人教数学必修五课件-34基本不等式(三)
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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
高中数学人教A版必修必修五基本不等式课件
sinx
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9
sin x
三相等
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
小结：运用 a b ab(a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
础
1
1
1
练 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3 。
习
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的 最大值是 __2__ .
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9
sin x
三相等
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
小结：运用 a b ab(a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
础
1
1
1
练 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3 。
习
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的 最大值是 __2__ .
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式
探究点2 用基本不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1) yx＋xy ≥2；证明
∵x，y都是正数， ∴xy>0，yx>0， ∴yx＋xy≥2 yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明
∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购 买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解答
名师点评
应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调 性求解.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解答
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园 的面积为xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
A.6
√B.4 2
C.2 6
D.8
∵a＋b＝3， ∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2，
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.4基本不等式(3)
2 变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
求y的最小值．
讲授新课
练习. (1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1 ，
ab 求y的最小值．
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc (3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)( 1 1) 8.
3.4基本不等式：
ab a b 2
复习引入
基本不等式： a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
Hale Waihona Puke 讲授新课例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
求y的最小值．
讲授新课
练习. (1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1 ，
ab 求y的最小值．
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc (3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)( 1 1) 8.
3.4基本不等式：
ab a b 2
复习引入
基本不等式： a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
Hale Waihona Puke 讲授新课例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
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求y的最小值．
讲授新课
练习.
(1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1，
求y的最小值．
ab
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc
(3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)(1 1) 8.
abc
课堂小结作业三十三.
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
***基本不等式：
ab a b 2
主讲老师：陈震
复习引入
基本不等式：
a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值.
讲授新课
练习.
(1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1，
求y的最小值．
ab
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc
(3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)(1 1) 8.
abc
课堂小结作业三十三.
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变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
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讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
***基本不等式：
ab a b 2
主讲老师：陈震
复习引入
基本不等式：
a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
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讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b是正数且2a b 4，求ab的最值.