山西师范大学群论研究
三个子群的并是子群的充要条件_李璞金
2
结果及证明
命题 1 H1 ， H2 ， H3 ≤ G． 若 H1 ， H2 ， H3 之间存在包含关系， 设 G 是群， 则 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G i ∈ ｛ 1 ，
2， 3 ｝ 使 H1 ， H2 ， H3 ≤ H i ． 证明 （ ） 显然 （ ） 由于 H1 ， H2 ， H3 之间存在包含关系， 不妨设 H1 ≤ H2 ， 此问题的条件便转化为 H2 ∪ H3 ≤ G． 由引 H2 ≤ H3 或 H1 ， H3 ≤ H2 ． 即 i 使 H1 ， H2 ， H3 ≤ H i ． 理 1 知 H2 ≤ H3 或 H3 ≤ H2 ． 于是有 H1 ， H1 ， H2 ， H3 ≤ G ， H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， H1 ∩ H2 ∩ H3 = 1 ． 若不存在 i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， 命题 2 设 G 是群， i ≠ j， 2， 3｝ ， 使 Hi Hj ， 则 k ∈ ｛ 1 ， 有 H k ≌ Z 2 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≌ Z 2 × Z 2 ． H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ≠ ， H3 \ （ H2 ∪ H1 ） ≠ ． 证明 （ i） H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ， H2 ≤ H3 或 由对称性， 只需证 H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ． 若否， 则 H2 ∪ H3 = H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G． 由引理 1 ， H3 ≤ H2 ． 与题设矛盾． （ ii） i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， i ≠ j， Hi ∩ Hj = 1 ． ab 若否， 不妨设 H2 ∩ H3 ≠ 1 ． 取 a ∈ H2 ∩ H3 且 a ≠ 1 ． 由（ i） ， 可取 b ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ． 则 ab H2 ， ab ∈ H1 ． 从而 a ∈ H1 ． 进而 a ∈ H1 ∩ H2 ∩ H3 ． 与 a 的取法矛盾． H3 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， （ iii） | H1 | = | H2 | = | H3 | = 2 ： h 2 ∈ H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ， h 3 ∈ H3 \ （ H1 ∪ H2 ） ． 由 h 1 ∈ 由（ ii） 可知 H1 ∩ H3 = 1 ． h1 ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ， H1 \ H2 ， h 2 ∈ H2 \ H1 ． 有 h 1 h 2 H1 ， h 1 h 2 H2 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， h1 h2 ∈ H3 ． 进而 h1 h2 h3 ∈ H3 ． 同理 h2 h3 ∈ H1 ． 进而 h1 h2 h3 ∈ H1 ． 于是 h1 h2 h3 ∈ H1 ∩ H3 = 1 ． 进而 （ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ） （ H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ） （ H3 \ （ H1 ∪ H2 ） ） = 1 故有 | H1 \ （ H2 ∪ H3 ） | = | H2 \ （ H1 ∪ H3 ） | = | H3 \ （ H1 ∪ H2 ） | = 1 ． 于是 H1 = （ H1 ∩ （ H2 ∪ H3 ） ） ∪ （ H1 ∩ （ H2 ∪ H3 ） ） = （ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ） ∪ （ H1 ∩ H2 ） ∪ （ H1 ∩ H3 ） = ｛ 1 ， h1 ｝ ． h2 ｝ ， H3 = ｛ 1 ， h3 ｝ ． 同理 H2 = ｛ 1 ， 综上可知 | H1 ∪ H2 ∪ H3 | = 4 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 含有三个 2 阶子群可知 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≌ Z2 × Z2 ． H1 ， H2 ， H3 ≤ G ， H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， H = H1 ∩ H2 ∩ H3 ． 若不存在 i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， 命题 3 设 G 是群， i ≠ j， 使 Hi Hj ， 则 H － H1 ∪ H2 ∪ H3 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 / H ≌ Z 2 × Z 2 ． （ i ） H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ， H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ≠ ， H3 \ （ H2 ∪ H1 ） ≠ ． 证明同命题 2 证明过程中的（ i） ． 证明 （ ii） i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， i ≠ j， H i ∩ H j = H： ab 若否， 不妨设 H2 ∩ H3 ≠ H． 取 a ∈ H2 ∩ H3 且 a H． 由（ i） ， 可取 b ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ． 则 ab H2 ， ab ∈ H1 ． 从而 a ∈ H1 ． 进而 a ∈ H1 ∩ H2 ∩ H3 = H． 与 a 的取法矛盾． H3 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， （ iii） HH1 ∪ H2 ∪ H3 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 / H ≌ Z2 × Z2 ． － （ iii1 ） N1 ， N2 ， N3 ， H 之间不存在包含关系． N2 = H2 \ H ， N3 = H3 \ H ， N2 ， 设 N1 = H1 \ H ， 则 N1 ∪ N2 ∪ N3 ∪ H = H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G． 由（ i） 知 N1 ， N3 非空． 又由（ ii） N1 ， N2 ， N3 ， H 中任意两个的交都为空集． 即证．
关于半二面体群的极大子群的一个注记
Ｍ
：…
．
（ （ Ｇ ） ， ｌ ， ２ ， Ｘ ， ３ …， Ｘ ｎ － Ｉ ） ， （ ｐ 个） ． 设 Ｇ是亚交换群， ０ ， ｂ∈Ｇ ． 对于任意的正整数 √ ， 设
［ ， ｊ ｂ ］＝ ［ 口 ， ｂ ， 口， …ａ ， ｂ ， …， ｂ ］
—
文 献标 识 码 ： Ａ
关键词 ： 群； 半二 面体群 ； 极 大子群
中 圈分 类 号 ： Ｏ １ ５ ２
在有 限 Ｐ群 中 ， 我 们 观察 到一 个有趣 的现 象 ： 半－ － Ｎ体 群 ｓ ｜ Ｄ 的三个 极 大子群 分别 同构 于 Ｃ ： ， Ｄ ： 一 和Ｑ ＿ ｌ ’ 这 三 者互不 同构． 对 偶地 ， Ｐ 阶群 Ｇ的极 大商 群 Ｇ ／ Ⅳ是指 满足 条件 ｌ Ｇ ／ Ｎ Ｉ ＝Ｐ 。 的商群． 而亚 循
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ９ － ２ ４ 作者简介 ：王亮亮 （ １ ９ ８ ０ 一） ， 男， 山西柳林人 ， 吕梁学院数学系讲师 ， 硕士 ， 主要从事有限群论方面的研究．
第 １ 期
王亮亮 ： 关 于半二面体群 的极大 子群的一个注记
・ ２ ５・
２ 主 要 结 果
环 的内交换Ｐ 群 （ ２ ， ２ ） 的三个极大商群分别同构于 Ｃ ： Ｘ Ｃ ， Ｄ 。 和Ｑ ， 这三者也互不同构． 由于半二面体 群在有限ｐ群中占有十分重要的地位 ， 由此启发我们提出下列两个问题 ： 极大子群互不同构的有限 ｐ 群还 有哪些？ 极大商群互不同构的有限 ｐ 群还有哪些？ 本文给出了满足这些条件的群的例子．
ａ ， Ｖ ・ ａ ＝
从而 （ Ｇ ）＝ ａ ， ｃ ） ， 由引理 ｌ 得， Ｇ的三个极大子群分别为 ： Ｍ ＝＜ ｂ ， （ Ｇ ） ）＝（ ｂ ， ａ ， ｃ ） Ｍ２： （ 口 ， （ Ｇ ） ＞＝＜ ａ ， ａ ， ｃ ）＝ （ 口 ， ｃ Ｉ 口 ＝ｌ ， ｃ ＝ａ ２ 。 ， ［ 口 ， ｃ ］：１ ＞ Ｍ３： （ ａ ｂ ， ａ ， ｃ ）
山西师范大学学报（自然科学版）2011年总目录
山西师范大学学报（自然科学版）2011年总目录佚名【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)004【总页数】4页(P129-132)【正文语种】中文【中图分类】N所有极大子群皆交换或正规的有限群…………………………………………… 雒晓良秦鑫(1．1)群G的子群关于G的正规子群的商群…………………………………………… 张隆辉石化国(1．4)关于Plackett-Burman饱和设计数值分析方法的比较研究………………………………………………………………………………… 孟涛张应山(1．7) 奇异非线性sturm-liouvile问题非平凡解的存在性………………………………………… 张文丽(1．14)基于遗传算法的矩形件排样问题研究……………………………………………………… 李妮(1．19)关于Diophantine方程x3±8=3Dy2 ……………………………………………… 梁勇韩云娜(1．23)非负矩阵Perron根的上下界……………………………………………………… 胡刚高金燕(1．26)一类不育控制和捕获控制下的单种群模型……………………………………… 王文娟李秋英(1．29)基于Mallat算法的抽样值和直接算法…………………………………………… 冯成祥邸继征(1．34)基于Copula的中国股市与基金回报的尾部相关性分析…… 王敏周石鹏陈瑞浦梅志伟(1．38)基于模糊模拟的软件项目风险评估……………………………………………… 庞丽娟贾郭军(1．45)λ6最优图的充分条件……………………………………………………………… 张淑蓉王世英(2．1)Kn－M图中的路因子……………………………………………………………… 阮妮李建湘(2．5)m重有限非齐次马氏链熵率的收敛速度…………………………………………………… 鄢丽(2．9)双曲度量下导数的Schwarz-Pick不等式……………………………… 苑文法张敏段晓婧(2．14)一阶脉冲微分方程组的初值问题………………………………………………… 张杰明周碧波(2．17)可转换债券最优转换策略及其定价研究…………………………………………………… 朱艳芳(2．20)开放式基金的一种优化投资组合………………………………………………… 韩建新李齐(2．27)关于固定电话过渡至移动电话能源消耗的数学模型(英文) ………… 孟隆崔晓虹王暾(2．30)RCP(n)网络的并行路由算法………………………………………… 刘宏英高太平卢永红(2．38)基于遗传算法的图像分类…………………………………………………………………… 彭炜(2．41)基于粗糙k-均值的web事务的聚类……………………………………………… 曹棣孔晓斌(2．45)校园网序列比对蜜罐系统设计与应用……………………………………………………… 钟佳(2．50)关于被积函数f(x)≡0的一个充分条件的进一步结果……………… 陶有德任鹏路振国(3．1)半线性椭圆方程解的存在定理……………………………………………………………… 张辉(3．4)总人口变化的SIR型传染病模型的持续性…………………………… 刘艳闫萍白江红(3．6)推广的Jacobi椭圆函数法求解Jaulent-Miodek方程组…………………………… 于虹展红霞(3．11)具分布时滞的连续中立型变时滞系统的动态输出反馈H∞控制……………… 刘晓影包俊东(3．17)多个逆高斯总体尺度参数相等性检验…………………………………………… 杨静史建红(3．26)逼近优化问题中η-的鞍点最优性条件……………………………………………………… 叶提芳(3．30)一种求解一元代数方程的实用逼近算法………………………………………… 张泽华王川龙(3．35)Frobenius不等式的等式条件与可对角化矩阵的秩等式…… 林丽美周书明杨忠鹏陈梅香(3．39)迹非零的对称本原矩阵的scrambling指数……………………………………… 张月梅陈佘喜(3．43)一类多元整函数空间上再生核函数的存在性……………………………………………… 王春(3．47)有交易成本和红利的标的资产服从混合过程的期权定价…………… 乔克林蒋登智任芳玲(3．49)基于Copula-EVT模型的沪深股市尾部相关性分析……………………………… 余平史建红(3．54)基于辫群的门限代理盲多重签名方案…………………………………………… 任燕常敏慧(3．59)生产管理系统中审批逻辑的分析与设计…………………………………………………… 古玲聪(3．63)半素环上的左Jordan导子………………………………………………………… 刘珍魏妙(4．1)一类平面上的自仿射tiles ………………………………………………………… 王飞杨冰涛(4．4)具有年龄结构的MSEIS流行病模型稳定性分析……………………… 陈冬梅白江红闫萍(4．7)用改进的试探函数法求解非线性发展方程…………………………… 冯庆江崔娜韩亮(4．14)小波分析在函数优化中的应用……………………………………………………………… 王航(4．19)股票投资的风险价值VaR分析…………………………………………………… 张江红唐泉(4．25)敏捷制造中伙伴选择问题的多子差异演化算法……………………… 李瑞华李霞刘坤起(4．28)非下采样Contourlet变换在人脸识别中的应用…………………………………………… 王彩霞(4．33)硼/磷掺杂单壁碳纳米管电子结构的第一性原理计算………………… 张娟陈阿青邵庆益(1．50)D维量子阱中激子的声学极化子效应…………………………………………… 段晓峰侯俊华(1．56)基于ANSYS的塔式起重机四杆式附着结构强度分析………………… 朱冰谷立臣许睿(1．60)高能重离子碰撞中产生的强子和反强子的横质量分布…………………………………… 谢文杰(2．54)加偏压双光子光伏光折变晶体中Manakov孤子………………………………… 杨联弟苏艳丽(2．59)驻波声场声压幅度的实验测量…………………………………………………… 梁婷苏婕(2．64)第一性原理研究90 GPa下不同氧空位浓度对MgO电导率的影响…………… 张慧玲房勇(3．66)分数傅里叶变换的瑞利定理…………………………………………… 郑伟李勇杨虎(3．69)事件空间中变质量非完整系统的Lie对称性与守恒量…… 乔磊贾石海雷惠方梁景辉(3．73)语音信号的加窗傅里叶变换研究……………………………………… 徐坤玉张彩珍药雪崧(3．79)多室多温数控恒温水浴锅的研制与开发………………………………………… 徐文祥秦凯胜(3．83)L 10-FePt/FePt-C/Fe交换耦合梯度薄膜的制备与研究………………………… 王芳张静(4．37)高能重离子碰撞中的参与者数研究……………………………………………… 付美荣何春乐(4．41)海水表面张力的研究………………………………………………………………………… 张鹏(4．44)自由电子气体的费米量计算规律的探讨……………………………… 邱敏牟艳男张秀平(4．46)基于MATLAB的均匀N元直线阵性能仿真分析…………… 张清泉吉安平行小帅李莎莎(4．50)某钢厂步进式加热炉温度控制系统的设计……………………………………… 纪亚芳张志刚(4．54)用干涉法测量两简谐波的相位差…………………………………………………………… 张俊玲(4．58)［(BCO)5］2M(M=Fe，Co，Ni)金属夹心化合物的结构……………………… 郝爱琴贾建峰(1．65)三(2，4，6-三叔丁基芳氧基)钕催化ε-己内酯开环聚合特征的研究……………………………………………………………………… 张彩霞王艳张丽芳(1．72) 金属离子对邻氯酚红与牛血清白蛋白相互作用的影响…………………………………… 刘毓芳(1．77)废水中己内酰胺测定的两种方法比较…………………………………………… 杨晓婧白建华(1．80)过渡金属及其合金团簇的磁性检测实验研究进展……………………………… 吕瑾武海顺(2．67)吲哚与硝基烯烃的不对称Friedel-Crafts烷基化研究……………………………………… 贾雪锋(2．76)氰根桥连配合物［Ni2(μ2-L)(μ2-CN)2(CN)2］·H2O的合成、结构和性质研究………………………………………………………………………………… 张瑞凤赵彩娟(2．80) 基于小波变换的光谱分析法预测土壤总氮含量………………………………… 杨苗杨萍果(2．85)哈尔滨地区戊型肝炎的流行病学调查…………………………………………… 毕霖于源华(2．90)正交试验法纯化桑叶中黄酮类化合物研究……………………………………… 薛淑萍张立伟(2．93)基于共振瑞利散射光谱法对氧化苦参碱的测定研究……… 杨金香贺艳斌李俊波白熙(3．86)碳掺杂TiO2的制备表征及制备过程中影响因素的研究…………………………………… 田大惠(3．89)硝酸钬丙氨酸配合物及其配离子的标准生成焓研究………………… 郑平陈文生马晓玲(4．60)山西大同煤矸石山自然定居植物群落数量分类与排序分析…………………… 刘汪洋李素清(1．84)戈壁硕螽和大棘螽雄性鸣声结构的比较研究…………………………………… 赵敏芦荣胜(1．91)虚拟植物中环境因素影响及模拟的实现…………………………………………………… 张洁(1．95)山西翅果油树群落特征及多样性研究………………………………… 徐燕卢鹏毕润成(2．95)滩涂土地整理项目的生态影响评价——以古县白素村为例………………………………… 董丽丽薛龙义于亚军毕润成(2．100)中国金柄藻科(Stylococcaceae)植物研究………………………………………… 冯佳谢树莲(3．94)山西不同区域翅果油树群落特征的研究………………………………………… 毛婷婷毕润成(3．98)不同干扰程度对翅果油树种群结构与动态的影响…………………… 卢鹏徐燕毕润成(3．103)ASI法在山西褐土速效磷测定中的应用研究………………………… 王永刚王莉赵洁(3．109)山西吉县退耕地土壤种子库特征研究…………… 杨世栋卢鹏徐燕贾娟毕润成(3．115)大孔树脂纯化沙棘色素静态吸附曲线的研究……………………………………………… 朱志敏(4．65)反枝苋群落的物种多样性研究………………………………………… 王慧敏庞春花赵彩莉(4．69)Na2 SO3和NaHSO3对小鼠胃壁形态结构影响的研究……………………………………… 周艳华(4．74)褐土剖面磁化率与重金属元素变化特征及相关性研究………………………… 王艳红郑国璋(1．98)晋西北丘陵风沙区人工植被数量分类与排序研究……………………………… 赵德怀李素清(1．103)临汾市尧都区生态经济区划研究…………………………… 刘雪婷张爱国于亚军薛龙义(1．110)基于网络GIS的福建矿业权图形辅助审查系统设计与建设………… 刘金星李新通李名勇(1．116)基于生产力可持续指数的浙江省耕地利用动态分析…………………………… 李宇芳郑国璋(1．121)浮山县寨圪塔乡农用地利用动态变化分析…………………………… 安丽娟张爱国薛龙义(1．125)临汾市生态环境现状评估报告……………………………………………………………… 张爱国(2．106)大珠江三角洲港口群结构优化研究…………………………………… 郑芝杨肖玲林志海(2．110)晋城市生态城市水平建设研究…………………………………………………… 孙成慧薛龙义(2．117)太行山大峡谷旅游可持续发展模式与对策……………………………………… 陆霞张永清(2．121)临汾市48年日照时数变化趋势及影响因子分析………………………………………………… 贾海燕高明王惠荣狄晓英孙悦(2．124) 中国成年女性心输出量参考值与地理环境的关系研究……………………………………… 向思亭葛淼井静王欣张亚平闫燕春(3．120)基于NDVI的临汾市植被覆盖动态变化遥感监测研究……………… 尹超王艳芳张爱国(3．125)基于生态足迹的延庆县可持续发展水平测度研究……………………………… 武于非张贵祥(4．77)临汾凹陷“火炉”气候的成因探析………………………………………………… 段若笋薛红平(4．83)临汾凹陷地层的划分探索……………………………………………… 刘佩张杏梅马志正(4．88)唐北都中城地理环境略考…………………………………………………………………… 樊晓剑(4．91)基于物元分析的皖北城市土地集约利用评价…… 苏海民何爱霞袁新田方刚董传斌(4．96)大同市入境旅游客源市场特征的动态分析………………… 牛翠珍王国梁贾文毓孙玉梅(4．101)海峡西岸旅游区城市旅游经济联系研究………………………………………… 刘丽华林明水(4．108)体验经济时代城市边缘型湿地生态旅游开发模式……………………………… 赵瑞张碧星(4．114)资源型城市经济转型绩效与人力资源支撑研究——以山西省为例…………………………………………………………… 赵淑渊牛冲槐(4．119)运用层次分析法对武广高铁客运进行定量评估…………… 曹伟卢应发吴娟娟张姗姗(4．124)我校化学学科成为一级博士学位授权学科…………………………………………………………(1．22)武海顺教授捐出十万元设立山西师范大学博士研究生创新基金…………………………………(1．25)北京大学张继平教授应数计学院邀请来我校进行学术交流………………………………………(1．83)国家自然基金委常务副主任王杰应邀来我校作报告………………………………………………(1．109)中北大学靳祯教授应山西师范大学数学与计算机科学学院邀请来我校进行学术交流…………(2．26)英国谢菲尔德大学物理系Gillian Anne Gehring教授莅临我校作学术报告………………………(2．44)美国西密西根大学化学系莫亦荣教授莅临我校作学术报告………………………………………(2．89)中国科学技术大学郭文彬教授、上海大学郭秀云教授应山西师范大学数学与计算机科学学院邀请来我校进行学术交流…………………………………………………(2．105) 日本大阪大学Yoshihisa Inoue教授莅临我校作学术报告…………………………………………(3．38)《山西师大体育学院学报》更名为《体育研究与教育》………………………………………………(3．53)山西省科技厅组织专家组对我校省基础研究计划项目进行结题验收……………………………(3．82)2011年全国计算群论讲习班在我校举行……………………………………………………………(3．93)2011年度我校10个项目获得国家自然科学基金资助……………………………………………(3．97)美国德州农工大学化学系李建荣博士来我校作学术报告…………………………………………(4．32)山西省“百人计划”入选专家、澳大利亚墨尔本大学王耀麟教授来我校讲学……………………(4．57)山西师范大学化学与材料科学学院举办第六届博士论坛…………………………………………(4．73)复旦大学物理系金晓峰教授来我校作学术报告……………………………………………………(4．82)山西师范大学生命科学学院举办第四届博士论坛…………………………………………………(4．107)。
关于基本p群的性质与分类问题
ＩＩｌｌＩＦＩｌＩｒｌｌｆｌＩＴＩｆｌＹ２３０７３４８论文题目：关于基本Ｐ群的性质与分类问题专业：基础数学硕士生：王飞签名：盈坠指导教师：曲海鹏副教授签名：奠扯逢雌摘要设Ｇ是有限非交换Ｐ群，日是Ｇ的子群．如果Ｈ＜Ｇ就有日７＜Ｇ７，则称Ｇ是基本Ｐ群．本文给出了基本Ｐ群的一些性质，特别是，得到了一个有限Ｐ群是基本ｐ群的充要条件．进一步地，运用循环扩张理论分类了ｅ（０７）Ｇ３＝ｌ且非交换子群均为基本Ｐ群的有限Ｐ群．最后对一般的小阶基本Ｐ群做了初步的探索．【关键词】基本Ｐ群内交换Ｐ群４２群循环扩张【论文类型】基础数学本文得到国家自然科学基金（批准号：１１０７１１５０），山西省自然科学基金（批准号：２０１２０１１００１．３），和山西省留学回国人员资助项目（批准号：晋留管办发［２０ｎ］ｓ－５９）．ａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－Ｔｉｔｌｅ：ＳｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｇｒｏｕｐｓＭａｊｏｒ：ＰｕｒｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＮａｍｅ：ＦｅｉＷａｎｇ及儿ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＨａｉｐｅｎｇＱｕＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＡｓｓｏｃｉａｔｅＡｂｓｔｒａｃｔＨ’＜Ｇ’ＡｓｓｕｍｅＧｉｓａ丘ｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐａｎｄＨｉｓａｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆＧ．Ｉｆｗｈｅｎｅｖｅｒ日＜Ｇ，ｔｈｅｎＧｉｓｃａｌｌｅｄａｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐ·Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，Ａｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐｓａｒｅｂｅａｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕＰａｒｅ９１Ｖｅｎ·ａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒａｆｉｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐｔｏＭｏｒｅｏｖｅｒ，Ｆｉｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐｓｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ西（Ｇ７）Ｇ３２１ａｎｄａｌｌｏｆｎｏｎ－ａｂｅｌｌａｎｕｓｉｎｇＭａｇｍａＳＯｒｅｅ１ｍｏｒ、ｍａ－ｓｕｂｇｒｏｕｐｓａｒｅｂａｓｉｃａｒｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，Ｂｙａｌｓｏｇｉｖｅｎ．ｔｊｏｎａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐｓｏｆｓｍａｌｌｏｒｄｅｒａｘｅ【ＫｅｙＷｏｒｄｓ】ｂａｓｉｃＰｇｒｏｕｐ，ｍｉｎｉｍａｌｎｏｎ—ａｂｅｌｉａｎｉｍｓｕｂｇｒｏｕｐ，Ａ２一ｇｒｏｕｐ，ｃｙｃｌｉｃｅｘｔｅｎｓｉｏｎ【ＴｙｐｅｏｆＴｈｅｓｉｓ１ＰｕｒｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＰｒｏｖｉｎｃｅ（ｎｏ·２０１２叭００ｌ删Ｔｈｉｓｗ。
导群“较小”的极小非p交换p群的分类
＝
［ ｒ 上 ， ６ ］＝ ｎ
＞， ｍ ＞ ｎ≥ ３ ．
（ Ｉ Ｉ Ｉ ）＜０ ， ６ Ｉ Ⅱ ：６ ＝１ ， ［ ｎ ， ｂ ］ ＝ｎ ＞；
（ Ｉ Ｖ） ＜ｎ ， ６ ｌ Ⅱ ＝６ ” ＝１ ， ［ （ ｚ ， ６ ］ ＝ｆ 』 ＞； （ Ｖ） ＜ ｒ 上 ， ｂ Ｉ ＝ｂ ＝１ ， ［ ｒ 上 ， ６ ］ ＝ ｎ ＞， Ｐ≥ ３ ， ， ｎ≥ ２ ； （ Ｖ Ｉ ） ＜０ ， ６ ｌ ｎ ＝ １ ， ６ ＝ｎ ， ［ ０ ， ６ ］ ＝ ａ ＞； （ Ｖ Ｉ Ｉ ） ＜ｎ ， ｂ Ｉ ｒ 上 『 一＝ １ ， 厶 ｍ： ， ［ ０ ， ６ ］＝ｎ ＞， Ｐ≥ ３ ， ｍ ≥３ ．
６ （ Ｇ ）为群 Ｇ的 Ｐ导 群 ， 则有 Ｉ Ｇ ： ６ （ Ｇ ）ｌ ≥Ｐ ．本 文 给 出 了 Ｉ Ｇ ： ６ （ Ｇ ）Ｉ ＝Ｐ的 极 小 非 ｐ 交 换 Ｐ群 的分 类 ． 关键词 ： Ｐ交 换 Ｐ群 ； Ｐ导 群 ； 亚 循 环 Ｐ群 中图分类号 ： Ｏ１ ５ ２ ． １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
・
ｌ ６・
ｉ Ｉ Ｊ 帅 池大 学学 报 （ｆ ｛ 然科学版 ）
２ Ｏ １ ５年
（ Ｉ ） ＜ｎ ， ｂ Ｉ ｎ ＝６ ＝１ ， ［ ｒ 上 ， ６ ］ ＝ Ｈ 。＞， ｎ ≥３ ， ｍ ≥２ ；
（ Ｉ Ｉ ）＜ ， ６ Ｉ（ ／ Ｐ “ ＝１ ，
１ ＝１ ≤ ｍ
…
， ｍ 、／ ｎ 、
引理 ２
＝
设 Ｇ为有 限群 ， 则 Ｇ为极 ／ Ｊ ， ｔ ￣ ｐ 交 换Ｐ群 当且 仅 当下列 条件 成立 ：（ １ ） ｄ （ Ｇ ）＝２ ； （ ２ ） （ Ｇ ）
山西师范大学应用数学研究所
，
促 进 了 我 所 与 国 外 的 学术 交 流
2003
年 北 京 大 学著 名 学者 徐
明 曜被 我校 聘 为 特 聘教 授
，
长期
在我 所 工 作
，
他 的 到 来拓 宽 了 我
’
所 的 学术 研 究 领 域
，
吸 引了
一
些
优 秀人 才 来 我 所 开 展
学术 交 流 和
长期工 作
，
特 别是 他 对提 升群 论
．
，
获 得 了 较 系统 的 研 究 成 果
。
在肯定
“
方 向上 首 次 部 分 回 答 了 由著名 群论 学家 B
H
u
ppe
=
等人 于
1967
年 在 他 的 有 限 群 专 著 中提 出 的
”
非可
也完
解群
G
中反
正 规
子 群 H 是 否 等 价 于 G 中 包含 H 的 子 群 都 是 自正 规 化 的
． ．
这样
一
个公 开 问 题
；
全 回 答 了 上 个世 纪 9 0 年 代 群 论 学 家 v S
M
”
o n a
kh
一
o v
提 出的
“
是 否 存 在 有 限 多个 非 交 换 单 群 G ( 除 交 代
数 美 国 《 学评 勘
陕 西 师 范 大 学兼职
，
博士 生 导师
数 《 学研 究》 编 委
、
数 》 《 学教 育 学{艮 编 委
、
评论 员
曾 荣 获 山 西 省 优 秀共 产 党 员
。
优 秀留 学回 国人 员
关于p-换位子的若干性质
２ 主要 结 果
定理 １ 设 Ｇ为群 ， 对任 意 ０ｂＥ Ｇ的有 ［ ，］ ＥＧ． 则 ， Ｅ ０ ｂ 。Ｅ 证 明 设 Ｇ ＝Ｇ Ｇ ， Ｇ交换 ， 而 Ｇ是 Ｐ 交 换 的． ／ 则 从 ・ 对任 意 的 ０， ｂ∈Ｇ 有 ［ ，］ ＝１ 即得 ［ ，］ ， ０ ｂ ， ０ ｂ ∈
定 义 ６ ［
称 群列 Ｇ ：６ （ ）＞６（ ） ＞… ＞６（ 。Ｇ Ｇ Ｇ）：１ 为群 Ｇ的 Ｐ 导群列 ， 中 ６（ － 其 Ｇ）：６ Ｇ ， （ ）
对 ｉ＞ １ 有 ＋（ Ｇ）： ［ Ｇ ， Ｇ ］ Ｐ ：Ｐ Ｇ ６（ ） （ ） － （ ）被称 为群 Ｇ的 Ｐ 导群 列 的长度 ． － 定义 ７ 称 群列 Ｇ ： ７ （ １ Ｇ）＞７ （ ）＞ … ＞７ ＋（ １ Ｇ ２ １ Ｇ）： １ 为群 Ｇ的 Ｐ 下 中心群列 ， 中 叼 （ 一 其 ２Ｇ）： ６ Ｇ ， ｉ＞２有 叼 （ （ ）对 … Ｇ）： ［ Ｇ）Ｇ］． 叼（ ， 定 义 ８ 称群 列 １： （ ）＜ （ ）＜… ＜ （ ）：Ｇ为 群 Ｇ的 Ｐ上 中心 群列 ， 中 （ ）： Ｇ ， Ｇ Ｇ Ｇ － 其 Ｇ （ ）
张 勤海 （９ ５ ） 男 ， １５ 一 ， 山西翼城人 ， 山西 师范 大学 数学 与计算机 科学学 院教授 ， 博士 ， 士生导师 ， 博 主要从 事
群 论 方 面 的研 究 ．
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・
２・
山西师范大学学报 （ 自然科 学版 ）
２０ ０ ７正
中 图分 类 号 ：０ ５ ． １２ １ 文献标识码 ： Ａ
众 所 周知 ， 交换 性在 有 限群 的研究 中具 有非 常重 要 的 意义 ． 了 能在 有 限 ｐ群 中更 好 的研 究交 换 性 ， 为 －
恰有p个相互共轭的不正规子群的有限群
若 Ｇ不幂零 ， 则必存在 ｑ∈Ｓ ｌ Ｇ 且 Ｑ不正规于 Ｇ 分以下几步来证明． ｙ（ ） 。 ，
（ ） 明 Ⅳ。 Ｑ） ＝ ｑ １证 （ ． 若 Ｎ （ ）＞ｑ， ｑ ∈Ｓｌ Ｎ （ ） ， ｑ Ｎ （ ） 所 以 ｑ ｃａ Ｎ （ ） Ｇ 即 ｑ Ｇ 矛盾 ． ＧＱ 则 ｙ （ 。 ｑ ）又 。 ｑ ， 。 ｈｒ ｃ ｑ ， ， 又 Ｉ Ｎ（ Ｇ： ｑ）ｌ＝Ｐ 所 以有 ｌ Ｑ Ｉ＝Ｐ ， Ｇ： ．
（ ） ＝２ Ｇ ＝ Ｄ ￥Ｑ ． ３Ｐ ， ８ ８
引理 ４ 若 是 Ｇ的极 小非 正规子 群 ， Ｈ 为循环 ｑ 群 （ 则 一 ｑ为任 一素数 ） ．
证 明 若 非循 环 ，设 。 ， 为 日 的两 个 极 大 子 群 ，则 由题 意 知 。 为 Ｇ 的正 规 子 群．又 ， Ｈ ：Ｍ． ， Ｈ为 Ｇ的正 规子群 ， 盾． 以 只能为循 环 ｑ 群． Ｍ：则 矛 所 一
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山西师范大学学报 （ 自然科学版 ） 第２ ２卷第 ３期
２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｘ ｒ ｌＵ ｉ ｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｉＮｏ ｍａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｙ
Ｎａｕ ａ ｃｅ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｔｒ Ｓ ｉｎｃ ｉｉ ｌ ｏ Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １２ ３
摘
要： 通过研究有限群 Ｇ的 Ｓ ｌ ｙ ｗ子群 ， 出了恰有Ｐ Ｐ＞２ 个相互共轭的非 正规子群 的有限群的完 ｏ 给 （ ）
全分类 ， 以及恰有 ２个不正规子群的有限的完全分类． 关键词 ： 共轭 ； 不正规子群 ； ｙｏ Ｓｌ ｗ子群 中图分 类号 ： １２ １ ０ ５ ． 文献标识码 ： Ａ
研究 具有许 多正 规子群 的有 限群是 近年来许 多 学者 感兴 趣 的 问题 ， 一个 著名 的例 子是 Ｄ ｄｋｎ ｅｅｉｄ群 ． 其 中一些 学者关 心 的是有 “ 多 ” 较 正规 子群 的有 限群 ， 句话 说 ， 有 较少 的不 正规 子 群 ． 如 Ｐｓｍ ｎ在 换 具 例 ａｓ ａ
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山西师范大学数学与计算机科学学院群论研究方向时间:2013-03-07 11:13来源:未知作者:huawen 点击:310次（一）群论研究方向的研究内容及成果 1、群构造及群的可解性问题研究。
多年来, 我们长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。
比较完整地、系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、次正规子群、半正（一）群论研究方向的研究内容及成果1、群构造及群的可解性问题研究。
多年来, 我们长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。
比较完整地、系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、次正规子群、半正规子群、反正规子群、半置换子群等对有限群构造的影响。
2、群论方法对图论中问题的研究。
我们研究置换群本身的某些性质以及群在图上的作用,并应用群论方法和结果研究图论中的若干问题。
我们给出了奇素数幂阶的弧传递循环有向图、二面体上非正规1正则的4度Caley图、4p阶的弧传递的三度对称图、pn(n≤2)个点上度数不超过3的有向对称图的完全分类等结果。
3、有限p-群的正规结构问题研究。
我们在p-群研究领域解决了以色列p-群专家Y. Berkovich在他的未出版的p-群巨著《Groups of Prime Power Order 》中提出的几个公开问题，初步建立起p-群的研究队伍, 形成了自己的研究特色。
4、计算群论研究：计算群论是有限单群分类完成之后，越来越活跃的一个研究领域。
我们在该领域开始学习和研究，已开展初步工作。
（二）群论研究方向的发展简况我院的群论研究起步于1979年。
1979年暑假，山西大学张宝林教授邀请武汉大学张远达教授在太原举办有限群讲习班，张成业老师带他的学生张勤海前去听讲。
自此以后，有限群研究在我院开始起步。
根据学校发展的需要，1982年，在当时的院领导和数学系领导的支持下，代数教研室主任张成业老师派张勤海去武汉大学进修，系统学习代数学方面的知识。
1982年9月至1984年1月，张勤海跟随张远达教授、熊全淹教授从头开始进修了近世代数、有限群论、环理论、模理论、数论、交换代数等代数学方面的课程。
进修期间，参加了樊恽老师主持的有限群讨论班，也得到了他的指导。
1985年张勤海考取了西南师范大学数学系的研究生，师从陈重穆教授学习有限群论。
在学期间，开始考虑次正规子群分别是正规子群、拟正规子群、s-拟正规子群的有限群以及子群为正规（拟正规、s-拟正规、半正规、s-半正规）或自正规（反正规）的有限群的构造、内-外-∑-群等问题并在这个研究领域发表了一系列研究论文。
1987年他的第一篇论文"有限可解T-群的一个充要条件"发表在西南师范大学数学系编印的内部刊物《研究记事》上。
这是我院群论研究方向的第一篇研究论文。
以后的几年，张勤海在群论研究方向上又在《数学学报》、《工程数学学报》、《数学研究》、《Northeast Math. J》、《J of Math．Res．& Exp.》、《Chinese Quarterly J. Of Math.》等杂志发表了十六篇研究论文。
赵英教授1985年调来我院后在群论方向上也进行过研究，分别于1991年、1992年在《山西师范大学学报》、《工程数学学报》等杂志发表了群论研究的三篇论文。
张成业与张勤海合作在《曲阜师范大学学报》发表了群论研究论文一篇。
张勤海1987年西南师范大学研究生毕业后返校工作，这大致是群论研究方向的早期情况。
1987年张成业教授招收第一届研究生陈尚弟，1988年招收第二届研究生王俊新。
张成业教授确定把群论作为两名研究生的研究方向，赵英与张勤海一起协助培养。
这为群论研究方向在我院的扎根起到了奠基作用。
从此有限群研究方向开始在我院坚持下来至今。
陈尚弟、王俊新在张勤海硕士学位论文的基础上分别研究了内-(q)-(p)-群、(s)-群及内-(s)-群，陈尚弟对于含有一个二元生成的非交换极大子群的内-(q)-(p)-群获得了全部分类；王俊新获得了(s)-群的结构并对内-(s)-群获得了全部分类。
这两届研究生毕业后，张成业教授1991年10月退休，群论研究方向停止招生。
赵英继续在计算复杂性理论领域开展研究工作。
1995年8月张勤海赴美留学，考取纽约州立大学宾厄姆顿分校(State University of New York at Binghamton, 简称SUNY)博士研究生，师从Ben Brewster教授继续学习群论。
在学期间，主要研究由著名群论学家B. Huppert 于1967年在他的有限群专著提出，K.Doerk和 T.Hawkers于1992年在他们的有限可解群巨著中再一次提出的非可解群中一个长期以来悬而未决的公开问题，即反正规子群与自正规化子的关系问题，张勤海对交代群Ap进行了研究，首次在肯定方向上回答了这个问题。
之后又与Ben Brewster、M. Ward（美国）合作对交代群An 进行了研究，在肯定方向上又进一步回答了这个问题。
张勤海也完整地解决了每个子群为半置换的有限群的结构问题。
该方面的成果发表在《Archiv der Mathematik》、《Communication in Algebra》、《J．of Math．Res．＆Exp.》和《Northeast Math. J》等杂志上。
1998年7月获该校数学博士学位后回校工作。
该时期群论研究方向的科研人员主要研究群构造及可解群方面的有关问题。
给出了满足一些条件的有限群的构造，在国内外杂志上发表了20余篇学术研究论文。
张勤海与王俊新的主要成果获山西省科技进步奖二等奖。
2000年后，群论研究方向的科研工作主要围绕研究生的培养进行。
根据我院的实际及研究生的生源情况，采取导师与研究生一起开展研究工作的模式。
在这方面, 导师们付出了很大的心血, 也取得了很好的成果。
我们的主要做法是：1、资助研究生参加学术会议，以开阔研究生的学术视野，让研究生获取尽可能多的专业信息，增强研究生的自信心；2、聘请校外专家讲学和做专题讲座。
在让研究生走出去的同时，导师们聘请本专业和相关专业的国内外著名学者经常来我校为研究生做不同类型的报告和讲座，让研究生领略著名学者的风采，了解学科前沿动态，提高研究生的学习兴趣和积极性；3、对研究生的生活给予不同程度的资助。
由于基础研究的困难性及枯燥性，需要研究生耐得住寂寞，甘坐冷板凳，潜心学习钻研，为了使他们有一个较好的生活条件，导师们从项目经费中对研究生的生活给予不同程度的资助；4、让研究生参与课题研究，较快提高研究生的科研能力。
为使研究生尽快接触学科前沿，导师们结合承担的项目为研究生选题。
在这方面，导师们把自己想好的题目和研究思路告诉研究生，与他们一起联合攻关。
这样做提高了研究生培养质量。
5、编写研究生教材及辅助材料。
由于我国研究生教育起步较晚以及研究生教育的特殊性，研究生教材的建设一直比较薄弱。
针对此种情况，结合基础课的教学，我们开始考虑研究生教材的建设。
到目前为止，已出版了研究生教材三部，完成研究生教材一部；6、自招收研究生以来, 一直坚持导师为研究生讲授基础课。
2000年9月，张勤海教授在应用数学硕士点招收第一届群论方向研究生王丽芳、赵俊英。
张勤海与研究生一起继续研究群构造及可解群方面的有关问题。
张勤海与王丽芳继续研究半置换子群对有限群的幂零性、超可解性、可解性的影响问题，得到了许多有意义的结果。
尤其是找出了所有的只含一个非平凡半置换子群的有限非交换单群，作为推论，完全回答了V.S.Monakhov于1990年在《Unsolved Problems in Group Theory》中提出的一个问题。
这方面的研究成果发表在《Algebra Colloquium》、《Chinese Quarterly J. Of Math.》、《J．of Math．Res．＆ Exp.》、《数学学报》等杂志上。
王丽芳的博士学位论文又继续了该领域的研究，获得了很好的结果。
共轭置换子群是一个新的概念，1997年由T. Foguel提出，只做了初步研究。
国内外在该方面的研究几乎是空白。
张勤海与赵俊英在这个领域开始探索，获得了有限群为幂零、超可解的许多充分条件。
成果发表在《数学杂志》、《纯粹数学与应用数学》、《西南师范大学学报》等杂志上。
2002年张勤海教授在基础数学硕士点招收第二届群论方向研究生周进鑫、王玲丽、郭鹏飞。
2003年1月，我国著名群论学家、北京大学徐明曜教授来我校工作，被我校聘为特聘教授。
他的到来使群论研究的领域进一步拓宽，研究水平迈上了一个新的台阶。
徐明曜、张勤海与国内外有关学者一起主要研究群与图中的有关问题及半置换子群对有限群的影响问题，并指导这三名研究生在该领域开展学习和研究，得到了某些图的分类及有限群的某些刻划，获得了许多有意义的结果。
徐明曜与Baik、Young-Gheel（韩国）、Sim、Hyo—Seob（韩国）给出了奇素数幂阶的弧传递循环有向图的分类，该成果发表在组合论最高级别的刊物《European Journal of Combinatorics》上，徐明曜与王长群（郑州大学）研究了二面体上非正规1正则的4度Caley图；徐明曜、张勤海与周进鑫分类了4p阶的弧传递的三度对称图，确定了交换群上小度数的Cayley有向图的正规性并给出了pn(n≤2)个点上度数不超过3的有向对称图的分类；张勤海与王玲丽分类了满足某些条件的Petersen图的连通正则覆盖图；张勤海与王丽芳、郭鹏飞确定了Sylow子群的极大子群分别是正规、拟正规、s-拟正规、半正规、s-半正规的有限群的结构。
这些成果发表在《Discrete Mathematics 》、《Chin. Ann. Math.》、《Southeast Asian Bull.Math.》、《系统科学与数学》、《数学实践与认识》等杂志上。
2003年以来，根据国内外群论研究的发展趋势，徐明曜、张勤海决定对群与图及可解群领域继续进行研究，但把精力转移到国内比较薄弱的p-群领域。
徐明曜、张勤海与2003～2006年的四届研究生一起在有限p-群的正规结构问题及满足某些条件的有限p-群的分类等问题上开展了一系列研究工作，解决了该领域的几个公开问题，取得了令人瞩目的成果，形成了明显的研究特色。
2003年徐明曜教授、张勤海教授在应用数学、基础数学硕士点招收了7名群论方向的研究生。
他们是：安立坚、宋蔷薇、祁燕、孙翠娟、孙秀娟、曹建基、刘慧峰。
与这届研究生一起，徐明曜、张勤海与安立坚分类了真子群为交换或亚循环的有限p-群以及真子群为交换或二元生成的有限p-群，解决了Y. Berkovich在他的未出版的有限p-群专著中的两个问题；该成果发表在代数领域最高级别的刊物《J. Algebra》上，张勤海、徐明曜与孙秀娟、安立坚分类了二极大子群为交换的有限p-群，纠正和补充了Y. Berkovich与Z. Janko关于A2-群的一个小的错误和遗漏的情况；徐明曜与安立坚、曲海鹏、杨重生（北京大学）确定了拟NC-群的结构；张勤海、徐明曜与宋蔷薇分类了型不变量为（1,1,1,1,1）和(e,1,1,1) (e≥ 2)的正则p-群，作为推论，给出了p5(p≥ 5)阶群的一个分类；张勤海、徐明曜、曲海鹏与孙翠娟给出了有限二元生成平衡p-群的分类，解决了Y. Berkovich在他的未出版的有限p-群专著中提出的一个问题；张勤海与曹建基给出了超特殊p-群的一个刻划以及非平凡正规子群有相同阶的有限群的结构；李世荣（广西大学）与张勤海给出了有限群是p-超可解的两个充分条件；徐明曜、张勤海分类了亚循环2-群；讨论了每个子群均共轭置换的有限群；张勤海给出了最小的Suzuki 2-群的一个刻划。