大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
大一期中高数复习题
大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。
2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。
3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。
4. 函数h(x)=e^x的导数是________。
5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。
三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。
五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。
求该公司生产100件产品时的平均成本。
六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（ ）53i1i z +=-A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：B2．在ΔABC 中,若 ,则=（ ）3,4,60AB AC BAC ==∠=︒BA AC ⋅A ．6B ．4C ．-6D ．-4【答案】C【分析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<>【详解】,选C.1==cos 3462BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=- 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC 的补角BA AC与3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度123πB ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度126πC ．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度123πD ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度6π【答案】B【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，sin y x =12sin 2y x =接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π32sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π6sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误，B 正确；C 中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A 也是错误的，故C 错误；12D 中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，sin2xy =故D 错误.故选：B4．已知向量，，且，则（ ）(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥ 2a b -=A ．B ．C ．D ．810【答案】B【分析】由得，从而得，再求模长即可.a b ⊥620a b m ⋅=-= 2(4,8)a b -=- 【详解】向量，，且，(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥所以，解得，所以，，620a b m ⋅=-=3m =(1,3)b = 2(4,8)a b -=-所以a -= 故选：B.5．等于（备注：）（ ）)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 22sin cos ααα=A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】C【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 70cos101cos 70⎫︒=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒⋅︒11cos102sin 20cos 20sin 202⎛⎫=⋅︒⋅︒⨯ ⎪ ⎪︒⎝⎭()1cos102sin 20cos30cos 20sin 30sin 20=⋅︒⋅︒⨯︒-︒⨯︒︒1cos102sin(2030)sin 20=⋅︒⋅︒-︒︒12cos10sin10sin 20=-⋅︒⋅︒︒，1sin 201sin 20=-⋅︒=-︒故选：C6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（ ）a b 3π||4a = ||2b = a 2a b + A ．B ．56π12πC ．D ．13π16π【答案】D【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.a b ⋅【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，ab 3π||4a = ||2b = cos 43a b a b π⋅== 则，()22216824a a b a a b ⋅+=+⋅=+=a+= 设向量与向量的夹角为，故，又，故.a 2ab + θ()2cos 2a a b a a b θ⋅+===+[]0,θπ∈θ=16π故选：D.7．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论不正确的是ABC ::7:5:3ab c =（ ）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A BC =0AB AC →→⋅>C ．若，则的面积是D ．是钝角三角形6c =ABC ABC 【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A ；用余弦定理可以判断D ，再结合平面向量数量积的定义可以判断B ；先用余弦定理确定A ，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A ，由正弦定理可得正确；对B ，D ，设，∴，A 为钝角，()7,5,30a t b t c t t ===>22222594915cos 022t t t t A bc bc +--==<，B 错误，D 正确；||||cos 0AB AC AB AC A →→→→⋅=<对C ，∵，则，∴∴6c =14,10a b ==215601cos ,sin 21202t A Abc --===-=.1=1062ABC S ⋅⋅= 故选：B.8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅=ABC ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ AB AC =12AB AC AB AC ⋅=A ∠【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，||AB AB AC ACAB AC 由，可得的角平分线与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 所以为等腰三角形，且，ABC AB AC =且，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AB AC AB AC ⋅= 所以，又，1cos 2A Ð=()0,πA ∠∈所以，π3A ∠=所以，π3B C A ∠=∠=∠=所以三角形为等边三角形．故选：D ．二、多选题9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）2i2i z =+A ．复数z 的虚部是B ．451z =C ．复数z 的共轭复数是D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限24i 55=-z 【答案】AC【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.【详解】，()()()222i 2i 2i 4i 2i 24i 24i2i 2i 2i 4i 555z --+=====+++--复数z 的虚部为，，，复数z 的共轭复数对应的点位于第一象45z ==24i55=-z 限，故正确，错误，AC BD故选：.AC 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在12π712πy （ ）A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的最大值为2()f x C ．在区间上单调递增()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．为偶函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A ，再利用三角函数的图象ωϕ和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.()f x 721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω=由，得.由，得，所以.2122ππϕ⨯+=3πϕ=()0f =sin3A π=2A =()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，则单调递增.5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦()f x 因为，则不是偶函数，22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：BC ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．如图，在四边形中，，，，E 为的中点，ABCD AB AD AC +=||2||2== AD AB 1AB AD ⋅= CD 与相交于F ，则下列说法一定正确的是（ ）AE DB A ．B ．在上的投影向量为1233AF AB AD=+BF ABC ．D ．若，则1AF AB ⋅= 12α=∠DEFtan α=【答案】ABC【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，ABCD AB AD AC +=ABCD 又，，所以，||2||2== AD AB 1AB AD ⋅=60BAD ∠=︒对于 A ：，设 ，12AE AD DE AD AB =+=+ AF AE λ== 1122AD AB AD AB λλλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,B F D所以，解得，所以，故选项A 正确；112λλ+=23λ=1233AF AB AD=+ 对于B ：设的夹角为，因为，，,BF AB θ1AB=2,AD BD ==所以，所以，即，222AD AB BD =+BD AB ⊥θ=90︒所以在上的投影向量为 ，故选项B 正确；BF AB||cos 00||||AB ABBF AB AB θ⨯=⨯=对于：由题意， ，故选项C 1233AF AB AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭ 21212112133332AB ABAD +⋅=+⨯⨯⨯=C 正确；对于D ： ，||AF==cos FAB ∠=||||AF AB AF AB ⋅==若，则，又因为，tan α=30α=︒113022DEF FAB α=∠=∠=︒所以，不满足，故选项D 不正确.260FAB α∠==︒cos FAB ∠=故选：ABC.12．对于，有如下命题，其中错误的是（ ）ABC A ．若，则为锐角三角形222sin sin cos 1AB C ++<ABC B ．若，，，则AB =1AC =30B =︒ABC C ．P 在所在平面内，若，则P 是的重心ABC 0PA PB PC ++=ABC D ．若，则为等腰三角形22sin sin A B =ABC 【答案】AB【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A 错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，C C A 进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B 错误；利用三角形重心的向量公式可判定C 正确；利用正弦定理角化边可得到D 正确，从而确定错误的选项为AB.【详解】若，，，222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin 1cos A B C +<-222sin sin sin A B C +<，，故为钝角，故A 错误；222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<C，，，，故，AB c ==1AC b ==30B =︒c b >C B >或，所以或，sin sin c B C b ===60C =︒120︒90A =︒30︒所以面积为错误；ABC 1sin 902bc A =︒30︒=B 设的重心为，若，则ABC G 0PA PB PC ++= 00,33PA PB PC PG ++===所以，重合，故C 正确；,P G 若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D 正确.22sin sin A B =22a b =a b =ABC 故选：AB三、填空题13．若,且三点共线,则＝______()()()1,2,4,8,5,A B C x --A B C 、、x 【答案】10【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.,,A B C AB AC【详解】因为，所以，，()()()1,2,4,8,5,A B C x --()5,10AB =()62AC x，=+又三点共线，所以与共线，A B C 、、AB AC因此，解得.()52600x +-=10x =故答案为10【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.14．在锐角中，，，__________．ABC ∆1cos 3A =AC =ABC ∆BC =【答案】2【详解】分析：先可得出，再由面积公式：AB ，再由∠A 的sin A =1sin 2AC BC A ⋅余弦定理即可求出BC.详解：由题得,故sin A =1sin 2AC AB A ⋅=AB ⇒=2331cos 263BC A BC +-==⇒=答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x m <2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭实数m 的取值范围是________.【答案】()3,+∞【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值m 范围.【详解】()22π2sin sin 2sin cos 2f x x x x x x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，π1cos 222sin 216x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当时，,,,当，即时2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()(]0,3f x ∈226x ππ-=3x π=，()3f x =∴在区间上的最大值为3，()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是.()f x m <2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()3,+∞故答案为：()3,+∞四、双空题16．如图，平行四边形中，，，，，设ABCD 60DAB ∠=︒3AD =6AB =DE EC =13BF BC =，，用，表示______，______．AB a = AD b = a b AE =AE AF ⋅=【答案】；12a b +632【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】空一：因为，DE EC =所以；111222AE AD DE AD DC AD AB a b=+=+=+=+ 空二：因为，13BF BC =所以，111333AF AB BF AB BC AB AD a b=+=+=+=+ 因此，2211111)()2326(3a b a b a a E b F a b bA A ⋅+⋅+=+⋅+⋅=+ 因为，，，所以，60DAB ∠=︒3AD =6AB =3,6,,60AD b AB a a b ====〈〉=︒所以，1711633663926232AE AF ⨯+⨯⨯⨯⋅=+⨯=故答案为：；12a b + 632五、解答题17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.ABC ∆,,A B C ,,a b c (),2m a c b =- ()cos ,cos n C A = m n ⊥ (1)求角的大小;A(2)若,求的周长5b c +=ABC ∆ABC ∆【答案】(1)；(2)3π5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；cos A A （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.bc a 【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-= 由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A CB A AC B A +-=+-= A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2） 11sin sin 223ABC S bc A bc π∆==== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=的周长a ∴=ABC ∆∴5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．已知两个非零向量与不共线，a b (1)若，求证：A ､B ､D 三点共线；,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- (2)试确定实数k ，使得与共线；ka b + k + a b (3)若，且，求实数的值.(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ b c ⊥ λ【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；,AB BD （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵，,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ∴，283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴共线，,AB BD 又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵与共线，ka b + k + a b ∴存在实数，使，λ()ka b a kb λ+=+ 即，∴，ka b a kb λλ+=+ ()(1)k a k b λλ-=- ∵是两个不共线的非零向量，,a b ∴，10k k λλ-=-=∴，解得；210k -=1k =±（3）∵，(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ 且，b c ⊥ ∴，(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= 解得.32λ=-19．复数，其中为虚数单位．22i(1i)1i z =++-i (1)求及；z z (2)若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】(1)，13i z =-+z =(2)3,7.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的13i z =-+a b 值.【详解】（1）∵，()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==（2）由（1）可知，13i z =-+13iz =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得(8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩20．已知函数．44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1），（2），时T π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．x 24x π+【详解】解：（1），44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π+故的最小正周期；()f x T π=（2）由可得，，[0,]2x π∈2[44x ππ+∈5]4π当得即时，函数取得最小值．所以，时24x ππ+=38x π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM 于.CN P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+ x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅ 【答案】（1）；（2）.12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC = λ的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，k AP AB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅ 【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，，因此，；34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设，3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即，NP k NC = ()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- .221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区ABCDE ABE 域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道BCDE AB BC CD DE EA （不考虑宽度），，，千米．120BCD CDE ∠=∠=︒60=︒∠BAE 226DE BC CD ===（1）求小道的长度；BE （2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，ABE x ∠=x ABE x ABE 并求出最大值．【答案】（1） （2）球类活动场所BE =ABE 2【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.BD BCD △BD Rt BDE BE （2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.ABE α∠=ABE AB AE ABE S 【详解】（1）如图，连接BD在中，，BCD △3()2DE BC CD km ===120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=BD ∴=又BC CD= CDB CBD∴∠=∠又120CDE ︒∠= 90BDE CDE CDB ︒∴∠=∠-∠=在中，Rt BDEBE ===（2）设ABE α∠=60120BAE AEB α︒︒∠=∴∠=- 在中，由正弦定理可知：ABEsin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，)AB α︒∴=-AE α=011sin 60)sin 221cos(120)cos(120)22)01201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒︒︒︒︒︒∴==⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-<<∴-<-< 当时，∴60α︒=ABE S=即球类活动场所ABE 2。
大一下学期高数期中复习题
微积分(二)期中复习题第一部分1. 设2,4a b ==，若向量32a b -垂直于向量a b +，向量2a b +垂直于向量43a b -，求a 与b 之间的夹角，并求以32a b -和2a b +为邻边的平行四边形的面积.2.已知向量(,,2)a x y =-与向量(4,1,3)b =垂直，且a 的模等于b 在z 轴上的投影，求 ,x y .3.证明：两直线1111:112x y z L -+-==-与223:12x y L z -+==-相交，并求此两直线所在平面的方程.4.求过直线110:220x y L x y z ++=⎧⎨++=⎩且与直线211:211x y z L -+==--平行的平面方程.5.求过点(1,1,1)P 且与直线12:113x y z L +==-垂直相交的直线方程.6.求曲线222224:3x y z x y z ⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在xOy 面的投影。
7.求曲线2244:0x y y z ⎧++=Γ⎨=⎩绕x 轴旋转一周所得的曲面。
第二部分1、求函数)1ln(4222y x y x z ---=定义域。
2、求()22001lim sin .x y x y xy→→+3、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=2)(2sin ),(2222y x y x y x f 002222=+≠+y x y x 在点（0，0）处的连续性。
4、设(,)z f x y =由ln x z z y =确定，求22,z z x x∂∂∂∂。
5、设222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂，du y u ,∂∂。
6、设),(22y x y x f z -=，其中),(υu f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。
7、求函数223246u x y y x z =-++在原点沿()2,3,1OA =方向的方向导数。
8、设32u x y z =-，求u 在点()2,1,1-处的方向导数的最大值及取得最大值的方向。
大一期中高数答案1
1 1 1 ， ≤ 2 ≤ 2 n +n+n n +n+i n +n+n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 2 n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≤ 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 ≤ 2 2 n +n+n n + n +1 n + n + 2 n +n+n n + n +1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 又 lim = = ， lim 2 n →∞ n 2 + n + n 2 n→∞ n + n + 1 2 1 2 n 1 所以由夹逼准则知： lim( 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 )= n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n 2
x < ln(1 + x) < x . 1+ x
五. (本题满分 10 分) 证明：当 x > 0 时，Байду номын сангаас
证：令
f ( x) = ln(1 + x)
所以 至少 ∃ξ
则
f ( x ) 在 [0, x] 上满足拉格朗日定理的条件 f ( x) − f (0) x−0
即
∈ (0, x) 使 f ′(ξ ) =
1 ln(1 + x) − ln1 = 1+ ξ x
又0 <ξ
< x, 所以
1 1 < <1 1+ x 1+ ξ
高等数学(下册)期中考试题及答案
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(06提高班)解答
过 L 和 L2 的平面为
x4 2 4
y 1 1
z4 3 3 0 即 3x 9 y z 8 0
所求直线 L 为
2 x 7 y 5z 12 0 3x 9 y z 8 0
四、计算下列各题（每题６分，共 18 分） １．设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy 求 f ( x, y) 。 解：设
s s1 s2 ＝ 1 1 1 ＝ 4i j 3k 2 1 3
设 ( x, y, z ) 为 L 上任意一点，则过 L 和 L1 的平面为
i
j
k
x2 1 4
y 3 z 1 1 1 1 3 0 即 2 x 7 y 5z 12 0
解：由对称性，只需求 z 0 那部分 面积的两倍。 在 上， dS
2a 2a x y
2 2 2
dxdy ， 在 xoy 面上的投影区域 D ： x 2 y 2 a 2 。
S 2 dS ＝ 2 2a d
D
0
2
a
d
2a
2 2
0
＝ 4 2 ( 2 1)a 2
2z 2 f1 2 x( f11 2 x f12 2 y) 2 y( f 21 2 x f 22 2 y) x 2
广东工业大学试卷用纸，第 4 页， 共 6 页
2 f1 4x 2 f11 2x 8xyf12 4 y 2 f 22
同理
z 2 yf1 2 xf 2 y
2 z 2 f1 4 y 2 f11 8xyf12 4 x 2 f 22 y 2
交通学院2016至2017学年度大一下学期期中考试高等数学答案
交通学院2016至2017学年度大一下学期期中考试高等数学试卷参考答案一、选择题（每题2分）1、C2、D3、C4、A5、B 二、填空题（每题3分）6、dx -7、（1,1,1）或i +j +k8、012=---z y x9、π 10、23π三、计算题（每题6分） 11、解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xyxy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦ (3)而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++…………………………………【5】 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=…………………………………【6】（本题用取对数的方法做照样给分） 12、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂，…………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+--…………………………………【6】 13、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (4)（用行列式法求解切向量，只要求对都给分） 故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【5】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (6)14、解：方程组两端对x 求导，得⎩⎨⎧=-+-=-+.0,0222y v u x vv uu x x x x 即：⎩⎨⎧=+-=+yv u x vv uu x x x x ,222…………………………………【2】 则vu yvx v u y v x xu +-=-=∂∂1122122，…………………………………【4】 同样方程组两端对y 求导，得：vu xu y v 2221++=∂∂.…………………………………【6】 （本题用全微分的方法做也给分，在求解方程组时使用克莱姆法则和代换法都可以） 15、解：积分区域对称于x 轴，221xyy x y++为y 的奇函数， 从而知2201Dxydxdy x y =++⎰⎰…………………………………【3】 所以 12120222021ln(1)ln 21122Dr I dxdy d dr r xyr ππππθ-==+=+++⎰⎰⎰⎰极坐标…【6】 16、解：∑的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-． (2)=4】故22012ln()2ln 2aaa a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦ (6)四、解答题（每题8分）17、解：332233'()(+y+)033'()(1+y+)033x y x y x y x x y x y x y yx x f x e y e x e x x f e y e e ++++++⎧=++==⎪⎪⎨⎪=++==⎪⎩解得42(1,),(1,)33---， (2)33222332233''(2)()(+22+)33''+()=(+++1)33''(1)(+2)33x yx y x yxx x y x y x yxy x yx y x yyy x x A f x x e x y e x x y e x x B f e x y e x y e x x C f e y e y e +++++++++==++++=+==++==+++=+ (5)对于4(1,)3-点，11123333,,,0,0,A e B e C e AC B A ---===∆=->> 4(1,)3∴-为极小值点，极小值为13e -- (7)对于2(1,)3--，5552333,,,=0A eB eC e AC B ---=-==∆-<,不是极值 (8)18、解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰． (3)而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (6)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (8)19、解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰……………………【3】 ()3224400002sin cossin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r drπ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰…………………………………【6】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== (8)20、解：因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为3】此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++- (5)()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ==== (7)3=.…………………………………【8】 五、证明题（7分）21、方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ， (2)右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e ex x，…………………………………【4】 所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由于2sin sin ≥+-x x e e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy (7)方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ，…………………………………【1】 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin .…………………………………【2】 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ，…………………………………【4】 故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x (7)阅卷教师注意事项：计算题、解答题、证明题阅卷时请参考步骤给分，如缺步骤酌情扣分。
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大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）221xy y x y +++='(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dtdz。
3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。
四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-012y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方程．2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．六、证明题（本题共12分）1、设函数⎪⎭⎫⎝⎛=x y x z F x u k,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫⎝⎛=x y x z F kx k ,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 ()()()21113222=-+++-z y x2、12． 3、2450x y z +--=． 4、05、232x y +；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A ） 2（B ） 3（C ） 4（C ） 5（A ）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：x x yyd )1(1d 2+=+ 上式两端积分得c x x x x y yy ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 22即 ： c x x y ++=2arctan 2其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为.)121(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：()u t v u t uv u u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂， ()uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u tz cos =∂∂依复合函数求导法则，全导数为dtdt t z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ()1cos 12sin 2⋅+⋅+-=u t uv e u t v t()tt t t e t e t e e t t cos ln 2sin ln 2++-=3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,222y e y x f y y x e y x f xy x x ，得驻点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21。
由于()()124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()xyy e y x f C 22,==在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，224e B AC =-，所以函数在点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-。
四、应用题（本题8分）1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万）五、综合题（本大题共21分）1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a cc a 1010101012，，，，，，s ，作 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca，，s s n ，取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2111c bc ca，，n 为法向量的平面01=+--czb y a x ，就是过1l 且平行于2l 的平面方程． 2、解：设球面上点为(,,)x y z ．令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，222211120,20,20,503x y z L x L y L z L x y z R x y zλλλλ=+==+==+==++-= 由前三个式子得2223z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为5(,))f R R =． 六、证明题（本题共12分）1、证明：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y xz F x x z x y xz F x x y xz F kx x u kkk⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kx k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以，zu z y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y x z F zx x y x z F kx x k k k ,,,22121 ⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y x zF xy k k ,,1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xzF kx k ,如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。