高等数学(上)期中考试试卷
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
高数(一)期中考试试题
高等数学（上）期中考试试题一、填空题（5×5=25分）1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。
2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知 。
3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则4．()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .二、选择题（5×5=25分）1．的极限是函数时当12120x 1x 1+-→,x （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在2．()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）连续点 （D ）跳跃间断点3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）44． 下列结论一定正确的是（ ）（A ）驻点一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''（D ）()()()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（ ）（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()11-e , （D ）()e ,1-三、计算题（6×3=18分）()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求()()().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos四、证明题（6×2=12分）.x x .x -≤<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设五、综合题（10×2=20分）1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？2． 讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。
高数上期中试卷及答案
2015-2016学年第一学期高数期中试卷一、（每小题6分，共12分） 1、求函数()f x =的定义域和值域。
解：由02sin ≥x 得: 12(21)()2k x k k x k ππππ≤≤+⇒≤≤+所以定义域为1{|();}2D x k x k k Z ππ=≤≤+∈ 由12sin 0≤≤x 得：12sin 0≤≤x ，所以值域为]1,0[2、判断函数21,0()0x x f x x +≤⎧=>在分段点0x =处的左右极限，并据此判断函数在这点的极限是否存在。
解：00/21lim ()lim lim 2x x x x f x x +++→→→=== 00lim ()lim(21)1x x f x x --→→=+= 因为0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，所以函数在0x =处的极限不存在。
二、（每小题6分，共12分）1、3113lim()11x x x →--- 2、01cos lim sin x xx x→-解：1、233211113221lim()lim lim 11113x x x x x x x x x x →→→+-+-===--- 2、22001cos /21limlim sin 2x x x x x x x →→-== 三、（10分）求2(1)sin x x y e x=-的间断点，并判断间断点的类型。
解：由(1)sin 0()xe x x k k Z π-=⇒=∈,所以函数的间断点为()x k k Z π=∈因为22200lim lim 1(1)sin xx x x x e x x→→==-，所以0x =是可去间断点 因为2(0)lim (1)sin xx k k x e x π→≠=∞-，所以(,0)x k k Z k π=∈≠是无穷间断点。
四、（每小题6分，共12分）求解下列各题 1、设2sin (12)x y e -=，求dy解：因为2sin (12)2sin(12)cos(12)(2)x y x x e -'=--⋅-2sin (12)4sin(12)cos(12)x x x e -=--- 2sin (12)2sin2(12)x x e -=--所以2sin(12)2sin2(12)x dy x e dx -=--2、设函数()y y x =是由方程53230y y x x +--=所确定的隐函数，求(0)y '解：方程两边同时对x 求导有：4252190y y x '+--=，所以241925x y y +'=+当0x =时，0y =，所以20,04191(0)|252x y x y y ==+'==+五、（6分）设由参数方程(1sin )cos x y θθθθ=-⎧⎨=⎩所确定的曲线()y y x =在点0θ=处的切线和法线方程。
高数上期中试卷及答案
2013-2014学年高数1期中试卷答案2013—2014学年第一学期期中考试一、（每小题5分，共10分）求解或证明下列各题1、写出函数y =的定义域。
解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数11x v x +=-复合而成的。
2分 由 11arcsin00111x x x x ++≥⇒≤≤--， 3分 于是当10x ->时，得011x x ≤+≤-，无解；当10x -<时，得011x x ≥+≥-，解得1x ≤-，即函数的定义域为(,1]D =-∞-。
5分2、用定义证明：21231lim11x x x x →-+=-。
证明 任给0ε>，要2231|1||(21)1|2|1|1x x x x x ε-+-=--=-<-，即要|1|/2x ε-<， 2分 3分取/2δε=，则当0|1|x δ<-<时，恒有2231|1|1x x x ε-+-<-， 故 21231lim11x x x x →-+=- 5分 二、（每小题5分，共10分）求下列极限1、21sin(1)lim ln x x x→-； 2、1lim (123)x x xx →+∞++。
解 1、原式21sin(1)limln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1ln(123)ln(123)limlim x x x x x xx x ee→+∞++++→+∞== 2分211lim1x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim123x x x xx e →+∞+++=(2/3)ln 2ln3lim1(1/3)(2/3)x x xx e→+∞+++= 4分1lim(1)2x x →=+= 5分 ln 30ln31003ee+++=== 5分三、（8分）求函数||tan x y x=的间断点，并判断间断点的类型；若为可去间断点，补充定义使2013-2014学年高数1期中试卷答案函数连续。
高等数学上册期中考试试卷
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1 48
f ( 1 )
'''
'''
1 48
f ( 2 )
'''
'''
f ( 1 ) f ( 2 ) 48
''' ''' ''' ''' '''
2 | f ( ) | | f ( 1 ) | | f ( 2 ) | | f ( 1 ) f ( 2 ) | 48
dy dx
3
y( x )
由方程
y
2
2 ln y x
4
所确定，则
2x y y 1
2
8．设函数
f ( 2 x ) ln x
，则
f ( x )
1 x
9．曲线
y x e
x
在 x 0 处的切线方程是 y 2 x 1
10．若函数 f ( x ) x 1 在区间[ 1 , 4 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ຫໍສະໝຸດ e e 2x
e
x
lim
x
2 2
1 a rc ta n x
1 x
2
2 所以 lim a rc ta n n e n
n
4．设函数
所确定，求
x 1 t y y ( x ) 由参数方程 y cos t 2 d y
高数期中练习题
高等数学（上）期中练习题一、单项选择题1.下列函数中，是奇函数.A.32xx y += B.xx y sin =C.x x y cos =D.xx y -+=ee 2.当0→x 时，下列说法正确的是.A.1e 2-x 是比x sin 高阶的无穷小B.32x x +是比2x 高阶的无穷小C.)1ln(2x -与2x 是等价无穷小D.x cos 1-与1sec -x 是等价无穷小3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，则0=x 是函数)(x f 的.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点4.设1)(='a f ，则=∆-∆-→∆xa f x a f x )()2(lim.A.1B.-1C.2D.-25.下列说法正确的是.A.函数3x y =在点0=x 处可导B.曲线3x y =在点)0,0(处有切线C.函数||x y =在点0=x 处可导D.曲线||x y =在点)0,0(处有切线二、填空题6.=--+→132lim 221x x x x .7.=∞→xx 1e lim .8.曲线13222-++=x x x y 的水平渐近线是.9.设)2023()3)(2)(1()(++++++=x x x x x x f ，则=')0(f .10.设函数)(x f 可导，则函数)e (xf y =的导数=xy d d .11.函数3x y =当1=x ，01.0=∆x 时的微分=y d .12.设函数x y 2sin =，则=y d x d .13.设函数)cos (sin e x x y x+=，则==0d d x xy .三、判断题（）14.若n n x ∞→lim 存在，则该极限唯一.（）15.若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都不存在，则)]()([lim x g x f ax +→一定不存在.（）16.两个无穷小的商一定是无穷小.（）17.单调递增且有上界的数列必有极限.（）18.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.（）19.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.（）20.函数)(x f 在点x 处可微，那么函数在该点处一定连续.（）21.函数)(x f 在点x 处可导是函数在该点处连续的必要不充分条件.（）22.)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在且相等.四、计算题23.求)1)(cos 121(sin tan lim0----→x x xx x .24.求145lim1---→x xx x .25.求)1ln(1)211(lim 3220x x x x +--→.26.求2163lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x .27.求由方程yx xy +=e所确定隐函数的导数.28.设)(1ln 2x y +=，求y ''.29.求曲线⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x 在3π=θ相应点处的切线方程及法线方程.五、综合题30.证明方程0155=+-x x 在)1,0(内至少存在一个根.31.讨论⎩⎨⎧≥+<=0),1ln(,0,sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性.32.讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 处的连续性与可导性.。
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．命题“x ∃∈R ，320x x +->”的否定是（）A ．x ∃∉R ，320x x +-≤B ．x ∃∈R ，320x x +-≤C ．x ∀∈R ，320x x +-≤D ．x ∀∉R ，320x x +-≤2．若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数2|1|()2x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数21,1(),12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<≤⎩，集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则()f a =（）A ．1B ．0C ．4D ．495．“3a ≤”是函数“()f x =[2,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知函整()f x 的定义域为(4,28)-，则函数28()f xg x -=）A ．(4,28)B ．(6,3)(3,6)--⋃C ．(3,6)D ．(3,3)(2,3)--⋃7．已知函数21()x x f x x++=，函数()1y g x =-是定义在R 上的奇函数，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为11(,)x y ，…，88(,)x y ，则1818(())x x y y ++-++= （）A ．8-B ．4-C ．0D ．28．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)2f =，且对于任意120x x >>，有()()21122122x f x x f x x x ->-，若函数()2()f x g x x-=，则下列说法正确的是（）A ．()g x 在(0,)+∞上单调递减B ．()g x 为偶函数C ．(4)(3)g g <-D ．()f x 在(2,)+∞上单调递增二、多选题9．已知0a b <<，c d >，下列说法正确的是（）A ．a c b d -<-B ．a b c d<C ．11a b>D ．552332a b a b a b +<+10．定义在实数集上的函数1,Q()0,Q x D x x ∈⎧=⎨∉⎩称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数()D x 的说法中正确的是（）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．对任意x ∈R ，都有()()D x D x =-C ．存在无理数0t ，对任意x ∈R ，都有()0()D x t D x +=D ．若0a <，1b >，则有{|()}{|()}x D x a x D x b >=<11．已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法正确的是（）A ．30b c +>B ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12334a cb +++的最小值是4D ．当2c =时，若2()36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[3,1]-，则21[2,4]n n -∈三、填空题12．已知幂函数24()(Z)n n f x x n -=∈的图象关于y 轴对称，且(1)(3)f f -<，则n =.13．已知函数()1f x x =-，2()g x x =，记{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，若y m =与max{(),()}y f x g x =(0)x ≠的图象恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是.14．已知函数()f x 满足：对任意非零实数x ，均有(2)()(1)2f f x f x x=⋅+-，则()f x 在(0,)+∞上的最小值为．四、解答题15．已知函数()f x =A ，集合{}|321B x x =->.(1)求A B ；(2)集合{|1}C x a x a =-<<，若R C B ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．已知函数22()23f x x ax a =--，R a ∈.(1)若0a =，且2(3)()()g x g x f x --=，求出()g x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()0f x <.17．已知函数2()4x af x x +=-是定义在[1,1]-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用单调性定义证明；(3)设()|()|g x f x =，解不等式(21)(1)g t g t ->-.18．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123,,,d d d d ，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间t 10.8t =秒20.2t =秒3t 距离010d =米1d 2d 2320v d k=⋅米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19．对于区间[,]()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①在[],a b 上是单调函数，②函数()y f x =在[],a b 的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数的“保值”区间.(1)求函数2()f x x =的所有“保值”区间；(2)判断函数1()1g x x=-是否存在“保值”区间，并说明理由；(3)已知函数22()1(),0)a a x h x a a a x+-=∈≠R 有“保值”区间[],m n ，当n m -取得最大值时求a 的值.。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(新课标)
2022-2023学年广东高一上学期数学期中考试试题一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x x =>，则当0x <时，()(f x = ) A ．1xB ．1x --C 1x -D 1x -5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 6．（5分）函数2y x x =+-( ) A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．[2)+∞7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)-C ．(1,)-+∞D ．(1,3)8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( ) A ．1abB ．2a b+ C ．222a b + D ．112a b+ 12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ．15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．答案及解析2022-2023学年广东高一上学期数学期中检测仿真卷（1）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P【答案】A【详解】由已知中阴影部分在集合M 中，而不在集合P 中， 故阴影部分所表示的元素属于M ，不属于P （属于P 的补集）， 即()U C P M ，故选：A ．2．（5分）函数1()x f x -=的定义域为( ) A ．(1,)+∞ B ．[1，)+∞ C ．[1，2)D ．[1，2)(2⋃，)+∞【答案】D 【详解】由题意得：1020x x -⎧⎨-≠⎩，解得：1x 且2x ≠， 故函数的定义域是[1，2)(2⋃，)+∞， 故选：D ．3．（5分）已知集合{2A =-，1}，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为( )A ．{1}-B ．{2}C ．{1-，2}D ．{1-，0，2}【答案】D 【详解】AB B B A =⇒⊆，{2A =-，1}的子集有φ，{2}-，{1}，{2-，1}，当B φ=时，显然有0a =；当{2}B =-时，221a a -=⇒=-；当{1}B =时，122a a ⋅=⇒=；当{2B =-，1}，不存在a ，符合题意，∴实数a 值集合为{1-，0，2}，故选：D ．4．（5分）函数()f x 为R 上奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <时，()(f x = )A ．1B ．1C 1D 1【答案】B【详解】函数()f x 为R 上奇函数，可得()()f x f x -=-，又()1(0)f x x >， 则当0x <时，0x ->，()()1)1f x f x =--=-=．即0x <时，()1f x =． 故选：B ．5．（5分）下列命题中为假命题的是( ) A ．x R ∃∈，21x <B ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合2{(,)|}x y y x =与集合2{|}y y x =表示同一集合D ．设全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆ 【答案】C【详解】A ．x R ∃∈，取12x =，则2114x =<，因此是真命题； B ．由22a b a b =⇒=，反之不成立，例如取1a =，1b =-，满足22a b =，但是a b ≠，因此22a b =是a b=的必要不充分条件，因此是真命题；C ．集合2{(,)|}x y y x =表示点的集合，而集合2{|}y y x =表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D ．全集为R ，若A B ⊆，则()()R R B A ⊆，是真命题．故选：C ．6．（5分）函数y x =+( )A ．[0，)+∞B ．[2，)+∞C ．[4，)+∞D ．)+∞【答案】B【详解】函数的定义域为[2，)+∞， 又函数为单调增函数， 当2x =时，取得最小值为2．∴值域是[2，)+∞．故选：B ．7．（5分）已知()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数，则满足(1)f a f ->（2）的实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3] B ．(1,3)- C ．(1,)-+∞ D ．(1,3)【答案】B【详解】根据题意，()f x 定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上是减函数， 则(1)f a f ->（2）(|1|)f a f ⇒->（2）|1|2a ⇒-<， 解可得：13a -<<，即a 的取值范围为(1,3)-， 故选：B ．8．（5分）已知函数2(1)2,0()2,0a x a x f x x x x -+<⎧=⎨-⎩有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1[2-，1)B ．1(2-，1)C ．1[2-，1]D ．1(2-，1]【答案】C【详解】当0x 时，2()(1)1f x x =--， 此时()min f x f =（1）1=-， 而当0x <时，①1a =时，()2f x =为常函数，此时在R 上满足函数()f x 有最小值为1-， ②1a ≠时，函数()f x 此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值， 只需10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+-⎩，解得112a -<，综上，满足题意的实数a 的取值范围为：112a -， 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）若110a b<<，则下列不等式中，错误的有( ) A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b < D ．2b a a b+ 【答案】BCD 【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0a b ab +<<，选项A 正确，选项C 错误； 根据0b a <<可得||||b a >，所以选项B 错误； 由0b a <<，得0b a >，0a b >，则22b a b a a b a b +⋅=，当且仅当b aa b=时等号成立，又a b ≠， 所以b aa b+不能取得最小值2，选项D 错误． 故选：BCD ．10．（5分）下列说法正确的有( ) A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数 【答案】BD【详解】对于A ：函数1()f x x=的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，所以函数在(0,)+∞和(,0)-∞上都为单调递减函数，故A 错误；对于B ：命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++”故B 正确；对于C ：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：若()y f x =为奇函数，且函数y x =也为奇函数，则函数则()y xf x =为偶函数，故D 正确． 故选：BD ．11．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )A ．1abB 2bC ．222a b +D ．112a b+ 【答案】ACD【详解】对于命题1ab ：由221a b ab ab =+⇒，A 正确；对于命题2a b +：令1a =，1b =时候不成立，B 错误；对于命题222222:()2422a b a b a b ab ab ++=+-=-，C 正确； 对于命题111122:2a b a b a b ab ab+++==，D 正确． 故选：ACD ．12．（5分）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：对于任意一个圆，任意的一条直径均可以平分周长和面积，故圆的“优美函数”有无数个，A 正确；对于B ：由于3()f x x =的图象关于原点对称，而单位圆也关于原点对称，故3()f x x =可以是单位圆的“优美函数”， B 正确；对于C ，,0(),0x x f x x x =--<⎪⎩为奇函数，且经过原点，若圆的圆心在坐标原点，则()f x 是这个圆的“优美函数”， C 正确，对于D ：函数图象是中心对称图形的函数一定是“优美函数”，但反之“优美函数”不一定是中心对称的函数，如图，故D 错误；故选：ABC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中m ，0n >，则11m n+的最小值为 ． 【答案】4【详解】函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ， 可得(1,1)A ，点A 在一次函数y mx n =+的图象上， 1m n ∴+=，m ，0n >，12m n ∴+=mn ，14mn ∴， 111()4m n m n mn mn +∴+==（当且仅当12n =，12m =时等号成立）， 故答案为：4．14．（5分）已知2(2)f x x x =+，则f （1）= ；()f x 的解析式为 ． 【答案】34；211()42f x x x =+ 【详解】由21x =，得12x =，f ∴（1）2113()224=+=； 令2x t =，得2t x =，2211()()2242t t f t t t ∴=+=+， 211()42f x x x ∴=+． 故答案为：34；211()42f x x x =+． 15．（5分）定义在[1-，1]上的函数()y f x =是增函数，且是奇函数，若(1)(45)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围是 ．【答案】6(5，3]2【详解】由题意，(1)(45)0f a f a -+->，即(1)(45)f a f a ->--， 而又函数()y f x =为奇函数，所以(1)(54)f a f a ->-． 又函数()y f x =在[1-，1]上是增函数， 有1111451154a a a a --⎧⎪--⎨⎪->-⎩⇒0231265a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪>⎪⎩⇒6352a < 所以，a 的取值范围是6(5，3]2．故答案为：6(5，3]2．16．（5分）已知函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+，对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1[,3]3【详解】函数()(||2)f x x x =-，4()1xg x x =+， 因为44()411x g x x x ==-++在(1,)a -上单调递增， 所以()g x g <（a ）41aa =+， 又222,0()(||2)2,0x x x f x x x x x x ⎧-=-=⎨--<⎩，因为(1)1f -=，由221x x -=，1x =±①当11a -<<+()f x f <（1）1=，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以411aa +，解得13a ，故1123a <+ ②当12a +时，()f x f <（a ）22a a =-，因为对于任意1(1,)x a ∈-，总存在2(1,)x a ∈-，使得12()()f x g x 成立， 所以2421aa aa -+，可得260a a --，解得23a -， 故123a ．综上所述，实数a 的取值范围为1[,3]3．故答案为：1[,3]3．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）已知函数()f x =的定义域是集合A ，集合{|1B x x =或3}x ．（1）求AB ，AB ；（2）若全集U R =，求()U A B ．【答案】（1）{|41AB x x =-<或34}x <；AB R =；（2）(){|4U A B x x =-或4}x【详解】（1）因为函数()f x =的定义域是2{|160}{|44}A x x x x =->=-<<，集合{|1B x x =或3}x ， 所以{|41AB x x =-<或34}x <；A B R =；（2）因为全集U R =，所以{|4UA x x =-或4}x ，所以(){|4U A B x x =-或4}x ．18．（12分）已知命题:P x R ∃∈，使240x x m -+=为假命题． （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{|34}A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,)B =+∞；（2）4[3，2)【详解】（1）由题意，得关于x 的方程240x x m -+=无实数根， 所以△1640m =-<，解得4m >， 即(4,)B =+∞；（2）因为{|34}A x a x a =<<+为非空集合， 所以34a a <+，即2a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则2a <且34a ， 即423a <， 综上所述，实数a 的取值范围为4[3，2)．19．（12分）已知0a >，0b >，31a b +=． （1）求13a b+的最小值； （2）若2297m a b ab >++恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）16；（2）13(12，)+∞【详解】（1）0a >，0b >，且31a b +=，∴1313333(3)()1010216a b a b a b a b b a b +=++=+++=，当且仅当33a b b a =，即14a b ==时，等号成立， ∴13a b+的最小值为16． （2）2297m a b ab >++恒成立，22(97)max m a b ab ∴>++，222197(3)133a b ab a b ab a b ++=++=+⨯⋅，2(3)1344a b a b +⋅=，当且仅当3a b =，即12a =，16b =时，等号成立，2211139713412a b ab ∴+++⨯=，1312m ∴>， 即实数m 的取值范围为13(12，)+∞．20．（12分）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-（如图）． （1）请补充完整函数()f x 的图象； （2）求出函数()f x 的解析式； （3）求不等式()3f x 的解集；（4）若函数()y f x =与y m =有两个交点，直接写出实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩（3）(x ∈-∞，3][3-，)+∞；（4）0m >或1m =-【详解】（1）完整图：（2）0x <，顶点(1,1)--，过点(0,0)，(2,0)- 顶点式：2()(1)1f x a x =+-代入(0,0)，(2,0)-， 得1a =，2()2f x x x ∴=+， ∴2220()20x xx f x x xx ⎧-=⎨+<⎩， （3）()3f x ，当0x 时，2233x x x -⇒， 当0x <时，由对称性3x ⇒-， (x ∴∈-∞，3][3-，)+∞，（4）由图可知，0m >或1m =-． 21．（12分）已知函数2()1x af x x +=+． （1）若1a =时，判断并证明函数()f x 在[2，3]上的单调性，并求函数()f x 在[2，3]上的最大值和最小值； （2）探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）见解析【详解】（1）21()1x f x x +=+在[2，3]上单调递减．证明：令12121212221211,[2,3],,()()11x x x x x x f x f x x x ++∀∈<-=-++ 2112212212()(1)(1)(1)x x x x x x x x -++-=++，因为1223x x <，所以210x x ->，124x x >，124x x +>，121210x x x x ++->， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在[2，3]上单调递减；()f x 在[2，3]的最大值为f （2）35=，最小值为f （3）25=；（2）若()f x 为奇函数，且x R ∈，则(0)00f a =⇒=． 下面证明：因为2()1x f x x =+，所以2()()1xf x f x x --==-+， 所以存在0a =．22．（12分）已知函数1()2f x x x=+-． （1）若不等式(2)20x x f k -在[1-，1]上有解，求k 的取值范围； （2）若方程2(|21|)30|21|x x kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1k ；（2）0k > 【详解】（1）()211222201222x x x xx k k =+--⋅⇒-+原式， 11,222x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦令，则221k t t -+， 令2()21g t t t =-+，()[0g t ∈，1]，()k g t 有解，()max k g t ∴，1k ∴．（2）12212302121x x x kk -+-+-=--原式可化为，令|21|(0)x t t =->，12230kt k t t+-+-=原式可化为2(32)210t k t k ⇒-+++=，若原方程有三个不同的实数解，等价于方程2(32)210t k t k -+++=的两根分别位于(0,1)和(1,)+∞之间， 令2()(32)21g t t k t k =-+++， 只需1(0)02(1)00g k g k ⎧>>-⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪>⎩，0k ∴>．。
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(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点
装
订
线
内
不
要
答
题
自
觉
遵 守
考 试
规 则，诚 信 考 试，绝 不 作
弊
（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）
(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy
（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）
(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关
（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，
0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）
(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；
(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）
(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；
(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1
)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；
(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)
（1）)|
|sin 12(lim 4
10x x e e x x x +++→
（2）)1ln()cos 1(1
cos
11lim 230x x x x x x -++-+→
（3）)tan 11(lim 20x
x x x -→
(4) x x x )arctan 2
(lim π
+∞→
四、计算下列各题(每题6分，共24分)
（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.
( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d
( 3 ) 2
1)(2-+=
x x x f ， 试求)()(x f n
( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .
五．（6分）证明：当1<x 时，x
e x ≥-11
六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()
()()
(ξξξξg f g f ''''=成立.。