复变函数极限

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关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是数学中的一个重要分支,它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。

在复变函数中,求极限是一个基本且重要的问题,它可以帮助我们理解函数的性质和行为。

本文将就复变函数求极限的一些方法进行浅谈,希望能够帮助读者更好地理解这个问题。

1. 利用极限的定义在求解复变函数的极限时,我们可以直接运用极限的定义。

设f(z)是一个复变函数,z0是一个复数,则当z趋向z0时,如果对于任意的ε>0,都存在一个δ>0,使得当0<|z-z0|<δ时,有|f(z)-A|<ε成立,那么我们就称A是f(z)当z趋向z0时的极限,记作lim(z→z0)f(z)=A。

这种方法直接运用极限的定义来求解复变函数的极限,可以帮助我们理解极限的概念和性质。

2. 利用复变函数的性质复变函数在求解极限时,通常会利用其性质进行变换和简化。

比如利用复变函数的加法和乘法的性质,可以将复变函数进行分解和合并;利用复变函数的倒数性质,可以将复变函数进行倒数运算,从而简化计算。

这些性质可以帮助我们更好地理解和处理复变函数的极限问题。

4. 利用洛必达法则洛必达法则是求解极限问题的一个重要工具,它也适用于复变函数的极限问题。

当复变函数的极限存在,并且是无穷大或者无穷小的形式时,可以利用洛必达法则对极限进行运算。

具体来说,当被求极限的函数以及其极限为0或无穷时,可以对其进行求导,然后再求极限,从而简化极限的计算。

这种方法在处理复杂的复变函数极限问题时非常有用。

5. 利用泰勒展开对于复变函数,我们还可以利用泰勒展开来求解其极限。

泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数的形式,可以将一个复变函数表示为一系列幂函数的和。

利用泰勒展开,可以帮助我们更好地理解复变函数的性质和行为,从而求解其极限。

复变函数求极限是一个重要且基础的问题,对于复变函数的理解和应用都有着重要的意义。

在求解复变函数的极限时,可以运用极限的定义、复变函数的性质、极限的性质、洛必达法则和泰勒展开等方法,从而更好地理解和处理复变函数的极限问题。

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指在复平面上定义的函数。

复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法,下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。

对于复变函数f(z)而言,极限的概念与实变函数有所不同。

在复平面上,点z趋于复数a时,函数f(z)的极限L存在的充要条件是,对于给定的ε>0,存在某个δ>0,使得当0<|z-a|<δ时,有|f(z)-L|<ε。

也就是说,当z趋于a时,函数值f(z)逼近于极限L。

对于复变函数f(z)而言,求极限时可以利用以下几种方法:1. 直接代入法:对于一些简单的复变函数,可以直接代入极限点计算得到极限值。

当z→0时,f(z)=sin(z)/z,可以直接代入得到f(0)=1。

2. 利用实部和虚部的性质:复变函数可以表示为实部和虚部的和或积,因此可以利用实部和虚部的性质来求解极限。

当z→0时,f(z)=Re(z)+Im(z),可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。

3. 利用极坐标表示法:复数可以用极坐标表示:z=ρ eiθ,其中ρ为模,θ为幅角。

当z→a时,可以将z和a都表示为极坐标形式,即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ',然后进行化简。

当z→0时,f(z)=|z|·e iarg(z),可以将z表示为z=ρ eiθ,然后进行化简计算。

4. 利用洛必达法则:洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。

如果f(z)和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处,都有定义且连续,且g(z)≠0,当z→a时均趋于0,且f(a)=g(a)=0,那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。

5. 利用级数展开:复变函数可以用级数展开的形式来表示。

当z→a时,可以利用级数展开来计算函数的极限值。

当z→1时,f(z)=1/(1-z),可以利用泰勒展开将f(z)展开成无穷级数形式,然后进行计算。

复变函数求极限的方法有很多种。

复变函数的极限

复变函数的极限
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义(the definition of limit ): 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),

复变函数极限 -回复

复变函数极限 -回复

复变函数极限 -回复复变函数极限是数学中的重要概念之一,它涉及到复数域中函数的趋近性和趋势变化。

复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数,其极限是指当自变量趋近于某一点时,函数的取值趋近于某一特定值的性质。

复数是由实部和虚部组成的数字,可以写成a+bi的形式,其中a 和b分别代表实部和虚部,i为虚数单位。

复变函数既可以是常数函数,也可以是多项式函数、三角函数、指数函数等形式。

对于复变函数而言,它的极限可以被定义为在某一点或者在无穷远处的趋于稳定的取值。

在复分析中,我们可以使用类似于实数函数的极限定义来定义复变函数的极限。

具体而言,对于一个给定的复值函数f(x)而言,如果存在一个复数c,对于任意给定的正实数ε,存在一个正实数δ,当|x-z|<δ时,|f(z)-c|<ε成立,则我们说函数f在x处的极限为c,记作lim(f(z), z→x) = c。

这意味着当自变量z趋近于x时,函数的取值趋近于c。

值得注意的是,复变函数的极限与实变函数的极限有些微妙的差异。

在实数域中,我们可以使用左极限和右极限的概念来定义函数在某一点的极限,但是在复数域中,这种思想并不适用。

复数域中的函数极限更依赖于函数性质的整体趋势,而非局部的趋势。

复变函数极限的性质与实变函数极限的性质相似。

例如,对于两个复变函数f(x)和g(x)而言,如果它们在x处分别存在极限c和d,则有lim(f(z)±g(z), z→x) = c±d,lim(f(z)g(z), z→x) = cd,lim(f(z)/g(z), z→x) = c/d(其中d≠0)成立。

这些性质与实数域中函数极限的性质类似,但需要额外考虑复数的实部和虚部。

在复变函数极限中,我们还可以遇到一些特殊情况和特殊函数。

例如,当复变函数在某一点出现间断时,它的极限是否存在就成为一个关键的问题。

另外,柯西-黎曼方程是判定复变函数在某一点处可导性的重要条件,它要求函数满足一定的实部和虚部的偏导数关系。

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈1. 引言1.1 什么是复变函数求极限复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要概念。

在实数域中,我们可以通过极限来描述函数在某一点的趋势和性质,而在复数域中,复变函数的极限同样可以帮助我们理解函数的行为。

复变函数求极限是指当自变量趋向某一复数时,函数值的极限值,即函数在该复数处的极限。

复变函数求极限不仅在复变函数分析中具有重要意义,而且在实际问题中也有着广泛的应用。

例如在电磁场理论、量子力学等领域,复变函数求极限都扮演着重要的角色。

深入理解复变函数求极限的方法和技巧对于提升数学建模能力和解决实际问题具有重要意义。

1.2 为什么重要复变函数求极限在数学领域中具有重要意义,其重要性主要体现在以下几个方面:1. 深化对复变函数性质的理解复变函数求极限是研究复变函数性质的基础和关键。

通过求解极限可以揭示函数在某一点的变化趋势和收敛性质,进而帮助我们更深入地理解函数在复平面上的特性,包括奇点、极点、函数的连续性等,从而促进对复变函数整体性质的认识和掌握。

2. 解决实际问题中的数学模型在物理学、工程学、经济学等领域,常常会遇到复杂的数学模型,其中不可避免地涉及到复变函数的极限求解。

通过对复变函数求极限,可以得到模型中一些关键参数的数值解,为实际问题的分析和解决提供数学基础和支持。

3. 拓展数学研究领域复变函数求极限是数学分析领域中的重要课题之一,其研究涉及到实分析、复分析、函数论等多个数学分支领域,对数学理论的发展和进步具有重要促进作用。

深入研究复变函数求极限的方法和技巧,可以拓展数学研究的范围,促进学科的交叉融合和知识的交流传播。

2. 正文2.1 极限存在的条件复变函数求极限在数学中起着重要的作用,但要确保复变函数的极限存在,需要满足一定的条件。

主要条件包括函数在取极限点附近有定义、极限点是函数的解析点、极限值与路径无关、以及函数在极限点附近单值和连续等。

函数在取极限点附近必须有定义,否则无法讨论极限的存在与否。

复变函数的极限

复变函数的极限

x l im x 0 u ( x ,y ) u 0 , x l im x 0 v ( x ,y ) v 0

y y 0
y y 0


与 积
例1 试求下列函数的极限.

变 换
1 .lim z 2 .lim z z z z 1
z z 1 i
z 1 z 1
例2 证 明 函 数 f ( z ) z 在 z 0 时 极 限 不 存 在 . z
尔 滨 工
例3
考 察 函 数 w z2
程 大
w u i v ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 x y i

因 此 w z 2 对 应 u x 2 y 2 , v 2 x y

变 函
例 4 将定义在全平面除原点区域上的一对

与 积
二元实变函数

变 换
ux22xy2,vx2yy2,x2y20
第一章 复数与复变函数

尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性




学习要点



数 与
掌握复变函数的概念

分 变
掌握复变函数的极限与连续性

一 、 复平面上的点集与区域


邻 域 : 复 平 面 上 以 z0 为 心 , 0 为 半 径 的 圆 :
滨 工 程 大 学
|zz0| (0 ),所 确 定 的 平 面 点 集 , 称 为 z0 的 邻 域 , 记 作 U (z0,)

滨 工
0,0,当0zz0 时恒有

大 学
f(z)A
复 则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限,记作

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要内容,它涉及到复变函数的收敛性、极限性质以及复变函数在无穷远处的行为等问题。

针对复变函数求极限的问题,我们可以采用一些特定的方法来进行求解和分析。

在本文中,我们将就复变函数求极限的一些常用方法进行浅谈,希望能够帮助读者更好地理解和应用复变函数极限的相关知识。

一、复变函数的极限概念在复变函数中,我们通常也会关注函数的收敛性和极限性质。

对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),当z趋于复数z_0=x_0+iy_0时,如果存在一个复数w_0=u_0+iv_0,使得对于任意给定的\varepsilon>0,都存在一个\delta>0,使得当|z-z_0|<\delta时,都有|f(z)-w_0|<\varepsilon成立,那么我们就称w_0为复变函数f(z)在z=z_0处的极限,记作\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0。

在求复变函数的极限时,我们需要特别关注复平面上的收敛路径和极限点的位置,因为复数的极限性质可能会受到路径的选择和极限点的不同而产生变化。

在实际求解中,我们通常需要结合具体的例子来进行分析和讨论。

1、直接法在实际应用中,我们也可以通过直接法来求解其他复变函数的极限,具体的操作步骤和思路与实数函数的极限求解类似,读者在学习和掌握了复变函数的极限定义后,可以通过这种方法来进行练习和巩固。

2、间接法对于复变函数的极限求解,有时候直接采用定义来求解可能会比较困难。

这时,我们可以采用一些间接的方法来进行求解。

我们可以通过等价变形、夹逼定理、洛必达法则等方法来简化问题,从而使得求解变得更加方便和简洁。

对于函数f(z)=\frac{z^2-1}{z-1},当z\to 1时,我们可以将分子进行因式分解得到f(z)=z+1,从而将原函数转化为更加简单的形式。

这样一来,我们就可以直接求出极限\lim_{z\to 1}f(z)=2。

复变函数的极限

复变函数的极限

6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地,二阶导数为一阶导数的导数,三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数,…,一般地,
阶导数的导数称为
的 阶导数,
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
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复变函数的极限于秀芝(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要:这是一篇讨论复变函数极限的论文,把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质,推广到复变函数中,并加以证明。

但是实变函数极限的定义、定理、性质,并不完全适用于复变函数。

例如:复变函数的极限没有保序性、正性,复变函数没有左、右极限等等。

同时,复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似,故它又具有二元函数的某些性质。

本篇论文由四个方面组成。

首先,我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义,即描述性极限的定义和表达式极限的定义。

其次,我们讨论的是复变函数极限的定理,如Heine定理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等,并给出了详细的证明。

再次,我们讨论的是复变函数极限的性质,即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等,同时,我们也给了详细的证明。

最后,我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。

在这方面,我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点,进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理,并给予了相应的应用。

关键词:Heine 定理Cauchy 准则极限复数列Complex variable function limitYu Xiuzhi(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable f unction limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence一、复变函数极限的定义1.定义定义I :设f 在点0z 的去心邻域内有定义,当z 趋于0z 时 ,()f z 的极限为0w , 或是00lim ()z zf z w →=,指的是()w f z =可以任意接近0w ,只要我们选的点z足够地接近0z ,而不等于它。

定义Ⅱ:00lim ()z zf z w →=,表明对每一个正实数ε,都存在一个正实数δ,使得当:0<0z z |-| <δ时,有|()f z -0()f z |<ε.2.几何意义从几何意义上来说,这个定义指的是:0w 的每一个ε邻域|0|w w -<ε,有0z 的一个去心邻域0<0| z-z |<δ,使得其中的每一个z 的像w 位于0w 的ε邻域中。

注意:即使我们要考虑去心邻域0<0z z |-|<δ的所有的点,也并不要求它们的像要添满整个邻域0w w |-|<ε中。

例如:如果()f z 为常数0w ,那么z 的像,总是整个邻域的中心点,一旦δ被找到,那么它还可以由更小的正实数代替,比如说δ/2。

定义Ⅱ要求f 定义在0z 的去心邻域内,当0z 是()f z 的定义域内的一个内点时,这样的去心邻域当然总是存在的,我们可以通过如下的方式来把极限的定义拓宽到当0z 是边界点的时候,只要让不等式中的z 同时在区域内,而且在去心邻域内。

例1 我们将要证明:如果()f z =2iz 在开圆z ||<1内,那么 1lim ()2z i f z →=。

证明:点1位于f 的定义域的边界上,观察到当在区域1z ||<时,有= 22iz i|-| = 12z |-|因此,对于这样的z 和任意的正实数ε,我们可以得到,当012z <|-|<ε时 ,有因此,当δ是等于或者小于2ε的正实数时,在01z <||<中的任意点都满足定义Ⅱ中的条件,如下图所示:如果0z 是f 的定义域的内点,定义I 中的极限存在,定义Ⅱ中的第二个不等式应该对去心邻域00z z <|-|<δ内的所有的点z 都成立。

所以,符号0z z →表示z 允许以任意的方式趋近于0z ,而不是以某一特定的方向趋近于0z 。

下面的例子要强调这一点 。

例2 如果()Zf Z =⎺Z,则极限0lim ()Z f Z →不存在。

证明:<反证法> 如果极限0lim ()Z f Z →存在,则可以使点(,)Z x y =以任意的方式趋于原点,而极限值是唯一的,但是(,0)Z x =是实数轴上的非零点,则此时且当(0,)Z y =是虚轴上的非零点,则此时0()10iyf Z iy+==--。

于是,让Z 沿实数轴趋于原点时,我们发现极限值为1; 另一方向,让Z 沿虚轴趋于原点时,我们发现极限值为-1。

但是,由复变函数极限值的唯一性知,函数()f z 的极限是不存在的。

(该函数沿实数轴和虚轴趋于原点的图象,为下图所示) 二、复变函数的定理定理1 设()f z (,)(,)u x y iv x y =+,000z x iy =+,000w u iv =+,那么00lim ()z zf z w →=,当且仅当000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=且000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=。

证明:(充分性)假如000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=且000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=成立,那么()f z 的极限存在。

设极限值为000w u iv =+,即 0000lim ()z z f z w u iv →==+。

由000(,)(,)lim(,)x y x y u x y u →=知道,对任意的正实数ε,都存在正实数1δ,使得当10<<δ时,有:02u u ε|-|<(1) 对上述的ε,由000(,)(,)lim(,)x y x y v x y v →=知,存在2δ>0,使得当20<<δ时,有:02v v ε|-|<(2) 令δ取1δ和2δ中较小的数,由= 00)(u u i v v ∣(-+-)∣≤ 0u u |-|+0v v |-|和= 00()()x x i y y ∣-+-∣= ∣00()()x iy x iy +-+∣由(1)(2)所述, 有成立,只要0< 00()()x iy x iy |+-+|<δ即可.这就是说,函数()f z 的极限存在。

(必要性)假使函数()f z 的极限存在 ,即 0lim()z zf z →=0w . 由此,对于每一个正实数ε,都存在一个正实数δ,使得00()()u iv u iv |+-+|< ε (3)成立,只需 0 <00()()x iy x iy |+-+|<δ (4) 但是 0u u |-|≤00)()u u i v v |(-+-|=00()()u iv u iv |+-+| 并且因此,由不等式(3)(4)可知0u u |-|<ε,0v v |-|<ε 成立,只需0<< δ .这样就得到了00(,)(,)lim(,)x y x y u x y → = 0u ,00(,)(,)lim(,)x y x y v x y →=0v .例3 求数列 { n Z }= {1[]2ni +}的极限。

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