高数模拟习题集含参考答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
高三数学模拟试题含答案
高三数学模拟试题含答案第一题：计算题已知 a = 3，b = 5，c = 7，d = 9，请计算以下表达式的值，并给出计算过程。
1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答：1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题：选择题在下面的选项中，选择一个正确答案。
1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是：A. a > 0，开口向上B. a > 0，开口向下C. a < 0，开口向上D. a < 0，开口向下解答：B. a > 0，开口向下第三题：解方程请求解以下方程，并给出解的步骤。
1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答：1) 2x - 5 = 3x + 1移项得：2x - 3x = 1 + 5化简得：-x = 6解得：x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式，因此使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1，b = -4，c = 3，得：x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得：x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得：x = (4 ± √4) / 2化简得：x = (4 ± 2) / 2分解得：x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3，x2 = 1第四题：证明请证明勾股定理，即直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方。
高考模拟数学试卷加答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各数中，属于无理数的是：A. √2B. 3/4C. 2.5D. 1/√32. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为：A. -5B. -1C. 1D. 53. 下列方程中，无实数解的是：A. x^2 - 4 = 0B. x^2 + 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 04. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第10项an的值为：A. a1 + 9dB. a1 + 8dC. a1 - 9dD. a1 - 8d5. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)6. 若log2(x + 3) = 3，则x的值为：A. 5B. 7C. 8D. 97. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积S为：A. 6B. 8C. 10D. 128. 下列不等式中，恒成立的是：A. x + 1 > 0B. x^2 > 0C. x^3 > 0D. x^4 > 09. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的值为：A. 1B. -1C. 2D. -210. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比为q，则第5项an的值为：A. 2q^4B. 2q^5C. 2q^3D. 2q^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
）11. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，公差为d，首项为a1，则S_n = _______。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的顶点坐标为 _______。
13. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则AB的长度为_______。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。
解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。
解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。
解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。
根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。
如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。
高校数学高考模拟试题答案
高校数学高考模拟试题答案一、选择题1. （2021年全国卷Ⅰ）设函数f(x) = a|x-1| + x，若f(x)在区间[0,2]上是增函数，则实数a的取值范围是______。
解析：首先，我们需要分析函数f(x)的单调性。
当x≥1时，f(x) = ax + x - a；当x<1时，f(x) = -ax + x + a。
要使f(x)在[0,2]上是增函数，我们需要保证对于任意的0≤x₁<x₂≤2，都有f(x₁)≤f(x₂)。
对于x₁≥1，x₂≥1的情况，我们有a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂，化简得a ≤ x₂ - x₁。
由于x₂ - x₁的最大值为1，所以a ≤ 1。
对于x₁<1，x₂≥1的情况，我们有-a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂，化简得a ≥ -1。
因此，a的取值范围是[-1, 1]。
2. （2021年全国卷Ⅱ）已知等差数列{an}满足a₁ + a₄ = 10，a₂+ a₅ = 17，求a₃的值。
解析：设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d。
根据题意，我们有以下方程组：a₁ + a₄ = a₁ + (a₁ + 3d) = 10a₂ + a₅ = (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 17解这个方程组，我们得到：a₁ + 3d = 10a₁ + 5d = 17将第一个方程乘以-1，然后将两个方程相加，得到：2d = 7d = 3.5将d的值代入第一个方程，得到：a₁ + 10.5 = 10a₁ = -0.5现在我们知道了首项a₁和公差d，可以求出a₃的值：a₃ = a₁ + 2d = -0.5 + 7 = 6.53. （2021年北京卷）已知函数g(x) = x² - 2x + 5，求g(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们观察函数g(x) = x² - 2x + 5，这是一个二次函数，其开口向上，对称轴为x = 1。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B。
A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3}3. 若sin(α) = 1/2，且α为锐角，求cos(α)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/24. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求其第5项a5。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标。
A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (0, 0)D. (4, 3)6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少？A. 0B. -4C. 4D. 17. 已知直线y = 2x - 3与抛物线y^2 = 4x相交于两点，求这两个点的坐标。
A. (1, -1), (3, 3)B. (1, 1), (3, -1)C. (1, 1), (3, 3)D. (1, -1), (3, -1)8. 已知向量a = (2, 3)，b = (-1, 2)，求a·b。
A. 4B. -1C. 1D. -49. 已知三角形ABC，∠A = 60°，a = 5，b = 7，求c的长度。
A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x - 9B. x^2 - 6x - 9C. 3x^2 - 6x + 5D. x^3 - 3x^2 - 9二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=2，求其第4项b4的值。
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高等数学模拟题A ．上册：上册期中（一）一、试解下列各题： 1．求。
2．求。
3．设处连续，在处不连续，试研究在处的连续性。
4．求在上的最大值与最小值。
二、试解下列各题： 1．判断的奇偶性。
2．[5分]设，其中，求。
3．[5分]设，求。
4．[5分]验证罗尔定理对在上的正确性。
三、试解下列各题：1．[6分]设函数由方程所确定，且，其中是可导函数，，求的值。
2．求极限。
3．求的极值。
四、设圆任意一点M （点M 在第一象限）处的切线与轴，轴分别交于A 点和B 点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。
1cos cos 21cos 2cos 8lim223-+--→x x x x x π242320)1()1(limx x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2)(]1,1[-)11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<<x y 'x xy +-=11)(n y 1074)(23--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy xx x 10)(cos lim +→22)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x五、用函数连续性“”的定义，验证函数在任意点处连续。
六、求极限七、求与的公切线方程。
八、证明：当时，。
九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员的视线的倾角增加率为多少？ 参考答案：一、1．2。
2．7。
3．不连续。
4．二、 1．为偶函数。
2．3．三、1．2．3．为极大值。
四．六．七．九．上册期中（二）δε-x x f cos )(=0x )0(,lim >--→a a x a x x a a x 2x ax y +=)0(2>>+=a b bx x y π<<x 021sin 2x x ex+<+-2)1(,41)21(==-=-=f M f m )(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=21)ln 1(1)ln 1ln(11x x x x x x x x dx dy 1)()1(!)1(2++⋅-=n n n x n y710-==x dxdy 21-e e ef f 5)1(0)22+==-为极小值；（2242)(x a x a x s -=aa 16)(22ab x b a y --+=m in 14.0rad一、试解下列各题：1．求函数的连续区间，并求。
2．确定的单调区间。
3．求曲线的凹凸区间。
4．求曲线在的对应点处的曲率。
二、试解下列各题： 1．设不存在，试问是否存在？并证明之。
2．求。
3．设，求。
4．设，求。
三、[9分]直的铁路线长100公里，铁路线外点处有一工厂，且公里，欲从A 与B 间的铁路线上某点D 处向C 修公路，已知铁路与公路每公里运费之比为 ，问D 选在何处，可使从A 经过D 到达工厂C 的总运费最省？四、求曲线在点处的切线和法线方程。
五、求极限。
六、求的极大值与极小值。
七、设对任意有，且在点处存在，试证：当时。
参考答案：一、1．；0。
2．在上单调增加；在上单调减少。
3．在上上凸，在上上凹。
4．x x f sin ln )(=xx sin ln lim 2π→x x y -=ln )2()1(2-+=x x y 3x y -=21=x )(lim ,)(lim 0x g A x f x x x x →→=)()(lim 0x g x f x x +→xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx x x f +=22)()(x f '⎩⎨⎧==t e y t e x t t 2222sin cos dxdy AB C BC AB ⊥20=BC 5:3632422=++y xy x )1,1(-M 1sin lim 2sin 2tan 2---→x e e x x x πxx x f ln )(3=)0(,≠xy y x )()()(y f x f xy f +=1=x a f =')1(0≠x x ax f =')(z k k k ∈+）（ππ)12(,2y ]1,0(),1[+∞y ]0,(-∞),0[+∞125192=k二、1．不存在。
2．3．4．三．当时总运费最省四．切线：；法线。
五．0。
六．为极大值，为极小值。
上册期中（三）一、试解下列各题：1．设，当时，求。
2．求极限。
3．求曲线的凹凸区间。
4．设曲线方程为，试求曲线在点处的法线方程。
5．求曲线在点（4，8）处的曲率及曲率半径。
二、试解下列各题：1．确定函数的间断点及其类型。
2．求3．设,求.4．试确定的值，使有拐点（），且在处有极大值为1，并求此函数的极小值。
三、求数列极限。
四、设由方程所确定，求。
3e xx x f 24)(+=')sin (cos cos )cos (sin sin t t t t t t dx dy -+=km BD 15=054=--y x 034=-+y x e e f 3)1(3=-e ef 3)1(3-=12)(+==x x f y 0201.0,1=∆=x x dy y 与∆20sin )cos 1(2sin limx x x x x -⋅→x x y sin -=462++=x x y )4,2(--32x y =xx ex f --=111)()arcsin(lim 2x x x x -++∞→⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln 22dx y d ,,,c b a c bx ax x y +++=231,1-0=x 1!sin lim32+∞→n n n n )(x y y =xx y y 1)(+=dxdy五、设,试确定常数之值,使处处可导.六、设在上为正值的可导函数，证明，使。
七、以椭圆的长轴为底，作一个与此椭圆内接的等腰梯形，试求它的面积的最大值。
参考答案：一．1．。
2．1。
3．在上上凹，在上上凸 4．5．二．1．为的第二类无穷间断点；为的第一类跳跃间断点。
2．3．4．；此函数的极小值为 三．0。
四．。
五．。
七．。
上册期末（一）一、试解下列各题：⎪⎩⎪⎨⎧-++++=x x d cx bx ax x x x f 2232)(1100≥<<≤x x x d c b a ,,,)(x f )(x f ],[b a ),(b a c ∈∃)()()()()(lna b c f c f a f b f -'=)0,20(sin cos a b t t b y ta x <<≤≤⎩⎨⎧==πAB ABCD 0201.0,02.0==∆dy y y ]2,2[πππ+k k ]22,2[ππππ++k k 0102=++y x 10380,800103==R k 0=x )(x f 1=x )(x f 6πt t t t t dxy d sin )sin (cos cos 22-=1,0,3==-=c b a 3)2(-=y y xy x y y x y dx dy -++-=2]ln )(1[0,1,3,2==-==d c b a ab s 433max =1．求极限。
2．设为可导函数，，求。
3．设，求。
4．求极限。
二、试解下列各题：1．求极限。
2．求曲线的凹凸区间。
3．求。
4．向量和构成的角，且，试求。
三、当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小。
四、设，其中为常数，，求。
五、设，讨论函数在处的连续性与可导性。
，由方程的可导，且，使得。
)tan1sin1(1lim0xxxx-→)(xf)(2)()(x f exfx⋅=ϕ)(xϕ')100()2)(1()(---=xxxxxf )0(f'xxxee xxx sin2lim0----→xxx2cot)2(lim2ππ-→)2()1(2-+=xxyxdxx arctan2⎰ab︒=60ψ8,5==baba+a2xy=0,1,++==yaxax⎩⎨⎧===mtytxxfln)(m)0(>t1=tdxydnn⎩⎨⎧+=xxxf1)(≥<xx⎰--∈=x xdttfxF1]1,1[,)()(=xx2)(xfy=)(xf],ba),(ba∈ξ1997)(=ξB参考答案：一、1．2．3．4．2。
二、1．2．在曲线上凸，在[0，曲线上凹3． 4．三、当时，最小。
四、五、在处连续但不可导。
六、七、八、极小值为，无极大值。
上册期末（二）一、试解下列各题： 1．设对于适合的有且，求。
2．计算数列极限。
3．求。
4．计算。
二、试解下列各题： 1．设函数由方程所确定，且，21]2)([)()()(+'⋅='x f e x f x f x x f ）（ϕ!100)0(='f 21]0(，-∞）∞+Cx x x x +++-)1ln(6161arctan 3122312921-=a s nt nn m dx y d ==1)(x F 0=x 2ln 12-=x y 53+2)2(=-y )(x f 1)()(≠y f x f yx ,)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+1)0(≠f )0(f ]2))1(321[(21lim 2n n n n --+++++∞→ ⎰xdxx csc cot 3dxx x ⎰-21)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y其中是可导函数，，求的值。
2．设 ，求。
3．求。
4．设为非零向量，且向量在向量上的投影等于向量在向量上的投影。
问向量有什么关系。
三、求。
四、设，求使在上是偶函数。
五、设曲线方程为，求此曲线在的点处的切线方程。
六、求。
七、在空间直角坐标系中，分别为坐标平面上各坐标轴之间夹角的平分线，求它们两两之间的夹角。
八、求极限。
九、设是以为周期的连续函数，证明：或是以为周期的周期函数，或是线性函数和周期函数之和。
十、两厂在直河岸的同侧，沿河岸，离岸4公里，与相距5公里，今在河岸边建一水厂，从水厂到厂的每公里水管材料费是厂的倍，问水厂设在离厂多远才使两厂所耗总的水管材料费为最省？参考答案： 一、1． 2．)(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy ⎩⎨⎧+x x )1ln(00<≥x x )0(f '⎰+∞+12)1(x x dxb a,a b b a b a ,301sin tan 1limx x x x +-+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=x x x x f 10)()(ψ000>=<x x x )(x ψ)(x f ),(+∞-∞⎩⎨⎧+=++=t t y tt x cos sin 22=x ⎰++)1)(1(2x x dx321,,l l l zox yoz xoy .,xx x x cos 110)arcsin (lim -→)(x f T dt t f x F xx ⎰=0)()(T B A ,A B A B C B A 5C A 0)0(=f 21-3． 4． 二、1． 2． 3．4．．三、四、 五、六、七、八、十、当时两厂所耗总的水管材料费最省。