关于复变函数求极限的方法浅谈
高等数学中可以用复变函数的方法解决的几个问题
高等数学中可以用复变函数的方法解决的几个问题高等数学中有很多可以用复变函数的方法解决的问题，其中包括：
一、复数的求值
在复数的求值中，使用复变函数的方法，可以求出复数的实部和虚部，从而求出完整
的复数值。
由于复数的实部和虚部可以分别用实值函数和虚值函数表示，因此可以分别求
出实部和虚部，从而求出复数的值。
二、极限的求解
在极限的求解中，复变函数可以用来求出极限值。
通俗来讲，极限是指当函数自变量
的值达到某一数值极限时，函数值变化都在极小范围内。
通过复变函数的方法，可以用来
求出这种极限的值。
三、积分的计算
在积分的计算中，复变函数可以用来求出积分的应该值。
首先，将积分变换成一个复
变函数，根据复变函数的性质，可以得出积分的应该值。
四、反函数的求解
在反函数的求解中，复变函数也可以用来求出反函数的结果。
首先，将原函数变换成
复变函数，将该复变函数进行求导，将所求导函数再变换成原函数，即可得出原函数的反
函数形式。
五、矩阵的计算
复变函数可以用来解决一些关于矩阵的计算问题。
在张量分析中，将原来的矩阵变换
成复变函数，然后利用复变函数的性质，可以求出矩阵的高维度空间，从而对矩阵进行计算。
以上就是复变函数可以解决的一些数学问题，复变函数是高等数学中非常重要的概念，在高等数学中有很多可以用复变函数方法解决的问题，通过这些方法可以更加有效地求解
高等数学问题。
复变函数求极限的方法
复变函数求极限的方法
贺君燕
【期刊名称】《科技与生活》
【年(卷),期】2009(000)021
【摘要】本文对复变函数求极限问题作了较系统的归纳和总结，并通过例题解析了这些方法。
【总页数】1页(P97)
【作者】贺君燕
【作者单位】上海电力学院数理系,上海200090
【正文语种】中文
【中图分类】O174.5
【相关文献】
1.复变函数求极限的方法
2.工科《复变函数》与《复变函数论》教学方法比较探讨
3.利用复变解析函数求三角级数的和函数
4.罗必达法则在求复变函数极限中的应用
5.基于线性回归模型的复变函数极限求解方法
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1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式【实验目的】1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件【实验内容】MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式【实验步骤】1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令3．运行，可以直接回车键，F5键【注意事项】1．命令的输入要细心认真，不能出错2．尤其是分号，逗号等符号的区别3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号【实验操作内容】以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限用函数limit 求复变函数极限【Matlab 源程序】syms zf=;limit(f,z,z0) 返回极限结果例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(12、 MATLAB 求复变函数微分用函数diff 求复变函数极限【Matlab 源程序】zz z f sin )(=i z +=1,0f=（）;diff(f,z) 返回微分结果解 syms zf=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)3、 MATLAB 求复变函数积分用函数int 求解非闭合路径的积分.【Matlab 源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：例 3 求积分 π60i i 0x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设()()z f z z e z f z'+=求,sin 1)(x2 = -i/exp(i)4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点说明：向量B 为f(z)的分子系数；向量A 为f(z)的分母系数；向量R 为留数；向量P 为极点位置；向量k 为直接项:例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：R= 2P = -1K = 1 -15、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式【Matlab 源程序】112++z zf=Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans =1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】syms x y; f=();F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.例6 求函数222==-z f x y x x e---(,)(2)x y xy在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans =-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*xmaple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans =-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。
解析洛必达法则在复变函数极限中应用
解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。
【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。
现做详细分析与说明。
一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计算失误可得到有效控制。
可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。
现举例对其进行说明。
例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。
在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。
此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。
具体如下：二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。
大学复变函数题
大学复变函数题复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的研究中起着重要的作用。
下面我将介绍几个关于大学复变函数的题目，以便更好地理解和应用这一概念。
1. 题目一：计算复变函数的极限给定复变函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z-i}$，求当$z\to i$时，$f(z)$的极限值。
解析：我们可以使用极限的定义来求解这个问题。
首先假设$z=x+iy$，其中$x$和$y$分别表示实部和虚部。
将$z$代入$f(z)$中，得到：$$f(z)=\frac{(x+iy)^2-1}{x+iy-i}$$化简后得到：$$f(z)=\frac{x^2-y^2-1+2xyi}{x+(y-1)i}$$当$z\to i$时，即$x\to 0$且$y\to 1$，代入上式可以得到极限值： $$f(i)=\lim_{z\to i} f(z) = \frac{-1-2i}{-i} = 1-2i$$因此，当$z\to i$时，$f(z)$的极限值为$1-2i$。
2. 题目二：计算复变函数的导数给定复变函数$f(z)=e^z+z^2$，求$f(z)$的导数。
解析：要计算复变函数的导数，我们可以直接对其进行求导。
给定$f(z)=e^z+z^2$，对$z$求导得到：$$f'(z) = \frac{d}{dz}(e^z+z^2) = e^z+2z$$因此，$f(z)$的导数为$f'(z) = e^z+2z$。
3. 题目三：计算复变函数的积分给定复变函数$f(z)=\frac{1}{z^2+4z+3}$，求$\int_C f(z) dz$，其中$C$为单位圆周。
解析：要计算复变函数的积分，我们可以使用留数定理。
首先找到函数$f(z)$在复平面上的奇点，即令分母等于零得到： $$z^2+4z+3 = 0$$解这个方程可以得到$z=-3$和$z=-1$。
根据留数定理，我们只需要计算这两个奇点对应的留数，并将其相加即可得到积分的结果。
复变函数的极限
6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
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关于复变函数求极限的方法浅谈
复变函数是指在复平面上定义的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法，下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。
对于复变函数f(z)而言，极限的概念与实变函数有所不同。
在复平面上，点z趋于复数a时，函数f(z)的极限L存在的充要条件是，对于给定的ε>0，存在某个δ>0，使得当0<|z-a|<δ时，有|f(z)-L|<ε。
也就是说，当z趋于a时，函数值f(z)逼近于极限L。
对于复变函数f(z)而言，求极限时可以利用以下几种方法：
1. 直接代入法：对于一些简单的复变函数，可以直接代入极限点计算得到极限值。
当z→0时，f(z)=sin(z)/z，可以直接代入得到f(0)=1。
2. 利用实部和虚部的性质：复变函数可以表示为实部和虚部的和或积，因此可以利
用实部和虚部的性质来求解极限。
当z→0时，f(z)=Re(z)+Im(z)，可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。
3. 利用极坐标表示法：复数可以用极坐标表示：z=ρ eiθ，其中ρ为模，θ为幅角。
当z→a时，可以将z和a都表示为极坐标形式，即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ'，然后进行化简。
当z→0时，f(z)=|z|·e iarg(z)，可以将z表示为z=ρ eiθ，然后进行化简计算。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。
如果f(z)
和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处，都有定义且连续，且g(z)≠0，当z→a时均趋于0，且f(a)=g(a)=0，那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。
5. 利用级数展开：复变函数可以用级数展开的形式来表示。
当z→a时，可以利用级
数展开来计算函数的极限值。
当z→1时，f(z)=1/(1-z)，可以利用泰勒展开将f(z)展开
成无穷级数形式，然后进行计算。
复变函数求极限的方法有很多种。
不同的函数形式和求解目标，可能需要采用不同的
方法进行求解。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的求极限方法是非常重要的。