的是9．下列措施中，为了减小摩擦的是A ．足球守门员戴上防滑手套B ．旱冰鞋底装上滑轮C ．自行车刹车时用力握紧手闸D ．鞋底制上凹凸不平的花纹10．下列材料选用的实例中，主要从“物质密度”角度考虑的是A ．选用水作为冷却汽车发动机的物质B ．选用塑料制作电源插座的外壳C ．选用塑料泡沫制作影视场景的“滚石”D ．选用液态氢作为火箭发动机的燃料11．如图2所示，a 表示垂直于纸面的一根导体，它是闭合电路的一部分。
当导体a 在磁场中按箭头方向运动时，下列四种情况中不会．．产生感应电流的是12．甲、乙两台抽水机的功率分别为500 W 和800 W ，下列说法正确的是A ．甲抽水机做功比较少B ．乙抽水机做功比较多C ．甲抽水机做功比较快D ．乙抽水机做功比较快13．在探究“导体电阻的大小与哪些因素有关”的实验中，将一根粗细均匀的导体截成ab 、cd 两段后，分别把它们接入如图3所示的电路中，这是在探究导体电阻与导体A ．横截面积的关系B ．材料的关系C ．长度的关系D ．温度的关系14．如图4所示的电路中有两只灯泡L 1、L 2，现要使两只灯泡并联连接，下列做法正确的是A ．闭合S 1、S 3，断开S 2B ．闭合S 1、S 2，断开S 3C ．闭合S 2、S 3，断开S 1D ．闭合S 2，断开S 1、S 315．三明籍运动员刘成获第十四届苏迪曼杯羽毛球世界冠军，图5甲为他比赛时的场景。
福建省三明市尤溪县初中数学学业质量检测试题(含解析)
福建省三明市尤溪县2015年初中数学学业质量检测试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣2是2的（）A．倒数B．绝对值C．平方根D．相反数【答案】D【解析】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．解答：解：﹣2是2的相反数，故选：D．2．（4分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A． 0.000618 B． 0.00618 C． 0.0618 D． 0.618【答案】B【解析】分析：利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可．解答：解：∵0.00618=6.18×10﹣3，∴6.18×10﹣3=0.00618，故选：B．3．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解答：解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．4．（4分）菲尔兹奖（Fields Medal）是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．则这56个数据的中位数落在（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【答案】C【解析】分析：根据中位数的定义可知，第28、第29两个数的平均数为中位数．解答：解：题目中数据共有56个，故中位数是按从小到大排列后第28、第29两个数的平均数，而第28、第29两个数均在第三组，故这组数据的中位数落在第三组．故选C．5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．120°B．130°C．140°D． 150°【答案】C【解析】分析：先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解答：解：∵∠BAE=40°，∴∠CAB=180°﹣40°=140°．∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=140°．故选C．6．（4分）刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”设王老师今年x岁，刘俊今年y岁，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．组别第一组第二组第三组第四组年龄段（岁）27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数（人）8 11 17 20C．D．【答案】D【解析】分析：设王老师今年x岁，刘俊今年y岁，根据题意列出方程组解答即可．解答：解：王老师今年x岁，刘俊今年y岁，可得：，故选D7．（4分）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点，则（）A． k1k2＜0 B． k1k2＞0 C． k1+k2＜0 D． k1+k2＞0【答案】A【解析】分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．解答：解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，∴k1与k2异号，即k1•k2＜0．故选：A．8．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是（）A．∠ACB=60°B．∠B=60°C． AB=BC D． AC=BC【答案】D【解析】分析：首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．解答：解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB平行且等于CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选：D．9．（4分）如图，把图形折叠起来，它会变为下面的哪幅立体图形（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据正方体的展开图中6个面的关系分别对四个选项进行判断．解答：解：A、有O的一面所对的面没记号，还有两个没记号的面相对，所以A选项错误；B、有O的一面与没记号的面和有横线的面相邻，所以B选项正确；C、有横线的两面相对，所以C选项错误；D、横线与O的位置关系不对，所以D选项错误．故选B．10．（4分）如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（）A．随P点运动而变化，最大值为B．等于C．随P点运动而变化，最小值为D．随P点运动而变化，没有最值【答案】B【解析】分析：当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，求出EF的长，得到MN的长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案．解答：解：如图，当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，根据垂径定理，MN=EF，∵∠AOD=120°，PM⊥AB，∴∠PMN=30°，∠P=60°，在Rt△PEF中，PE=4，则EF=2，∴MN=，点P移动时，由题意，∠P=60°，根据在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等，即弦长为2，∴MN=，故选：B．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）因式分解：xy2﹣4x= ．【答案】x（y+2）（y﹣2）【解析】分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：xy2﹣4x，=x（y2﹣4），=x（y+2）（y﹣2）．12．（4分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= .【答案】2分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，故答案为：2．13．（4分）小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是 .【答案】【解析】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有1种情况，∴两同学同时出“剪刀”的概率是：．故答案为：．14．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，半径是24cm，则此扇形的圆心角是度．【答案】150【解析】分析：直接利用弧长公式l=即可求出n的值，计算即可．解答：解：根据l===20π，解得：n=150，故答案为：150．15．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH= 米．【答案】【解析】分析：利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．解答：解：设OH=x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO=2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO=3xm，则AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案为：．16．（4分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为=．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2= ；a2015= .【答案】2，2【解析】分析：首先根据a1=，可得a2=，a3=，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1、…，每3个数是一个循环；然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a2015的值是多少即可．解答：解：因为a1=，所以a2=，a3=，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1，…，每3个数是一个循环，因为2015÷3=671…2，所以a2015=2．故答案为：2、2．三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（7分）计算：|﹣3|+（2﹣π）0+（﹣）﹣1．【答案】1【解析】分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3+1﹣3=1．18．（7分）化简并求值：．其中：a=，b=．【答案】化简后为：代入a,b的值后求值结果为：【解析】分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a与b 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣= = ，当a==2，b=时，原式=．19．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1≤x≤3．【解析】分析：首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．解答：解：由①式得x≥﹣1由②得x≤3所以﹣1≤x≤3．20．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD是中线．（1）求证：BE=CD．（2）求的值．【答案】（1）证明：∵AB=AC，BE和CD是中线，∴AD=AB，AE=AC，∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）．【解析】分析：（1）由三角形全等得到对应边相等，证得结论；（2）由相似三角形得到对应边的比相等，再根据三角形的中位线定理得到对应边的比等于．解答：解：（1）证明：∵AB=AC，BE和CD是中线，∴AD=AB，AE=AC，∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）∵BE和CD是中线，∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEO∽△BCO，∴==．21．（10分）如图所示，A、B两个旅游点从2011年至“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？【答案】（1）2014年；（2）从2011年至2015年清明小长假期间，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些；（3）20．【解析】分析：（1）认真审图不难看出B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2014年；（2）根据平均数和方差的计算公式求出甲乙的平均数与方差，然后根据方差的大小两个旅游点的情况进行评价；（3）根据函数的解析式y=5﹣≤4来确定应提高票价多少元．解答：解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2014年；（2）A x =123455++++=3（万人），B x =332435++++=3（万人）．S A 2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2， S B 2=[（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=．从2011年至2015年清明小长假期间，A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A 旅游点较B 旅游点的旅游人数波动更大一些；（3）由题意，得5﹣≤4，解得x≥100， x ﹣80≥100﹣80=20．答：A 旅游点的门票至少要提高20元．22．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+3k ﹣6=0有两个不相等的实数根 （1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值． 【答案】（1）k ＜； （2）1或2．【解析】分析： （1）根据一元二次方程的定义和△的意义得到△=22﹣4×1×（3k ﹣6）=﹣12k+28＞0，然后解不等式即可得到k 的取值范围；（2）由（1）的范围得到k=1或k=2，然后把k=1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k 值即可．解答： 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+3k ﹣6=0有两个不相等的实数根， △=22﹣4×1×（3k ﹣6）=﹣12k+28＞0， ∴k＜，∴k 的取值范围是k ＜； （2）∵k 为正整数， ∴k=1或k=2，当k=1时，原方程为x 2+2x ﹣3=0，解得x 1=﹣3，x 2=1， 当k=2是，原方程为x 2+2x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2，∴k的值为1或2．23．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，sinF=时，求BD的长．【答案】（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠1．又∵∠4=2∠1，∴∠4=∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）9【解析】分析：（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O的切线；（2）连结AD．先解Rt△BEF，得出BE=BF•sinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB=15，∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理证明∠F=∠BAD，则由sin∠BAD==，求出BD的长．解答：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠1．又∵∠4=2∠1，∴∠4=∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）解：连结AD．在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=，∴BE=BF•sinF=3．∵OC∥BE，∴△FBE∽△FOC，∴．设⊙O的半径为r，∴，∴．∵AB为⊙O直径，∴AB=15，∠ADB=90°，∵∠4=∠EBF，∴∠F=∠BAD，∴，∴，∴BD=9．24．（12分）已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC 交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数y=﹣x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；（2）当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．【解析】分析：（1）首先求出x2﹣4x﹣12=0的两根，进而求出点A和点B的坐标，利用待定系数法列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，即可求出二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，用m表示出△CPQ的面积，利用二次函数的性质，求出当△CPQ的面积最大时，点P的坐标．解答：解：（1）由x2﹣4x﹣12=0，解得x=﹣2或x=6，点A、点B的横坐标是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根，故A（﹣2，0）、B（6，0），则，解得．故二次函数y=﹣x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，直线BC的解析式为y=﹣x+6，直线AC的解析式为y=3x+6，设Q点坐标为（a，6﹣a），由PQ∥AC，可知，解得a=，6﹣a=（6﹣m），S△CPQ=S△APQ=（m+2）•（6﹣m），=﹣（ m2﹣4m﹣12）=﹣（m﹣2）2+6，当m=2时，S最大=6，所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．25．（14分）如图1，△ABC中，点A、B、C三点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，0），C （﹣1，0）；如图2，将△ABC绕点C顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△DEC，点A和点D 对应，作EF⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为F点和G点．（1）当∠α=30°时，求D、E两点的坐标；（2）当∠α为何值时，△DEC、△EFC和△DCG都相似；（3）在旋转过程中，若抛物线经过D、E、C三点，请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式．【答案】【解析】分析：（1）由旋转的性质可知CE=BC=2，∠ECF=30°，进而可求出EF，CF的长，所以点E的坐标可求出；同理即可求出点D的坐标；（2）若使△DEC、△EFC和△DCG都相似，则旋转角不确定，所以要分四种情况分别讨论：当∠α=30°时，当∠α=60°时，当∠α=120°时，当∠α=150°时；（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点 E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴，易求E（﹣2，）、D（2，），设y=ax2+c，代入C （﹣1，0）、D（2，），求出a和c的值即可得到抛物线解析式．解答：解：（1）∵点A、B、C三点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，0），C （﹣1，0），∵AC=2，BC=2，∵将△ABC绕点C顺时针旋转∠α=30°得△DEC，点A和点D对应，∴CE=BC=2，∠ECF=30°，∴EF=CE=1，FC=，∴F O=1+∴E（﹣1﹣，1），同理可得：点D（﹣1+，3）；（2）①如图2，当∠α=30°时，△DEC、△EFC和△DCG都相似．理由如下：∵A（﹣1，2），B（﹣3，0），C（﹣1，0），∴BC=2，AC=2，∠ACB=90°，∴AB=4，∴sinA=，∴∠A=30°，∠ABC=60°，∴△DEC中，∠EDC=30°，∠DEC=60°，∠ECD=90°，∵∠ECF=30°，∠ECD=90°，∴∠DCG=60°，∴∠CDG=30°，∴在△DEC、△EFC和△DCG中：∠EDC=∠ECF=∠CDG=30°，∠ECD=∠EFC=∠CGD=90°，∴△DEC∽△CEF∽△DCG．同理可得以下三种情况：②如图3，当∠α=60°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；③如图4，当∠α=120°时，△DEC∽△ECF∽△CDG；④如图5，当∠α=150°时，△DEC∽△CEF∽△DCG．（3）由（2）②可知，当∠α=60°时，点 E、D关于y轴对称，此时抛物线的对称轴为y轴．易求：E（﹣2，）、D（2，），设y=ax2+c，代入C （﹣1，0）、D（2，），得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣．。
【解析版】福建省三明市宁化县2015届中考数学二模试卷
福建省三明市宁化县2015届中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，将正确答案写在答题卡上）1．（4分）有理数﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣2．（4分）下列代数运算正确的是（）A．（x3）2=x5B．（2x）2=2x2C．x3•x2=x5D．（x+1）2=x2+1 3．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（4分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×1055．（4分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．将正确答案写在答题卡上）11．（4分）计算：=．12．（4分）根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制了如下统计表，那么关于该班40名同学一周的体育锻炼时间的中位数是小时．时间（小时）7 8 9 10人数（人） 3 17 14 613．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．14．（4分）如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．（4分）A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为．16．（4分）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．三．解答题（共9小题，满分86分．注意：请将答过程写在相应位置．）17．（7分）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°．18．（7分）化简：﹣÷．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD 在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．20．（8分）如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置（结高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求旗杆CD的高度．果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）21．（10分）某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查抽取的学生人数为a=人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b=；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？22．（10分）天水市某校为了开展“阳光体育”活动，需购买某一品牌的羽毛球，甲、乙两超市均以每只3元的价格出售，并对一次性购买这一品牌羽毛球不低于100只的用户均实行优惠：甲超市每只羽毛球按原价的八折出售；乙超市送15只羽毛球后其余羽毛球每只按原价的九折出售．（1）请你任选一超市，一次性购买x（x≥100且x为整数）只该品牌羽毛球，写出所付钱y （元）与x之间的函数关系式．（2）若共购买260只该品牌羽毛球，其中在甲超市以甲超市的优惠方式购买一部分，剩下的又在乙超市以乙超市的优惠方式购买．购买260只该品牌羽毛球至少需要付多少元钱？这时在甲、乙两超市分别购买该品牌羽毛球多少只？23．（10分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F 分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．25．（14分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．福建省三明市宁化县2015届中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，将正确答案写在答题卡上）1．（4分）有理数﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解答：解：﹣3的相反数是3．故选：A．点评：本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（4分）下列代数运算正确的是（）A．（x3）2=x5B．（2x）2=2x2C．x3•x2=x5D．（x+1）2=x2+1考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可．解答：解：A、（x3）2=x6，原式计算错误，故A选项错误；B、（2x）2=4x2，原式计算错误，故B选项错误；C、x3•x2=x5，原式计算正确，故C选项正确；D、（x+1）2=x2+2x+1，原式计算错误，故D选项错误；故选：C．点评：本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的运算，掌握各部分的运算法则是关键．3．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选D．点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（4分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将4400000用科学记数法表示为：4.4×106．故选：C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．专题：数形结合．分析：求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．解答：解：∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示不等式组的解集为：故选：B．点评：本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．6．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．解答：解：上面看，是上面2个正方形，左下角1个正方形，故选：C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．7．（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．专题：跨学科．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：=．故选：A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．（4分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形考点：多边形内角与外角．分析：首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解．解答：解：外角的度数是：180﹣108=72°，则这个多边形的边数是：360÷72=5．故选C．点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°考点：圆心角、弧、弦的关系．专题：数形结合．分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．解答：解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选：A．点评：此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题；图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．将正确答案写在答题卡上）11．（4分）计算：=．考点：二次根式的加减法．专题：计算题．分析：先化简=2，再合并同类二次根式即可．解答：解：=2﹣=．故答案为：．点评：本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．12．（4分）根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制了如下统计表，那么关于该班40名同学一周的体育锻炼时间的中位数是8.5小时．时间（小时）7 8 9 10人数（人） 3 17 14 6考点：中位数．分析：根据中位数的定义，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．解答：解：∵共有40个数，∴这组数据的中位数是第20、21个数的平均数，∴这组数据的中位数是（8+9）÷2=8.5（小时）．故答案为：8.5．点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD．答案不唯一．．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．考点：矩形的判定．专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．解答：解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点评：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．14．（4分）如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为4﹣．（结果保留π）考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．专题：几何图形问题．分析：连接OC，由AB为圆的切线，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在直角三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB 度数，阴影部分面积=三角形AOB面积﹣扇形面积，求出即可．解答：解：连接OC，∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故答案为：4﹣．点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．15．（4分）A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为﹣=．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，根据骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，列方程即可．解答：解：设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，由题意得，﹣=．故答案为：﹣=．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．16．（4分）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：压轴题．分析：延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．解答：解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=6，∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，OM=×6=3，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=1×=，在Rt△MOH中，MH===，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN=．故答案为：．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．三．解答题（共9小题，满分86分．注意：请将答过程写在相应位置．）17．（7分）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=1+4﹣1=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（7分）化简：﹣÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣•=﹣=．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD 在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．∵反比例函数y=的图象过点B，∴，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，设一次函数解析式为y=kx+b，∵y=kx+b的图象过B、D点，∴，解得．直线BD的解析式y=﹣x﹣1；（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，∴，解得∵B（1，﹣2），∴E（﹣2，1）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标．20．（8分）如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置（结高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求旗杆CD的高度．果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：根据题意得AC=22米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．解答：解：由题意得AC=22米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，∵∠DBE=32°，∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64米，∴CD=DE+CE=DE+AB=13.64+1.5≈15.1米．答：旗杆CD的高度约15.1米．点评：此题主要考查了仰角问题的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（10分）某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查抽取的学生人数为a=100人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b=40%；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）用音乐的人数除以所占的百分比计算即可求出a，再用绘画的人数除以总人数求出b；（2）求出体育的人数，然后补全统计图即可；（3）用总人数乘以“绘画”所占的百分比计算即可得解．解答：解：（1）a=20÷20%=100人，b=×100%=40%；故答案为：100；40%；（2）体育的人数：100﹣20﹣40﹣10=30人，补全统计图如图所示；（3）选择“绘画”的学生共有2000×40%=800（人）．答：估计全校选择“绘画”的学生大约有800人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（10分）天水市某校为了开展“阳光体育”活动，需购买某一品牌的羽毛球，甲、乙两超市均以每只3元的价格出售，并对一次性购买这一品牌羽毛球不低于100只的用户均实行优惠：甲超市每只羽毛球按原价的八折出售；乙超市送15只羽毛球后其余羽毛球每只按原价的九折出售．（1）请你任选一超市，一次性购买x（x≥100且x为整数）只该品牌羽毛球，写出所付钱y （元）与x之间的函数关系式．（2）若共购买260只该品牌羽毛球，其中在甲超市以甲超市的优惠方式购买一部分，剩下的又在乙超市以乙超市的优惠方式购买．购买260只该品牌羽毛球至少需要付多少元钱？这时在甲、乙两超市分别购买该品牌羽毛球多少只？考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意可得出两个关系式；（2）可设在甲超市购买羽毛球a只，乙超市购买羽毛球（260﹣a）只，所花钱数为W元，可列出W与a的函数关系式，再根据题意列出关于a的不等式组，求a的范围，然后利用一次函数的性质进行解答．解答：解：（1）甲超市：y=3×0.8x=2.4x，乙超市：y=3×0.9×（x﹣15）=2.7x﹣40.5；（2）设在甲超市购买羽毛球a只，乙超市购买羽毛球（260﹣a）只，所花钱数为W元，W=2.4a+2.7（260﹣a）﹣40.5=﹣0.3a+661.5；∵∴100≤a≤160∵﹣0.3＜0，∴W随a的增大而减小，∴a=160时，W最小=613.5，260﹣160=100（只）．答：至少需要付613.5元，应在甲超市购买160只，在乙超市购买100只．点评：此题是一次函数的应用题，主要考查一次函数的性质及应用，以及解二元一次不等式的有关知识．23．（10分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线，（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，（3））由△EAF∽△CBA，可得出=，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．解答：（1）证明：如图1，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠ADB+∠EDC=90°，∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，∴EA是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠CBA=∠ABC=90°∵B是EF的中点，∴在RT△EAF中，AB=BF，∴∠BAC=∠AFE，∴△EAF∽△CBA．（3）解：∵△EAF∽△CBA，∴=，∵AF=4，CF=2．∴AC=6，EF=2AB，∴=，解得AB=2．∴EF=4，∴AE===4，点评：本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解．24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F 分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．考点：几何变换综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．解答：解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2．∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′=．在Rt△BOF′中，BF′=．∴AE′，BF′的长都等于．（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°∴AE′⊥BF′．（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，∴∠E′AO=30°，AE′=．∴AP=+1．∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，∴PH=AP=．∴点P的纵坐标的最大值为．点评：本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P的纵坐标最大时点P 的位置是解决最后一个问题的关键．25．（14分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．考点：二次函数综合题；菱形的性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．解答：解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解x2+4x+3=0，得：x=﹣1或x=﹣3（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．。
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2015年福建省三明市中考数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）1．（4分）（2015•福建）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．5B．﹣3 C．0D．﹣22．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（）A．0.1008×106B．1.008×106C．1.008×105D．10.08×1043．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）（2015•福建）下列计算正确的是（）A．22=4 B．20=0 C．2﹣1=﹣2 D．=±25．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（）A．156 B．162 C．165 D．1676．（4分）（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．A B∥CD B．A B=CD C．A C=BD D．O A=OC7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（）A．摸出的2个球都是白球B．摸出的2个球有一个是白球C．摸出的2个球都是黑球D．摸出的2个球有一个黑球8．（4分）（2015•福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A．πB．2πC．4πD．6π9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC 于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．A D=BD B．B D=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n 满足的关系式为（）A．n=﹣2m B．n=﹣C．n=﹣4m D．n=﹣二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）11．（4分）（2015•福建）化简：=．12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有人．13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：．14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=度．15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有个“•”．16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．三、解答题（共9题，满分86分）17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x=．18．（8分）（2015•福建）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB 与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的．类别频数频率助人为乐美德少年 a 0.20自强自立美德少年 3 b孝老爱亲美德少年7 0.35诚实守信美德少年 6 0.32根据以上信息，解答下列问题：（1）统计表中的a=，b；（2）统计表后两行错误的数据是，该数据的正确值是；（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：品名黄瓜茄子批发价（元/千克） 3 4零售价（元/千克） 4 7当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．2015年福建省三明市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）1．（4分）（2015•福建）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．5B．﹣3 C．0D．﹣2考点：有理数大小比较；绝对值．分析：根据绝对值的概念，可得出距离原点越远，绝对值越大，可直接得出答案．解答：解：|5|=5，|﹣3|=3，|0|=0，|﹣2|=2，∵5＞3＞2＞0，∴绝对值最大的数是5，故选：A．点评：本题考查了实数的大小比较，以及绝对值的概念，解决本题的关键是求出各数的绝对值．2．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（）A．0.1008×106B．1.008×106C．1.008×105D．10.08×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：100800=1.008×105．故故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：主视图是从正面看到的图形，是这个几何体从正面照射的正投影，据此求解．解答：解：观察该几何体发现：其主视图的第一层有两个正方形，上面有一个正方形，且位于左侧，故选D．点评：本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，难度不大．4．（4分）（2015•福建）下列计算正确的是（）A．22=4 B．20=0 C．2﹣1=﹣2 D．=±2考点：负整数指数幂；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂．分析：A：根据有理数的乘方的运算方法判断即可．B：根据零指数幂的运算方法判断即可．C：根据负整数指数幂的运算方法判断即可．D：根据算术平方根的含义和求法判断即可．解答：解：∵22=4，∴选项A正确；∵20=1，∴选项B不正确；∵2﹣1=，∴选项C不正确；∵，∴选项D不正确．故选：A．点评：（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了有理数的乘方的运算方法，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．5．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（）A．156 B．162 C．165 D．167考点：中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：142，158，162，165，167，167，175，第四个数为165，则中位数为：165．故选C．点评：本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（4分）（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．A B∥CD B．A B=CD C．A C=BD D．O A=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（）A．摸出的2个球都是白球B．摸出的2个球有一个是白球C．摸出的2个球都是黑球D．摸出的2个球有一个黑球考点：随机事件．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．解答：解：A、只有一个白球，故A是不可能事件，故A正确；B、摸出的2个球有一个是白球是随机事件，故B错误；C、摸出的2个球都是黑球是随机事件，故C错误；D、摸出的2个球有一个黑球是随机事件，故D错误；故选：A．点评：本题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．（4分）（2015•福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A．πB．2πC．4πD．6π考点：弧长的计算．分析：根据弧长的计算公式l=计算即可．解答：解：l===2π．故选：B．点评：本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l=是解题的关键．9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC 于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．A D=BD B．B D=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．分析：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC 斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．解答：解：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n 满足的关系式为（）A．n=﹣2m B．n=﹣C．n=﹣4m D．n=﹣考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可．解答：解：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：，∴点A的坐标为（，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：，∴点B的坐标为（m，），又∵，∴mn=∴m2n2=4，又∵m＜0，n＞0，∴mn=﹣2，∴n=﹣故选：B．点评：此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）11．（4分）（2015•福建）化简：=．考点：约分．分析：将分母分解因式，然后再约分、化简．解答：解：原式==．点评：利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有18人．考点：扇形统计图．专题：计算题．分析：根据扇形统计图求出A占的百分比，由调查的总人数50计算即可得到结果．解答：解：根据题意得：（1﹣16%﹣48%）×50=18（人），则该班“很喜欢”数学的学生有18人．故答案为：18点评：此题考查了扇形统计图，弄清图形中的数据是解本题的关键．13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：2．考点：一次函数的性质．专题：开放型．分析：直接根据一次函数的性质进行解答即可．解答：解：当在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大时，k＞0，则符合条件的k的值可以是1，2，3，4，5…故答案是：2．点评：本题考查了一次函数的性质．在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=36度．考点：圆周角定理；正多边形和圆．分析：圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴=====72°，∴∠ADB=×72°=36°．故答案为36．点评：本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有111个“•”．考点：规律型：图形的变化类．分析：观察图形可知前4个图形中分别有：3，7，13，21个“•”，所以可得规律为：第n个图形中共有[n（n+1）+1]个“•”．再将n=10代入计算即可．解答：解：由图形可知：n=1时，“•”的个数为：1×2+1=3，n=2时，“•”的个数为：2×3+1=7，n=3时，“•”的个数为：3×4+1=13，n=4时，“•”的个数为：4×5+1=21，所以n=n时，“•”的个数为：n（n+1）+1，n=10时，“•”的个数为：10×11+1=111．故答案为111．点评：本题主要考查了规律型：图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律，难度适中．16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是1．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．三、解答题（共9题，满分86分）17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x=．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2﹣2x+1+x2+2x=2x2+1，当x=时，原式=4+1=5．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．18．（8分）（2015•福建）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上，再表示出它们的公共部分即可．解答：解：，解①得：x≥﹣1，解②得：x＜2．，不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x 是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB 与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可．解答：解：在Rt△ABC中，BC=60米，∠BCA=62°，可得tan∠BCA=，即AB=BC•tan∠BCA=60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的．类别频数频率助人为乐美德少年 a 0.20自强自立美德少年 3 b孝老爱亲美德少年7 0.35诚实守信美德少年 6 0.32根据以上信息，解答下列问题：（1）统计表中的a=4，b0.15；（2）统计表后两行错误的数据是0.32，该数据的正确值是0.30；（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表．分析：（1）根据频率=直接求得a、b的值即可；（2）用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．解答：解：（1）由题意得：a=20×0.20=4，b=3÷20=0.15；（2）∵6÷20=0.3≠0.32，∴最后一行数据错误，正确的值为0.30；（3）列表得：A B CA AB A CB BA BCC CA CB∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种，∴P（A，B都被采访到）==．点评：本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识，解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：品名黄瓜茄子批发价（元/千克） 3 4零售价（元/千克） 4 7当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？考点：二元一次方程组的应用．分析：设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，根据“用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，”列出方程组解答即可．解答：解：设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，由题意得解得答：这天他批发的黄瓜15千克，茄子是25千克．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．分析：（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，直线y=﹣x+3即可得到结果．解答：解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．考点：圆的综合题．分析：（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．解答：解：（1）如图①，连接OQ．∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP=OB=OQ=2，∴PQ===2，即PQ=2；（2）OQ⊥AC．理由如下：如图②，连接BC．∵BP=OB，∴点B是OP的中点，又∵PC=CQ，∴点C是PQ的中点，∴BC是△PQO的中位线，∴BC∥OQ．又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC．（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，解得PQ=2．点评：本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB 的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．考点：四边形综合题．分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．解答：（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．点评：本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．。