1-2复变函数的极限解析
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
在复变函数中，求极限是一个基本且重要的问题，它可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将就复变函数求极限的一些方法进行浅谈，希望能够帮助读者更好地理解这个问题。
1. 利用极限的定义在求解复变函数的极限时，我们可以直接运用极限的定义。
设f(z)是一个复变函数，z0是一个复数，则当z趋向z0时，如果对于任意的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|z-z0|<δ时，有|f(z)-A|<ε成立，那么我们就称A是f(z)当z趋向z0时的极限，记作lim(z→z0)f(z)=A。
这种方法直接运用极限的定义来求解复变函数的极限，可以帮助我们理解极限的概念和性质。
2. 利用复变函数的性质复变函数在求解极限时，通常会利用其性质进行变换和简化。
比如利用复变函数的加法和乘法的性质，可以将复变函数进行分解和合并；利用复变函数的倒数性质，可以将复变函数进行倒数运算，从而简化计算。
这些性质可以帮助我们更好地理解和处理复变函数的极限问题。
4. 利用洛必达法则洛必达法则是求解极限问题的一个重要工具，它也适用于复变函数的极限问题。
当复变函数的极限存在，并且是无穷大或者无穷小的形式时，可以利用洛必达法则对极限进行运算。
具体来说，当被求极限的函数以及其极限为0或无穷时，可以对其进行求导，然后再求极限，从而简化极限的计算。
这种方法在处理复杂的复变函数极限问题时非常有用。
5. 利用泰勒展开对于复变函数，我们还可以利用泰勒展开来求解其极限。
泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数的形式，可以将一个复变函数表示为一系列幂函数的和。
利用泰勒展开，可以帮助我们更好地理解复变函数的性质和行为，从而求解其极限。
复变函数求极限是一个重要且基础的问题，对于复变函数的理解和应用都有着重要的意义。
在求解复变函数的极限时，可以运用极限的定义、复变函数的性质、极限的性质、洛必达法则和泰勒展开等方法，从而更好地理解和处理复变函数的极限问题。
复变函数的极限
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
复变函数项级数
特殊函数
复变函数项级数可以用于定义和 计算一些特殊函数，例如贝塞尔 函数、傅里叶级数等。
在物理和工程中的应用
波动方程
在物理中，波动方程是一个非常重要的方程，而复变函数项级数 可以用于求解波动方程，例如在声学和电磁学等领域的应用。
量子力学
在量子力学中，波函数通常是通过复变函数项级数来定义 的，因此复变函数项级数在量子力学中有重要的应用。
对未来研究的展望
1
深入研究复变函数项级数的性质和变化 规律，进一步拓展其在各个领域的应用 范围。例如，在数学领域，可以研究复 变函数项级数的收敛性、可积性等性质 ，以及其在复分析、微分方程等领域的 应用。在工程领域，可以研究复变函数 项级数在信号处理、图像处理、控制系 统等领域的应用，并尝试将其应用于其 他领域。
控制工程
在控制工程中，系统传递函数通常可以通过复变函数项级数来 表示，因此复变函数项级数在控制工程中有广泛的应用。
05
结论
复变函数项级数的意义与价值
意义
复变函数项级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决复杂问题提供了有效的工具和方法。通 过研究复变函数项级数，可以深入了解函数的性质和变化规律，进一步推动相关领域的发展。
2
探索复变函数项级数的扩展和改进。例 如，可以尝试将复变函数项级数的概念 和方法应用于实数域或高维空间，或者 将其与其他数学工具和方法相结合，以 解决更复杂的问题。此外，也可以尝试 改进复变函数项级数的收敛速度和精度 ，以提高其实用性和可靠性。
3
加强复变函数项级数与其他数学分支的 交叉研究。例如，可以探索复变函数项 级数与调和分析、泛函分析、代数几何 等数学分支的交叉点，以及它们之间的 相互影响和应用。这样的交叉研究有助 于发现新的数学思想和理论，推动数学 的发展。
1-2复变函数
(不包括端点i ),
不是区域.
18
复变函数
1.设 D 为复平面 C 上的点集，如果有一个法则
f
，
f D z 使得 内任意一点 ，按对应法则 ，都有复数 w 同它对应，则称 f 为定义在点集 D 的一个复变
函数，简称为复变函数，记为 w f ( z ) 。 注解 1：同样可以定义函数的定义域与值域； 注解 2：此定义与传统的定义不同，没有明确指出 是否只有一个
6
课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
7
二、单连通域与多连通域
注意:
定义中 z z0 的方式是任意的 .
24
2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 , 那末 lim f ( z ) A 的充要条件是
z z0 x x0 y y0
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线).
10
如果简单曲线C 的起点和终点重合 ,即 z(a ) z(b) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集.
y
边界
内部 外部
o
x
11
，试求它把 z -平面上的
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
复变函数-工科复变1-2
|z-z1|－ |z-z2|＝2a或－2a (|z1-z2|>2|a|)表示以 z1和z2为焦点，以a为实半轴的双曲线，其 中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表 另一分支。
P15,6(1) |z+2|+|z-2|=6
-2
23
8
(3)用含复数辐角的不等式表示
从点z0出发，与实轴夹角θ 0的射线
z1的任一邻域内于 既 E的 含点 有， 属又含有不 于E的点 , 那末 z1称为 E的边界 . 点
21
进一步地，设 D是一个平面区域, 点 P 不属
于D, 但 P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区
域 D 的边界点.
D的所有边界点组成D的边界.
注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
13
（2） Jordan曲线
设 C:zz(t)(atb)为一条连 , 续曲 z(a)与z(b)分别C 称 的为 起点.和终点
当 t1t2而z(t有 1)z(t2)时 ,点 z(t1)称为曲 线 C 的.重点
除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为 简单曲线.
起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.
（1） 邻域
平面 z0为 上中 ,以 (任 心意)为 的半 正径 数 的圆内部 zz0 点 称 的 z0 为 的 集 邻合 .域
注意
设R0, 满足 zR的所有点 (包的 括集 无合 穷 远点自),身 称在 为内 无穷远 . 点的邻域
18
(2) 去心邻域
称由不 0z等 z0式 所确定的点
x(t) t2
y(t)
t
表示抛物线y2=x
10
设复平面上曲线 C 的参数方程
复变函数课件-2[1]1解析函数的概念与柯西——黎曼条件-PPT文档资料
![复变函数课件-2[1]1解析函数的概念与柯西——黎曼条件-PPT文档资料](https://img.taocdn.com/s3/m/db9ac82dbed5b9f3f90f1ca8.png)
某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之， 在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个 区域的一个更大的区域上解析； 注解5、解析性区域；
四则运算法则
如果 f ( z ) 和 g ( z ) 在区域 D 上解析 , 则
f( z ) f( z ) g ( z ) 、 f( z ) g ( z ) 、 ( g ( z ) 0 ) 在区 g ( z ) 域 D 上解析，并且有
( f ( z ) g ( z ))' f ' ( z ) g ' ( z ) [ f ( z ) g ( z )]' f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z )
'
f ( z ) g ( z )
f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z ) 2 [ g ( z )]
1、导数与微分
设函数 w f (z) 在点 z 的某邻域内有定义 0
的单值函数， z z 是邻域内任意一点，对 于 0
w f (z0 z) f (z0) ，如果极限 f (z0 z) f (z0) w lim lim z 0 0 z z z 存在（为有限的复数） A ，
u ( x x , y y ) u ( x , y ) a x b y o (| z |) ； 因此， u ( x ,y ) 及 v ( x ,y ) 在 ( x ,y ) 处可微，并有 C R 方 程成立： u v u v x y y x
则称函数 f( z ) 在 z 处可导， A 称为函数 f( z ) 0 dw 的导数，记为 f'( z ) ，或 , 即 0 dz z z 0
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。
本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。
1. 极限的定义对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。
2. 极限存在的条件与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。
即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。
3. 极限计算方法3.1 用直接代入法计算极限当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。
计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。
3.2 用极坐标法计算极限对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。
利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。
计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。
再利用欧拉公式化简即可。
3.3 用洛必达法则计算极限当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。
洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。
计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。
3.4 用级数展开法计算极限级数展开法是一种常用的计算复变函数极限的方法，特别适用于计算指数函数和三角函数类型的复变函数。
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称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
哈
尔 滨
把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：
尔
滨
工 程
z rei —关于实轴对称的一个映射
工
程 大
一个是有界区域，称为C的内部；
学
复 一个是无界区域，称为C的外部.
变
函 数
C是它们的公共边界。
与
积
分 变
外部
换
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
哈 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单
尔 滨
闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；
工 程
非单连通域称为多连通域。
大
学
复
哈
任意两点均可用完全属于D的连线连起
尔 滨
来，称 D是一个区域。
工
程
大 学
闭区域
区域D与它的边界一起构成闭区域,
复
记为D.
变
函 数
有界区域与无界区域
与
积 分 变
若存在R 0,使区域D内每一点z0都满足
换
| z0 | R，则称D为有界区域；
否则为无界区域.
区域的例子:
哈 例1 圆盘U(a, r) 有界开区域
哈 实变量的实函数的性质往往可以通过它们
尔
滨 工
的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，
程
大 学
就不容易找出方便的图形，这是因为z和w
复 变
在一个平面上，而不是一条直线上,
函
数 与
因此，分别在两个平面上画出它们。
积
分
变
换
例5 研究w z 所构成的映射 .
哈 解 设z r(cos i sin ) rei
哈 尔
记为D.
滨
工 程
孤立点：若z0属于点集E ,
但存在z0的某个去心邻
大 学
域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
复
变 函
聚点 :
若点P的任意邻域U ( P )内都包含有E
数
与 积
中的无限个点，则称 P为 E的聚点.
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任
数 与
则称该曲线为光滑的.
积
分 变
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的
换
复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。 Nhomakorabea变
函
数
与 积
单连通域
多连通域
分
变
换
例如 |z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的。
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数z x iy，按着某一确定的法则 f，总
程 大
有确定的一个或几个复数w u iv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈 尔
邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆:
滨 工 程
|z z0 | ( 0),所确定的平面点集，
大 学
尔 滨
是点集E的内点。
工
程 大
开集: 若E内的所有点都是
外点
学
它的内点，则称E是
z0 内点 P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包,
复
变 函
函数，记作w f (z).
数
与 积
其中z 称为自变量，w称为因变量，点集G 称为
分 变
函数的定义域 .
换
单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之
对应，称此函数为单值函数。
定义一个复变函数w f (z), 相当于定义两个
哈 二元实函数u u(x, y),v v(x, y)
z
(w) G*
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
分
变
换
以下不再区分函数与映射（变换）。
尔 滨 工
例3
考察函数w z2
程 大
w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
学
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
复
变 函
例4
将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
u
x
2x 2
y
2
，v
x2
y
y2 ，x2
y2
0
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函数w f (z)在几何上，可以看成
尔
滨 工
z G ( z平面) w f (z) w G*(w平面)的映射.
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w称为z的象, z称为w的原象.
变
函y
(z)
数
与
v w=f(z)
积
分
变 换
G w=f(z)