工科数学分析期末试卷部分参考答案
北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案
解此方程组，得
10．设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt ．⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数，并指出其收敛域．⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ，并利用其展开式的前三项近似计算积分 解： ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ，试判断其误差是否超过 0.0001 ？ x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以，在区间 [0, x ]上逐项积分，得
y x+ y ∫∫ e dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ， y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6．计算二重积分 域．
解： 作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ，则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8．求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x ． 解：
2
这是 Euler 方程，令 x = e ，或 t = ln x ，原方程化为
学秋季学期工科数学分析答案
哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。
（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。
（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。
（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
工科数学分析期末试卷
工科数学分析期末试卷1.(10分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0。
证明：存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $f''(\\xi)= -\\frac{4}{(b-a)^2}f(\\xi)$。
2.(15分) 求解微分方程初值问题：$$ \\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0 \\\\ y(0) = 2 \\\\ y'(0) = -2\\end{cases} $$3.(15分) 计算 $\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2}}{1+x^2} dx$。
4.(20分) 设 $\\{a_n\\}$，$\\{b_n\\}$ 均为正数数列，$\\lim_{n\\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，$\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{b_{n+1}}{b_n} = b$，证明：$$ \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{(a_1b_1)(a_2b_2)\\cdots(a_nb_n)}{(ab)^n} = 1 $$5.(20分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且f″(x)+k2f(x)=0，其中k>0。
证明：对任意$\\epsilon > 0$，存在 $0<\\delta \\leq \\frac{1}{2}(b-a)$，使得当$\\left|\\frac{h}{\\delta}\\right|<1$ 时，有$$ \\left|\\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} - k^2f(x)\\right| <\\epsilon $$6.(20分) 计算 $\\int_{0}^{1} \\frac{\\ln(1+x)}{x} dx$。
工科数学分析试卷+答案
工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值姓名: 班级： 学号：遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。
10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案
河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。
7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。
二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。
解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。
北京理工大学2009-2010学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。
数学分析第二学期期末考试题及答案
数学分析第二学期考试题一、 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ）A 、连续B 、有界C 、无间断点D 、有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)(B 、0)(=⎰-aa dx x f C 、⎰⎰-=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(D 、)(2)(a f dx x f aa =⎰-3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ）A 、 ⎰11dx xB 、 ⎰∞+11dx xC 、 ⎰+∞sin xdxD 、⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n n a 收敛是∑∞=1n n a 部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ c ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ）A 、10arcsin xdx ⎰ B 、11ln eedx x x ⎰C 、1-⎰D 、10sin xdx x⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f ba ⎰存在；C 、 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积；D 、 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。
7、下列命题正确的是（ d ） A 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 、 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛 D 、)(1x a n n ∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（ c ）A 、x eB 、x sinC 、)1ln(x +D 、x cos 二、计算题：（每小题7分，共28分） 9、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf 。
南京航空航天大学工科数学分析期末考试_2012_06_26(答案)A
.
;……….…(7分)
,……….…(9分)
所以 。……….…(10分)
六、解：……….…(3分)
……….…(6分)
……….…(8分)
……….…(10分)、
七、证明： ……….…(2分)
由格林公式有
……….…(4分)
……….…(5分)
切平面方程为 。……….…(9分)
四、解：求导得
。……….…(4分)
因为特征方程为 ，所以特征根为 。
齐次微分方程的通解为 。……….…(6分)
因为 不是特征根，非齐次方程特解的形式为 .
代入非齐次方程，则有 。
所以非齐次方程的通解为 。……….…(10分)
一、 填空题
1. ；2． -；3． ；
4． ；5． ；6．
二、1解： ，………………(2分)
……………(5分)
………(8分)
2解：曲线参数化 ……….…(2分)
将曲线的参数方程代入则有
….………….…(6分)
=
= …………………………(8分)
3解： 的球面坐标为 ，
其中 。….………….…(3分)
= ….………….…(6分)
….………….…(8分)
4 解：由于 ，则有 ，……….…(2分)
因此 ；……….…(4分)
所求锥面在xoy面上投影为 ，……….…(6分)
因此所求锥面的面积为 。………(8分)
三、解：设 处的法向量为 ，则 =（ ）.……….…(2分)
由条件对 求导可知 ，……….…(6分)
则有
。
因此有
。
则 =（ ），……….…(8分)
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六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分） 解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
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10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷 参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2
，由 (1)
5 2
，得 C2
0
，于是
(t) t3 3 t2 ,t 1 . 2
七（18）．（本题满分 6 分）证
设 F (x) M (x a) m(b x) ，则
b
F (a) m(b a) , F (b) M (b a) ，于是 F (a) f (x)dx F (b) ，因此至少存在 a
10．解
lim
(sin
x sin(sin
x)) sin
x
2 lim
sin
x sin(sin
x)
2 lim
t
sin t
1
.
x0
1 cos x2
x0
(sin x)3
t t 0
3
3
11．解
1 dx 1
1 x(1 x2 )
2
1
1 x2
1 1 x2
d(x2
)
1 2
x2 ln
1 x2
1
1 2
ln 2
.
12．解
e
t ln x
sin(ln x)dx
1
1 et
0
sin
tdt
1 2
et
(sin
t
cos t)
1 0
1 2
(e(sin1-cos1)+1) .
13．解
sin
1 2x cos
x
dx
1 2
sin
x
1 cos2
x
dx
1 2
csc
xdtanx
1 2
sec
x
1 2
csc
xdx
1 sec x 1 ln tan x C （或 1 sec x 1 ln csc x cot x C ）.
x 0
x sin x
当 x 时， 2
x
原式 2 (x u) sin udu (x u)0du x cos u 2 (u cos u sin u) 2 x 1
0 2
0
0
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所以，
x 0
f
(t ) g ( x
t)dt
x x
sin 1,
x,0 x x 2
2
2
2
2
2
x
xtu x
三(14)．（本题满分 7 分） 解 f (t)g(x t)dt f (x u)g(u)du ，
0
0
当 0 x 时，因 0 u x ，故 x u 0 ，于是 2
原式
x
(x u) sin udu
0
x cos u
x 0
(u cos u sin u)