工科数学分析试卷+答案
工科数学分析期末试卷部分参考答案
六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分） 解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
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10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷 参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2
北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案
解此方程组，得
10．设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt ．⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数，并指出其收敛域．⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ，并利用其展开式的前三项近似计算积分 解： ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ，试判断其误差是否超过 0.0001 ？ x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以，在区间 [0, x ]上逐项积分，得
y x+ y ∫∫ e dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ， y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6．计算二重积分 域．
解： 作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ，则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8．求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x ． 解：
2
这是 Euler 方程，令 x = e ，或 t = ln x ，原方程化为
09级《工科数分》(下A解答)
09级《工科数学分析》(下)试题A 参考答案一．填空题（每小题4分，总12分。
将答案按题号写在答题纸上，不写解题过程）1、222,0y C Cx C =+≥的常数；2、3 ；3、0 ，34-. 二．选择题（每小题4分，总12分。
每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号按题号写在答题纸上）1、C;2、B ；3、B.三（7分）、解：sin ,xz f e y x ∂'=∂2222sin sin ;x x z f e y f e y x∂'''=+∂ 同理2222sin cos ;x x zf ey f e y y∂'''=-+∂结合已知得0.f f ''-=解这个常微分方程得 1212(),,t t f t C e C e C C -=+为任意常数。
四（8分）、解：设32(18)F x y z x y z λ=+++-，令2233230200180x y z F x y z F x yz F x y F x y z λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩，解出9,6,3x y z ===由题意知最大产出必存在，所以9,6,3x y z ===为所求。
五（7分）、解：令23zF z e xy =-+-，则有()2|4,x P F P y '==()2|2,y P F P x '==()(1)|0.z z P F P e '=-=故 切平面方程为4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+⋅-= 即 240x y +-= 法线方程120420x y z ---==即 120.210x y z ---== 六（8分）、解：依题意令密度函数为k ρ=为待定常数。
由球体的对称性只需求其对z 轴的转动惯量22()d z I x y V ρΩ=+⎰⎰⎰即可。
又由题设m dV ρΩ=⎰⎰⎰。
工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案
z xv yu 2 ; 代入①即得 2 x x y
z vy xu 2 . 代入②即得 2 y x y
y2 6.(1) z x f ( ) : x
2y f
y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x
y2 (2) z f ( x ) : x
7.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 n ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 2 M a b c 切平面方程
z u v v u y y y
1 u ln( x 2 y 2 ) 2
②
由 x eu cos v, y eu sin v , 得
y v arctan x
u x 2 , 2 x x y y x y 2
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
利用行列式解出 du, dv ：
du
d x e u sin v d y e u cos v e u cos v e u sin v u u e sin v e cos v
e
u
cos v
e u sin v
e u sin v
e u cos v
z u v v u x x x ① u v z v u ② y y y
期中考试参考答案
1. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
工科数学分析试卷(含答案)
哈尔滨工业大学（威海）秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）题号 一二三四五六七八卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩分数一、选择题（请把答案写在括号内，每题2分，共10分）1. 数列有界是数列收敛的( )(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2.设22(cos )sin f x x '=,且(0)0f =,则()f x =( )(A) 21cos cos 2x x + (B) 241cos cos 2x x -(C) 212x x - (D) 212x x +3. 11lim(1)lim(sin )xx x x x x-→→∞++= ( ) (A).e (B). 1e -; (C). 1e + (D). 11e -+4. 对于不定积分，在下列等式中正确的是( )（A ）[()]()d f x dx f x =⎰； （B ）()()df x f x =⎰；（C ）()()f x dx f x '=⎰； （D ）()()df x dx f x dx =⎰. 得分遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范5. 设()y f x =满足关系式240y y y '''-+=,若0()0f x >且0()0f x '=，则()y f x =在0x 点（ ）.(A).取极大值； (B).取极小值；(C).在某邻域内单调增； (D).在某邻域内单调减.二、填空题（每题2分，共10分） 1. 设,m n 为正整数，且m n <，则0sin()lim (sin )n mx x x →= .2. 设()(1)(2)(2002)f x x x x x =++⋅⋅⋅+，则 (0)f '= .3.定积分0=⎰ .4. 设()()f x g x '=，则微分2[(sin )]d f x = .5.不定积分2= .三、 算题（每题5分，共30分）1. 计算11lim()ln 1x x x x →--.遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范2.计算.1 lim(123)n n nn→∞++.3.已知21ln cos arcsin2xy x xx=++求y'.4.求由参数方程sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数dydx,22d ydx.5.计算积分(1ln)xe x xdxx+⎰.6.计算Iπ=⎰.四、解答下列各题（每题10分，共50分）1.设函数32ln(1),0,arcsin()60,10.sin4axaxxx xf x xe x axxxx⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩问(1)a为何值时, ()f x在0x=处连续;(2)a为何值时, 0x=是()f x的可去间断点.2.当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x = a，x = a+1，y= 0所3.围成的图形面积最小？4.已知1x2x =…, 1n x +=证明数列{}n x 收敛并求其极限.5. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ≠，试 证：至少存在一个(,)a b ξ∈，使()()()()f g f g ξξξξ''=.5设严格单调递增函数()[,]f x C a b ∈且()0f x ''>，证明：()()()()()()2ba f a fb b a f a f x dx b a +-<<-⎰遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）秋季学期 工科数学分析(B 类)试题卷（A ）答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3)π(4)2(sin )sin 2g x x(5)35224235x x C ++三1. 11ln 1ln ()lim lim limln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x xx x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2．解：因为1113(3)(123)(33)n nn n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=，所以1(123)3lim nn nn →∞++= 3．223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4．sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-， 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5．(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C+=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四．解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-，从而当1a =-时()f x 在0x =连续； 令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-，从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。
工科数学分析试题及答案
A一、 求解下面问题（每小题6分，满分48分）1.设),(y x f 为一连续函数，求极限.),(122220lim dxdy y x f rr y x r ⎰⎰≤+→+π解 (0,0)),(12222limf dxdy y x f r r y x r =⎰⎰≤+→+π建议：中间过程4分2. 改变累次积分的积分顺序：dy y x f dx x x ),(-21-426-2⎰⎰0820-1(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx---=+⎰⎰⎰⎰3. 计算二重积分dxdy y x D22sin +⎰⎰，其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D解：D⎰⎰4. 计算三重积分dxdydz x y V⎰⎰⎰+)1(2012，其中V 由22--4y x z =与223y x z +=所成的立体.解：由于V 是关于yoz 平面对称的，且x y 2012是关于x 的奇函数，所以02012=⎰⎰⎰d x d y d z x yV，于是23220121()r VVyx dxdydz dxdydz d πθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223)r d rdr πθ=⎰2223001)()2r d d r πθ=⎰22220012(4)()62r d r d r πθ⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰34222001219(4)6236r d r πθπ⎡=⋅---=⎢⎥⎣⎦⎰ （写出对称性给2分，计算过程适当给分）2204sin 6d r rdr πππθπ==-⎰⎰5. 计算积分2(2)I x z ds Γ=+⎰，其中曲线Γ为2222,0.x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩（利用对称性）解： 利用轮换对称性知2322222212()333a a x ds y ds z ds x y z ds ds πΓΓΓΓΓ===++==⎰⎰⎰⎰⎰1()03zds xds yds x y z ds ΓΓΓΓ===++=⎰⎰⎰⎰ 所以322(2)3a x z ds πΓ+=⎰（建议：两个对称性各3分，写出参数方程直接计算适当给分）6. 计算第一型曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分. （可利用对称性） 解： 利用对称性知0xdS ydS ∑∑==⎰⎰⎰⎰设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z dS ∑++⎰⎰=zdS ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-（建议：对称性0xdS ydS∑∑==⎰⎰⎰⎰2分 ，= 1分，zdS ∑⎰⎰计算过程3分）7. 证明向量场))2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz F ++++++= 是有势场，并求其势函数.解：先验证有势场0)2()2()2(=++++++=∂∂∂∂∂∂z y x xy z y x xz z y x yz F rot zyxk j故是有势场. ---------3分.)2()2()2(.),,222000000),,(),,(),,(),,(0000000C xyz z xy yz x dz z y x xy dy z y x xz dx z y x z y RdzQdy Pdx s d F z y x zzyy xx z y x z y x z y x z y x +++=++++++++=++==⎰⎰⎰⎰⎰（φ（另一种方法也可（这里略），请判卷的时候注意。
大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
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工科数学分析试题卷及答案
考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %
一、填空题（每题2分，共20分）
1．---→x
x x x sin 1
1lim 30 3-
2．若⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0=x 处连续，则
a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0
x x A x f x x 的定义： ε
δδε)()()(:00
0A x f x x ∈
→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,02
3
+++-→cx bx ax e x x
是3
x 的高阶无穷小，则=a
6
1
=b
2
1
=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f n
x x ,1)
()
()(lim
2000
，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值
姓名: 班级： 学号：
遵
守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
7．设x x y +=，则dy
dx x
)211(+
⋅
8．设x x y sin =，则=dy dx x
x
x x x
x
)sin ln (cos sin +
9．
⎰=+dx x x 2
1arctan C x +2
arctan 2
1 10．⎰=+dx e
e x
x
12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）
1．设0,2)
1()1l n (2
s i n
2t a n l
i m 222
2
≠+=-+-+-→c a e d x c x
b x a x x ，则必有（ D ）
（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9
3
20:0<
<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）
（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）0
3．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）
（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。
4．)(x f 二阶可导，1)
(lim
,0)0(3
-=''='→x
x f f x ，则（ A ） （A ）())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点； （B ）)0(f 是)(x f 的极大值； （C ）)0(f 是)(x f 的极小值； （D ） （A ），（B ），（C ）都不成
遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
5．设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00
,1sin )(x x x
x x f n
具有有穷导数，则自然数n 的最小值为（A ） （A ） 2； （B ） 3 ； （C ） 4 ； （D ） 5
6．设∑=+=n i n n
i
n S 111，则=∞→n n S lim （ A ）
（A ）
)122(32- （B ）)122(23- （C ）)14(323- （D ）)14(2
3
3- 7．设)(x f 连续，则下列函数必为偶函数的是（ D ） （A ）⎰x
dt t f 02
)( （B ）⎰x
dt t f 0
2)(
（C ）
[]⎰
--x
dt t f t f t 0
)()( （D ）[]⎰-+x dt t f t f t 0
)()( 8．
⎰
∞
+=+1
)
1(x x dx （ A ）
（A ）
2π； （B ）π； （C ）π2； （D ）4
π 9．设⎰⎰+++=x
x dt t dt t x F 01
022
1111)(，则有（ B ） （A ）0)(≡x F ； （B ）2
)(π
≡
x F ；
（C ）x x F arctan )(=； （D ）x x F arctan 2)(=
10．设⎰=x dt t f x F 0)()(，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=21),1(3
1
1
0),1(21)(2
x x x x x f ，则)(x F 在区
间)2,0(内（ D ）
（A ）无界； （B ）递减； （C ）不连续； （D ）连续 三、试解答下列各题：（共30分） 1．叙述并证明拉格朗日中值定理。
（3分）
叙述 1分 证明定理 2分
2．设x
x x y 1
arctan 1arcsin
++=，求dx dy 。
（3分） 解： 1分 x x x x x x
x x y 21
1111)
1(1
121
11122
⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⋅
+⋅
+-
=
' 1分 )
1(21
)1(21
x x x x +-
+=
0= 1分
3．设2
e b a e <<<，证明：)(4
ln ln 2
2
2
a b e a b ->
- （4分） 证：设 0)(,)(4
ln ln )(2
2
2
=---=a f a x e a x x f 0)(,4
ln 2)(22=-=
'e f e x x x f 2分 )(0ln 1)(2
e x x
x x f <<-='' )(x f '下降 0)()(2
='>'e f x f 由此得
↑')(x f 0)()(=>⇒a f b f ，从而得证。
2分
4．设)(x f 在[])0(,0>x x 上连续，在),0(x 内可导，且0)0(=f ，试证：
),0(x ∈∃ξ使)()1ln()1()(ξξf x x f '++= （4分） 证：设)1ln(
)(x x g +=，虽然),0(,0)(x x x g ∈∀≠'
由于)(x g 在[]x ,0上连续，在),0(x 内可导，故)(x f 与)(x g 满足柯西中值
定理条件，从而知：),0(x ∈∃ξ： 2分
ξ
ξ+'=+=--11)
()
1l n ()()0()()0()(f x x f g x g f x f ，即)()1ln(
)1()(ξξf x x f '++= 2分 5．求极限1)(arctan lim 20
2
+⎰+∞
→x dx t x
x （4分）
解：原式()4
1
arctan lim 222π=
+=
+∞
→x x
x x
2分 2分
6．试求由曲面122
2222=-+c z b y a x 与平面c z ±=所围成的几何体体积。
（4分）
解：⎰+=c
dz c
z ab V 022
)1(2π 2分
abc π3
8
=
2分
7．计算积分： （4分）
⎰
+=dx x xe I x 2
32
arctan )
1(
设tdt dx t x t x 2sec tan ,
arctan ===
⎰⎰=⋅⋅=t d t e t
t d t
e t I t t s i n s e c s e c t a n 3
2
2分
()C t t e t
+-=c o s s i n 2
1 C x
x e x ++-⋅=
2a r c t a n 1121 2分
8．计算积分： （4分）
dx x x x x I ⎰
-++=2
22)1()1ln(
解：()
2
222
)
1()(1ln 21x x d x x I -⋅++=⎰ ⎰+---++=22221)1(21)
1(2)1l n (x x dx
x x x 12221
)
1(2)1l n (I x x x --++= 2分
令tdt dx t
x 2sec tan ==
⎰⎰+-+=-=-=C t
t
t t d t t t d t I s i n 21s i n 21ln 221sin 2)(sin sec )tan 1(sec 2231
C x x x x +-+++=
2
121ln
2
212
2
C x x x x x x x I +-+++--++=2
121ln 241)1(2)1ln(2222 2分。