高数大一下学期试卷
高数大一下期末试卷
一、选择题（每小题4分，共16分）1、设22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，则σ=⎰⎰（ ）(A)43π (B) 23π (C) 13π (D) 16π 2、若级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都发散，则下列级数中必发散的是（ ）(A) 1()nn n uv ∞=+∑ (B)221()nnn uv ∞=+∑ (C)1n nn u v∞=∑ (D)1()nn n uv ∞=+∑3、若1(1)nnn a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则此级数在3x =处（ ）(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定4、计算d I z V Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+及平面1z =所围成的立体，则正确的解法为（ ）(A) 2110d d d I r r z z πθ=⎰⎰⎰ (B) 2211d d d rI r r z z πθ=⎰⎰⎰(C) 2110d d d rI r r z z πθ=⎰⎰⎰ (D) 120d d d zI z zr r πθ=⎰⎰⎰二、填空题（每小题4分，共24分）1、设Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域，则=V ⎰⎰⎰。
2、设曲线Γ：22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则2()d x y s Γ+=⎰ 。
3、设L 为上半圆周y (0)a >及x 轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向， 则2d Lyx =⎰ 。
4、设∑是平面1234x y z++=在第一卦限的部分，则4(2)d 3x y z S ∑++=⎰⎰ 。
5、函数()arctan f x x =在0x =处的幂级数展开式为 ，其收敛域为 。
6、设1()sin n n S x b nx ∞==∑，x -∞<<+∞，其中02sin d nbx nx x ππ=⎰，则在[,]ππ-上()S x = 。
a班大一下学期高数试题及答案
a班大一下学期高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限的概念是微积分的基础，以下哪个选项正确描述了极限的定义？A. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限存在。
B. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限不存在。
C. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限存在。
D. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限不存在。
答案：A2. 以下哪个选项正确表示了函数的连续性？A. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值。
B. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，且等于该点的函数值。
C. 函数在某点的左极限与右极限都不存在。
D. 函数在某点的左极限与右极限存在但不相等。
答案：B3. 以下哪个选项是正确的导数定义？A. 函数在某点的导数是函数值的变化率。
B. 函数在某点的导数是函数值的变化量。
C. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的比值。
D. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的乘积。
答案：A4. 以下哪个选项正确描述了不定积分的概念？A. 不定积分是求原函数的过程。
B. 不定积分是求导数的过程。
C. 不定积分是求函数的极值的过程。
D. 不定积分是求函数的定积分的过程。
答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2，其在x=2处的导数为______。
答案：42. 若函数f(x) = sin(x)，则其不定积分为______。
答案：-cos(x) + C3. 设函数f(x) = e^x，其在x=0处的极限为______。
答案：14. 若函数f(x) = ln(x)，则其在x=1处的导数为______。
答案：1三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的导数。
答案：122. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的不定积分。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。
A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。
12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。
13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。
14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。
15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。
16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试、单项选择题 设 f (x) f (0)1.(A ) 2.设(X )(本大题有4小题，每小题4分，共16分) cos X ( X2(B ) —,(x) 3 33 X ,则当 x 1 时1 Xsin x ),则在x 0处有( f (0)1 (C ) f (0) 0(D )).f(X )不可导.(A ) 穷小；(C )(X )与(X )是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(X )是比(X )高阶的无穷小;(D) (B ) (X )与(x)是等价无(x)是比(x)高阶的无穷小.3.若则((A ) (B )(C ) (D ) F(x))函数 函数 函数 函数 X(2tF (x)必在 F (x)必在F (x)在 x F(x)在 x 4.5. 6. 7. 8. 9.X)f⑴dt ，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f (X ),X 0处取得极大值；x 0处取得极小值； 0处没有极值，但点(°, F(0))为曲线y 0处没有极值，点(0,F (0))设f (x)是连续函数，且2 2— —2 (A ) 2 (B ) 2(C ) X 1填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共2lim (1 3x)k x 0f(x) x 2也不是曲线 1f (t )dt(D)16分)已知cosx是f (X)的一个原函数 X f (x) cosxdxXli m n— (cos 2—n n 2cos2 .x arcs in x 1 1 x 22解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)1确定，求1dx设函数y y(x)由方程e y1 X 77 10.x(1设 f (X)11.12.设函数f— dx. )g(x)连续，sin (xy)1f(xt )dt，且 F (X )的拐点； y F(x )的拐点。
y (x)以及 y (°)13f (x)dx •lim f(X )A ()x 0X, A 为常数.求g (x)13.求微分方程xy2y xln x 满足y(1)y(x)x 0, y7 10.解：U x e x y ycos(xy) e x y xcos(xy) 0 , y (0)1 7x6dx du并讨论g(x)在x 0处的连续性四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X o，y o)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程•五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A ；(2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(X)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，q 1f(x)d x q f(x)dx0 0f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在°,上连续，且0 , 0 证明：在°,内至少存在两个不同的点 1 '2,使f( 1)f( 2)0•(提示：设xF (x) f(x)dx0 )解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX2 6 -( ) c -5. e.6. 2 x .7. 2 .8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40 分)9.解：方程两边求导x ye (1 y) cos(xy)( xy y) 0原式(1u(1吐duU)1(-u1-(ln |u| 21 n |u 1|) c1 72 7In | x | In |1 x | C 7 711.解:3f(x)dx0 3X d(12.解：由g(x )g(x )g(0) xxexe xdx2x~x 23 0 _1 (x 1)2dx2人cos d (令 x2dx1 sin )-2e 3 4f(0) 0，知 g （o ） o o1f (xt)dtxf (u)duxt u(x 0)xf (u)du~2xxf(u)duI & 0xf(x) (x 0)li m x If(x) x 2xf (x)x m 0g(x)limx 0lim x 02xxf(u)du0 ~2x13.dy 解: dx2 -y x 2 dx xI n四、 14.g （x ）在x 0处连续。
大一下学期高等数学考试题
一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、 6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
大一下高数练习题
大一下高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是：A. 6x - 2B. 6x^2 - 2xC. 6x^2 - 2D. 3x^2 - 2x + 12. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x在点(1,2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数f(x) = ln(x)的原函数是：A. x^2B. x^3C. e^xD. xln(x) - x4. 若f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值：A. -2B. 0C. 2D. 45. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的二阶导数是：A. -sin(x) - cos(x)B. -sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. sin(x) + cos(x)二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 8，则f'(x) =____________。
7. 曲线y = 2x^2 + 3x - 1在x = -1处的切线斜率是___________。
8. 若f(x) = √x，则f'(x) = ____________。
9. 曲线y = x^3 - 4x + 5在x = 1处的切线方程是___________。
10. 函数f(x) = e^x的原函数F(x) = ____________。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 求函数f(x) = x^3 - 4x + 2的一阶导数和二阶导数，并求在x = 2时的导数值。
12. 求曲线y = x^2 - 3x + 4在x = 1处的切线方程，并求该点的曲率。
四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)上连续且可导，且f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)上是严格递增的。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。
答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。
答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。
答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。
答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。
答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。
四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
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aq n 1
在（
）时收敛．
A、 q 1
B、 q 1 D、 q 1
C、 q 1
三、计算题
1．已知函数 z 2．求极限
x y y x ，求
3．求函数 z 4．求函数 5．已知 6．已知
sin( xy 2 ) ． ( x, y )(2,0) 2 y2 lim
z x
C、 D、
1 3 a 2
3 3 a 2
A、 2 rf (r 2 )dr
0 1
D
）.
5. c 是以 O(0, 0) ， A(1, 0) ， B (0,1) 为顶点的三角形，则
A、 1 2 C、 1 3
C、 4 rf (r 2 )dr
0 1
B、 4 rf (r )dr
0 1
(1,1)
_______________________.
4. 已知 a // b 且 a (2, 1, 2) ， a b 18 ，则 b
5. 曲线 c 是抛物线 y x 2 介于点 O(0,0) 、 A(1,1) 之间的一段弧，则
．
6.曲线 c 是抛物线 y x 2 上从点 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段弧，则
f ( x, y) 的偏导数
z x
z x
ye D
D
( x
xy
2
14． 计算 I 的上半圆周
c yds ，其中积分曲线 C 是 x
(1 xe
c 2y
dxdy ，其中 D 是由直线 x 1, x 2, y 2 及曲线 xy 1所围成的闭区域.
2
y 2 x) dxdy ，其中 D 是由直线 y 2, y x, y 2 x 所围成的闭区域
0 1 0 y
．
12. 曲线 c 是圆周 x 2 y 2 a 2 ( a 0) 按正向绕行一周的曲线，则
xy
．
y ，则全微分 dz x
．
c ydx xdy
．
二、单项选择题
1. 向量 a (1,1, 2) 与 b (2, 0,1) 的夹角 ( a , b ) （ A、 0 C、
a n (a 0) 的敛散性． n 1 n 1
c
y ds ________________．
7.曲线 c 是 y 2( x 1)2 1 上从点 A(1,1) 到 B(2,3) 的一段弧，则
c 2 xydx x dy ________________．
2பைடு நூலகம்
8. 交换积分 I
c xydx ( y x)dy ________________．
c ( x
2
y 2 )ds （
B、 2 a
3
1 2 x xy e 2 1 D、 z x 2 y xy 2 e xy 3 2
B、 z x 2 y ） ．
4. 设积分区域 D : x 2 y 2 1 ， f ( x 2 y 2 ) 在 D 上连续，则 f ( x 2 y 2 )dxdy （
复习题
一、填空题
1. 极限 lim
sin( xy ) ______． x 0 x y 2
2. 二元函数 3. 已知 z
x3 x 2 y y 4 ，则 dz
x2 y f ( x, y ) 2 x y2
的极限 lim f ( x, y ) ______．
x 0 y 0
） ．
B、
6
4
D、
2
2. 使
2 z 2 x y 成立的函数是（ xy
A、 z x 2 y
） ．
3. c 是以 x a cos t , y a sin t (0 t 2 ) ， ，则
A、 a
3
1 2 x y xy e 2 1 C、 z x 2 y xy 2 sin( xy ) 2
y z sin ,y x
z z z f ( x, xy) 的偏导数 , ． x y
tan x ，求
x y ln y 的全微分 dz .
dz
7.已知 u x ，求 du
yz
z ln(ex e y ) , y x3 ，求 dz dx
y
dx
．
8.已知 z e x ，求 dz 9.求由方程 sin( x y z ) xyz x 所确定的隐函数 z 10.求由方程 x y z e ( x y z ) 所确定的隐函数 z 11．计算 I 12．计算 13．计算
c ( x y)ds （
B、 1 2 D、 1 3
D、 2 rf (r )dr
0 1
） ．
6.如果 lim an 0 ，则级数 an （
n
n 1
） ．
A、 一定收敛，且和为零 C、 一定发散 7.等比级数
n 1
B、 一定收敛且和不为零 D、 可能收敛，也可能发散
9. 已知向量 a (2, 3,1) ， b (1, 1,3) ， c (1, 2, 0) ，则 ( a b ) ( b c ) 10. 函数 z ln(1 x 2 y 2 ) ，则全微分 dz 11. 函数 z
dy f ( x, y )dx 的次序，则 I _________________________.
15.讨论正项级数
a n (a 0) 的敛散性． n 1 n 1
四、应用题
1．讨论正项级数
2．做一个无盖长方体水箱，已知它的底面造价为每平方米 18 元，侧面造价为每平方米 6 元，设计的 总造价为 150 元。问长、宽、高怎样设计才能使水箱的容积最大． 3．在半径为 R 的半球内，求体积最大的长方体的体积．
f ( x, y) 的偏导数
)dx ( x 2 e 2 y y 2 ) dy ， 其中 c 是 x 2 y 2 R 2 ( R 0) 上从点 A( R, 0) 到 B ( R, 0)
y 2 25 的上半圆周.
nn 14．判断正项级数 的敛散性. n 1 n!