大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为
______________________
2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为
3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为
4、22
22222
(,)(0,0)
(1cos())sin lim
()e
x y x y x y xy x y +→-+=+
5、设二元函数y x xy z 3
2
+=，则
=∂∂∂y
x z
2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）
（A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.
(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;
(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++
3、已知直线π
22122
:
-=
+=
-z
y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）
(A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r
；
(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22y
z
∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两
个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条
件；
(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.
5、设),2,2(y x y x f z -+=且2
C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=
∂∂∂y
x z
2（ ） (A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）221xy y x y +++='
(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''
2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数
dt
dz。

3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

四、应用题（本题8分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为
xy y x y x c -+=222),
( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生
产使其总成本最少？最小成本为多少？ 五、综合题（本大题共21分）
1、（本题10分）已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-0
12y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方
程．
2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面
22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y x z
F x u k ,
，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y x
z F kx k ,
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 ()()()21113222=-+++-z y x 2、12
．
3、2450x y z +--=．
4、0
5、232x y +；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1（A ） 2（B ） 3（C ） 4（C ） 5（A ）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：
x x y y
d )1(1d 2
+=+ 上式两端积分得c x x x x y y y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 2
2
即 ： c x x y ++=2
arctan 2
其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于
是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2
10=b ,11-=b
于是，求得题没方程的一个特解*y .)12
1(2x e x x -=
从而，所求题设方程的通解为.)12
1
(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：
()
u t v u t uv u u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂， ()
uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u t
z cos =∂∂
依复合函数求导法则，全导数为
3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,22
2y e y x f y y x e y x f x
y
x x ，得驻点⎪⎭⎫
⎝⎛-1,21。

由于()()
124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点
⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，2
24e B AC =-，所以函数在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-。

四、应用题（本题8分）
1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值 构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ
解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='=++-='=+-='08040
2y x F y x F y x F y x λλλ
解得 3,5,7==-=y x λ
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万） 五、综合题（本大题共21分）
1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为
{}⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ρ，
{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a c
c a 101
0101012，，，，，，s ρ，
作 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca
，，s s n ρρρ，
取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1
P 且以⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=2111c bc ca
，，n ρ为法向量的平面01=+--c
z
b y a x ， 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、解：设球面上点为(,,)x y z ．
令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，
由前三个式子得2
2
2
3
z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在
球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为
5(,))f R R =．
六、证明题（本题共12分）1、证明：
所以，z
u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂。