复变函数的极限
复变函数求极限的方法
复变函数求极限的方法摘要本文对复变函数求极限问题作了较系统的归纳和总结,并通过例题解析了这些方法。
关键词复变函数极限方法在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。
但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。
针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。
1 转化为两个二元实变函数求极限设, , ,则。
2 利用复变函数的连续性利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。
例1 求。
解由于在z和cosz 均在点z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以在点z=0连续,从而。
3 利用等价无穷小求极限利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。
如:当z→0时,(1);(2) ;(3) ;其中(3)式中的只取主值分支。
这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知,所以, 。
例2 求。
解。
注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。
4 利用洛必达法则求未定式的极限复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别例3 求。
解显然当z→0 时,是未定式。
所以例4 求解我们知道:若z0 是的可去奇点、极点和本性奇点,则分别为、和既不存在也不为。
例5 求。
解因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式,从而z=0是的本性奇点,所以既不存在也不为。
参考文献:[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.[4]李成章,黄玉民.数学分析[M],北京:科学出版社,1999.。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指在复平面上定义的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法，下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。
对于复变函数f(z)而言，极限的概念与实变函数有所不同。
在复平面上，点z趋于复数a时，函数f(z)的极限L存在的充要条件是，对于给定的ε>0，存在某个δ>0，使得当0<|z-a|<δ时，有|f(z)-L|<ε。
也就是说，当z趋于a时，函数值f(z)逼近于极限L。
对于复变函数f(z)而言，求极限时可以利用以下几种方法：1. 直接代入法：对于一些简单的复变函数，可以直接代入极限点计算得到极限值。
当z→0时，f(z)=sin(z)/z，可以直接代入得到f(0)=1。
2. 利用实部和虚部的性质：复变函数可以表示为实部和虚部的和或积，因此可以利用实部和虚部的性质来求解极限。
当z→0时，f(z)=Re(z)+Im(z)，可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。
3. 利用极坐标表示法：复数可以用极坐标表示：z=ρ eiθ，其中ρ为模，θ为幅角。
当z→a时，可以将z和a都表示为极坐标形式，即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ'，然后进行化简。
当z→0时，f(z)=|z|·e iarg(z)，可以将z表示为z=ρ eiθ，然后进行化简计算。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。
如果f(z)和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处，都有定义且连续，且g(z)≠0，当z→a时均趋于0，且f(a)=g(a)=0，那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。
5. 利用级数展开：复变函数可以用级数展开的形式来表示。
当z→a时，可以利用级数展开来计算函数的极限值。
当z→1时，f(z)=1/(1-z)，可以利用泰勒展开将f(z)展开成无穷级数形式，然后进行计算。
复变函数求极限的方法有很多种。
复变函数的极限
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
复变函数极限 -回复
复变函数极限 -回复复变函数极限是数学中的重要概念之一，它涉及到复数域中函数的趋近性和趋势变化。
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，其极限是指当自变量趋近于某一点时，函数的取值趋近于某一特定值的性质。
复数是由实部和虚部组成的数字，可以写成a+bi的形式，其中a 和b分别代表实部和虚部，i为虚数单位。
复变函数既可以是常数函数，也可以是多项式函数、三角函数、指数函数等形式。
对于复变函数而言，它的极限可以被定义为在某一点或者在无穷远处的趋于稳定的取值。
在复分析中，我们可以使用类似于实数函数的极限定义来定义复变函数的极限。
具体而言，对于一个给定的复值函数f(x)而言，如果存在一个复数c，对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，当|x-z|<δ时，|f(z)-c|<ε成立，则我们说函数f在x处的极限为c，记作lim(f(z), z→x) = c。
这意味着当自变量z趋近于x时，函数的取值趋近于c。
值得注意的是，复变函数的极限与实变函数的极限有些微妙的差异。
在实数域中，我们可以使用左极限和右极限的概念来定义函数在某一点的极限，但是在复数域中，这种思想并不适用。
复数域中的函数极限更依赖于函数性质的整体趋势，而非局部的趋势。
复变函数极限的性质与实变函数极限的性质相似。
例如，对于两个复变函数f(x)和g(x)而言，如果它们在x处分别存在极限c和d，则有lim(f(z)±g(z), z→x) = c±d，lim(f(z)g(z), z→x) = cd，lim(f(z)/g(z), z→x) = c/d（其中d≠0）成立。
这些性质与实数域中函数极限的性质类似，但需要额外考虑复数的实部和虚部。
在复变函数极限中，我们还可以遇到一些特殊情况和特殊函数。
例如，当复变函数在某一点出现间断时，它的极限是否存在就成为一个关键的问题。
另外，柯西-黎曼方程是判定复变函数在某一点处可导性的重要条件，它要求函数满足一定的实部和虚部的偏导数关系。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈1. 引言1.1 什么是复变函数求极限复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要概念。
在实数域中，我们可以通过极限来描述函数在某一点的趋势和性质，而在复数域中，复变函数的极限同样可以帮助我们理解函数的行为。
复变函数求极限是指当自变量趋向某一复数时，函数值的极限值，即函数在该复数处的极限。
复变函数求极限不仅在复变函数分析中具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
例如在电磁场理论、量子力学等领域，复变函数求极限都扮演着重要的角色。
深入理解复变函数求极限的方法和技巧对于提升数学建模能力和解决实际问题具有重要意义。
1.2 为什么重要复变函数求极限在数学领域中具有重要意义，其重要性主要体现在以下几个方面：1. 深化对复变函数性质的理解复变函数求极限是研究复变函数性质的基础和关键。
通过求解极限可以揭示函数在某一点的变化趋势和收敛性质，进而帮助我们更深入地理解函数在复平面上的特性，包括奇点、极点、函数的连续性等，从而促进对复变函数整体性质的认识和掌握。
2. 解决实际问题中的数学模型在物理学、工程学、经济学等领域，常常会遇到复杂的数学模型，其中不可避免地涉及到复变函数的极限求解。
通过对复变函数求极限，可以得到模型中一些关键参数的数值解，为实际问题的分析和解决提供数学基础和支持。
3. 拓展数学研究领域复变函数求极限是数学分析领域中的重要课题之一，其研究涉及到实分析、复分析、函数论等多个数学分支领域，对数学理论的发展和进步具有重要促进作用。
深入研究复变函数求极限的方法和技巧，可以拓展数学研究的范围，促进学科的交叉融合和知识的交流传播。
2. 正文2.1 极限存在的条件复变函数求极限在数学中起着重要的作用，但要确保复变函数的极限存在，需要满足一定的条件。
主要条件包括函数在取极限点附近有定义、极限点是函数的解析点、极限值与路径无关、以及函数在极限点附近单值和连续等。
函数在取极限点附近必须有定义，否则无法讨论极限的存在与否。
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要内容，它涉及到复变函数的收敛性、极限性质以及复变函数在无穷远处的行为等问题。
针对复变函数求极限的问题，我们可以采用一些特定的方法来进行求解和分析。
在本文中，我们将就复变函数求极限的一些常用方法进行浅谈，希望能够帮助读者更好地理解和应用复变函数极限的相关知识。
一、复变函数的极限概念在复变函数中，我们通常也会关注函数的收敛性和极限性质。
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，当z趋于复数z_0=x_0+iy_0时，如果存在一个复数w_0=u_0+iv_0，使得对于任意给定的\varepsilon>0，都存在一个\delta>0，使得当|z-z_0|<\delta时，都有|f(z)-w_0|<\varepsilon成立，那么我们就称w_0为复变函数f(z)在z=z_0处的极限，记作\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0。
在求复变函数的极限时，我们需要特别关注复平面上的收敛路径和极限点的位置，因为复数的极限性质可能会受到路径的选择和极限点的不同而产生变化。
在实际求解中，我们通常需要结合具体的例子来进行分析和讨论。
1、直接法在实际应用中，我们也可以通过直接法来求解其他复变函数的极限，具体的操作步骤和思路与实数函数的极限求解类似，读者在学习和掌握了复变函数的极限定义后，可以通过这种方法来进行练习和巩固。
2、间接法对于复变函数的极限求解，有时候直接采用定义来求解可能会比较困难。
这时，我们可以采用一些间接的方法来进行求解。
我们可以通过等价变形、夹逼定理、洛必达法则等方法来简化问题，从而使得求解变得更加方便和简洁。
对于函数f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}，当z\to 1时，我们可以将分子进行因式分解得到f(z)=z+1，从而将原函数转化为更加简单的形式。
这样一来，我们就可以直接求出极限\lim_{z\to 1}f(z)=2。
复变函数的极限
6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
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x l im x 0 u ( x ,y ) u 0 ， x l im x 0 v ( x ,y ) v 0
变
y y 0
y y 0
函
数
与 积
例1 试求下列函数的极限.
分
变 换
1 .lim z 2 .lim z z z z 1
z z 1 i
z 1 z 1
例2 证 明 函 数 f ( z ) z 在 z 0 时 极 限 不 存 在 . z
尔 滨 工
例3
考 察 函 数 w z2
程 大
w u i v ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 x y i
学
因 此 w z 2 对 应 u x 2 y 2 , v 2 x y
复
变 函
例 4 将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
ux22xy2，vx2yy2，x2y20
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈
尔
邻 域 ： 复 平 面 上 以 z0 为 心 , 0 为 半 径 的 圆 :
滨 工 程 大 学
|zz0| (0 ),所 确 定 的 平 面 点 集 ， 称 为 z0 的 邻 域 ， 记 作 U (z0,)
尔
滨 工
0，0,当0zz0 时恒有
程
大 学
f(z)A
复 则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限，记作
变
函 数 与
limf(z)A或f(z)A
zz0
(zz0)
积 分 变
注意：这 里 ， z趋 于 z0的 方 式 是 任 意 的 ， 即 若
换
极 限 存 在 是 指 z沿 着 任 意 方 向 ， 以 任 意
P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D 与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
哈 尔
记 为 D .
滨
工 程
孤 立 点 ： 若 z 0 属 于 点 集 E ,但 存 在 z 0 的 某 个 去 心 邻
变
函y
(z)
数
与
v
(w)
w=f(z)
积 分
G*
变 换
G w=f(z)
z
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
方 式 趋 于 z0 时 ， f(z)都 要 趋 于 同 一 值 A 。
定 理 1 设 f(z)u(x,y)iv(x,y)， 在 z0的 某 空 心
哈
邻 域 内 有 定 义 ， 其 中 z0x0iy0， 则
尔 滨 工
lz im z0 f(z)Au0iv0
程 大
的 充 分 必 要 条 件 为 :
学
复
数
与 积
通 过 映 射 w z 2 ,z 的 辐 角 增 大 一 倍 ,
分
变 换
因 此 ， z 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 的 角 形 域
映 成 w 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 2 的 角 形 域 .
2) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
分 变
函 数 的 定 义 域 .
换
单 值 函 数 若 每 个 z G ， 有 且 仅 有 一 个 w 与 之
对 应 ， 称 此 函 数 为 单 值 函 数 。
定 义 一 个 复 变 函 数 w f ( z ) ,相 当 于 定 义 两 个
哈 二 元 实 函 数 u u ( x ,y ) , v v ( x ,y )
z ( ) , z ( ) 称 为 曲 线 的 端 点 。
简 单 曲 线 （ J o r d a n 曲 线 ） ： 除 端 点 z () 和 z () 外 ,
哈
本 身 不 自 交 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 。
尔
滨
工 程
z () z () 的 简 单 曲 线 ， 称 为 简 单 闭 曲 线 ,
1 k 2 (x ,y li) m (0 ,0 )u (x ,y )lx i m 0u (x ,y ) 1 k 2不存在
(y k x )
复变函数的极限四则运算法则：
哈 设 l i m f ( z ) , l i m g ( z ) 都 存 在 ， 则
尔
z z 0 z z 0
滨
工 程
1 .l i m [ f ( z ) g ( z ) ] l i m f ( z ) l i m g ( z )
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函 数 w f ( z ) 在 几 何 上 ， 可 以 看 成
尔
滨 工
z G ( z 平 面 ) w f ( z ) w G * ( w 平 面 ) 的 映 射 .
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w 称 为 z 的 象 , z 称 为 w 的 原 象 .
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数zxiy，按着某一确定的法则f，总
程 大
有确定的一个或几个复数wuiv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
复
变 函
函数，记作wf(z).
数
与 积
其 中 z 称 为 自 变 量 ， w 称 为 因 变 量 ， 点 集 G 称 为
哈 尔
于 是 有 u x 2 y 2 a ,v 2 x y b
滨
工
程 大 学
所以z平面的曲线映成w平面的直线
复 3) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
变
函 数 与
x 1 u 1 y 2 ,v 2 y u1 v2
积 分 变 换
4 y 2 u x 2 4 ,v 4 x u v2 4
大 学
域 内 无 E 中 的 点 ， 则 称 z 0 为 E 的 孤 立 点
复
变 函
聚 点 :若 点 P 的 任 意 邻 域 U ( P ) 内 都 包 含 有 E
数
与 积
中 的 无 限 个 点 ， 则 称 P 为 E 的 聚 点 .
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任
与
积
分 变
如 果 在 圆 环 内 去 掉 若 干 个 点 ,它 仍 是 区 域 ,
换 但 边 界 有 变 化 ,是 两 个 圆 周 及 其 若 干 个 孤
立 点 所 构 成 .
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
xx(t) yy(t)
(t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
否 则 为 无 界 区 域 .
区域的例子:
哈 例 1圆 盘 U (a ,r ) 有 界 开 区 域
尔
滨 工
其 边 界 为 点 集 ： { z | | z a | r }
程
大
学 例 2 点 集 z r 1 z z 0 r 2 是 一 有 界 区 域 ,
复
变 函 数
其 边 界 由 两 个 圆 周 z z 0 r 1 , z z 0 r 2 构 成 .
复 变 函
若 x ' ( t) 、 y ' ( t) C [ a ,b ] 且 [ x ' ( t) ] 2 [ y ' ( t) ] 2 0
数 与
则 称 该 曲 线 为 光 滑 的 .
积
分 变
令 z ( t ) x ( t ) i y ( t ) , t ,则 平 面 曲 线 的
换
复 数 表 示 式 为 z z ( t ) ( t ) .
哈 解 设 z r ( c o s i s i n ) r e i
尔
滨 工 程
zrei —关于实轴对称的一个映射
大
学
复
y (z)
v (w)
变
函
数 与
o
积 分
o
x
u
变
换
例6 研 究 w e i z ( 实 常 数 ） 所 构 成 的 映 射 .
哈 尔
解 设zrei,
滨 工 程 大 学
大 学
z z 0
积
分
变 换
3 )z 平 面 上 直 线 x 1 ,y 2 映 成 w 平 面 上 怎
样 的 曲 线 ？
解 1 )w ( z 1 ) ( 1 ) 2 1 ,
哈 尔 滨 工
w(z3)(1i)2{
2[cosisin]}2
44
程 大 学
( 2)2[cos(2)isin(2)]2i