高等数学期中考试
大学高数期中考试试卷
大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。
高数(一)期中考试试题
高等数学（上）期中考试试题一、填空题（5×5=25分）1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。
2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知 。
3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则4．()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .二、选择题（5×5=25分）1．的极限是函数时当12120x 1x 1+-→,x （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在2．()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）连续点 （D ）跳跃间断点3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）44． 下列结论一定正确的是（ ）（A ）驻点一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''（D ）()()()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（ ）（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()11-e , （D ）()e ,1-三、计算题（6×3=18分）()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求()()().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos四、证明题（6×2=12分）.x x .x -≤<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设五、综合题（10×2=20分）1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？2． 讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点装订线内不要答题自觉遵 守考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作弊（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)（1）)||sin 12(lim 410x x e e x x x +++→（2）)1ln()cos 1(1cos11lim 230x x x x x x -++-+→（3）)tan 11(lim 20xx x x -→(4) x x x )arctan 2(lim π+∞→四、计算下列各题(每题6分，共24分)（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d( 3 ) 21)(2-+=x x x f ， 试求)()(x f n( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .五．（6分）证明：当1<x 时，xe x ≥-11六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=成立.。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
高等数学期中考试试题
高等数学期中考试试题满分100分 时间100分钟 专业班级 姓名 成绩 一、填空题(每小题4分, 共32分)1. 设,0()cos ,0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则2(1)f x -= .2. ()xx x2cot 2tan 31lim +→=.3. 设ln y x y =+, 则dy dx=.4. 曲线sin 2cos t tx e ty e t ⎧=⎨=⎩在点（0，1）处的切线方程是 . 5. 10100(2tan )(2sin )lim sin x x x x→+--= .6. 若221lim 2(1)x ax bx c x →++=-，则a = ，b = ，c = .7. 设()()f x g x '=，则2(sin )df x = .8. ()x x x f e =的带拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为_________ . 二、选择题 (每小题4分, 共32分)1．函数()sin f x x x =（ ）（A ） 在（- ∞,+ ∞）内无界； （B ） 在（- ∞,+ ∞）内有界； （C ） 当x →∞时为无穷大； （D ） 当x →∞时极限存在.2. 设曲线ax x y +=3与c bx y +=2在点(-1,0)处相切，其中a ,b ,c 为常数，则（ ）。
（A ）1,1,1=-=-=c b a （B ）2,2,1-==-=c b a （C ）2,2,1=-==c b a （D ）1,1,1=-==c b a3.设31(),()11xf xg x x x-==-+，则当1x →时，（ ）（A ）f 与g 为等价无穷小； （B ）f 是较g 为高阶的无穷小；（C ）f 是较g 为低阶的无穷小； （D ）f 与g 为同阶无穷小，但不等价.4.函数()2f x x =+在点0x =处 ( )(A)连续，但不可导; (B)连续且可导; (C)不连续，故不可导; (D)具有连续的导数. 5.设111()23x xef x e+=+, 则0x =是()f x 的( )(A)可去间断点; (B)跳跃间断点; (C)第二类间断点; (D)不是间断点.6. 若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ ）。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
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高等数学期中考试
一、填空（每小题4分）
1 设
)0(0,0,2cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x x x f
当a= 时，x =0是f (x )的连续点。
2 arctan 0(),x y y y y x -+==设方程确定了求dy dx
＝ 。
3．401cos 2cos 4lim x a x b x A x
→++= ，则a= ，b = ， A = 。
4．函数2x y x =的极小值点为 。
5．设f (x ) = x ln x 在x 0处可导，且f’(x 0)=2,则 f (x 0)= 。
2
0()(0)6.lim 1x f x f x →-=-设则f (x )在x =0取得 （填极大值或极小值）。
二、（10分）
⎩
x >0函数f(x)=0x ≤0是否连续？是否可导？并求f (x )的导函数。
三、 解下列各题（7＋7＋8）
1．()220121lim x x x x -+→
.
2．)233(lim 1
12-+-∞
→x x x x ；
3．⎧⎨⎩x =t +2+sint 设曲线方程为y =t +cost
,求此曲线在x =2 的点处的切线方程,及222=x dx y
d 。
四、 试确定a,b,c 的值，使y =x 3+ax 2+bx +c 在点(1,-1)处有拐点，且在x =0处有极大值为1，并求此函数的极小值。
（8分）
五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。
（8分）
六、证明不等式：
().
,β
<
α
<
β
>
αα
βe（8分）
七、y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限
n
10分）
八、设 f (x)在[0,1]上连续且在(0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=ξ;（10分）。