《高等数学》期中考试A
中北大学高等数学A2019-2020期中考试试题与答案
2019-2020 学年 第 1 学期 第 1 次考试试题与答案课程名称 高等数学A （1）1、下列极限不存在的是（ C ）． （A ）1lim sin x x x→∞；（B ）lim arctan x x →+∞；（C ）e 1lim e 1xx x →∞+-； （D ）lim x →+∞．解析：（A ）11lim sin lim 1x x x x xx→∞→∞=⋅= （由于10x→，因此11sin x x ）（B ）πlim arctan 2x x →+∞=（C ）e 11e lim lim 1e 11e x x xx x x --→+∞→+∞++==--，e 1lim 1e 1x x x →-∞+=--，因此e 1lim e 1xx x →∞+-不存在．（D ）lim limx x →+∞==2、()1lim 1kxx x →∞-=（ A ）．（A ）e k -； （B ）e k； （C ）1ek-；（D ）1e k．解析：()()11lim 1lim 1e kkxxk x x x x ---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．3、当0x →时，423sin cos x x x 与nx 为等价无穷小，则n =（ B ）． （A ）4； （B ）6；（C ）7；（D ）9．解析：423636600sin cos cos lim lim 1x x x x x x x x x→→== （sin x x ） 4、关于函数3233()(3)(2)x x x f x x x +--=+-的间断点，下列正确的是（ D ）．（A ）3x =-与2x =均为无穷间断点； （B ）3x =-与2x =均为可去间断点；（C ）3x =-为无穷间断点，2x =为可去间断点； （D ）3x =-为可去间断点，2x =为无穷间断点．解析：322233333(3)(1)18limlim lim (3)(2)(3)(2)25x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+--+--===-+-+--，因此3x =-为可去间断点； 当2x →时，分母极限为0，分子极限为非0实数，因此2x =为无穷间断点．5、设cos 0()20e 0x a x x f x x b x >⎧⎪==⎨⎪+<⎩在0x =处连续，则,a b 的值为（ C ）． （A ）1,1a b ==； （B ）1,2a b ==； （C ）2,1a b ==；（D ）2,2a b ==．解析：连续点处左右极限存在并都与函数值相等；0lim ()lim cos x x f x a x a ++→→==，00lim ()lim (e )1xx x f x b b --→→=+=+， 因此，21a b ==+，可得：2a =，1b =．6、设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=的实根的个数为（ C ）． （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．解析：显然()f x 连续可导，且满足(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，分别在[1,2]，[2,3]，[3,4]三个区间内使用罗尔定理，可得()0f x '=在三个区间内至少各有一根，因此()0f x '=至少有三个根；另外，由于()f x '为三次多项式，因此最多只有三个根．综上，本题选C ． 7、已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ A ）． （A ）1-； （B ）1； （C ）12-； （D ）12． 解析：00(3)(3)1(3)(3)1limlim (3)1222h h f h f f h f f h h →→----'=-=-=--．8、函数32()32f x x x =-+在[1,3]上的最大值和最小值分别为（ D ）． （A ）最大值为5，最小值为0； （B ）最大值为2，最小值为0； （C ）最大值为0，最小值为2-；（D ）最大值为2，最小值为2-．解析：2()360f x x x '=-=，可得在[1,3]只有一个驻点2x =，将驻点函数值与端点比较即可，(1)0f =，(2)2f =-，(3)2f =，可得最大值为2，最小值为2-．9、函数23()(1)4f x x =-在1x =处的曲率为（ B ）． （A ）34； （B ）32； （C ）54； （D ）52． 解析：33222213322(1)31(1)2x y K y x =''==='+⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦10、墙角处立着一个长度为5m 的梯子，如图所示，梯子顶端A 点以1.5m/s 的速度正在匀速下滑，当A 点与墙角O 点之间距离为4m 时，梯子底端B 点向右滑动的速度为（ B ）． （A ）1.5m/s ； （B ）2m/s ； （C ）2.5m/s ； （D ）3m/s ．解析：OA 的距离设为y ，OB 的距离设为x ，显然有2225x y +=，通过这个式子可求出两个速度之间的关系， 两边对t 求导数得：d d 0d d x y xy t t +=，将3x =，4y =，d 1.5d y t =-代入解得d 2d xt=m/s 11、设()f x =()f x 的定义域是 ． 答案：1e ,e -⎡⎤⎣⎦解析：由21ln 0x -≥解得1ln 1x -≤≤，再由于ln x 为单调函数，因此1e e x -≤≤．12、22212lim()12n nn n n n→∞+++=+++ ． 答案：12 解析：22222222212121212111n n nn n n n n n n n n n n n n +++≤+++≤++++++++++++ 由112(1)2n n n +++=+ ，得2222211(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n ++≤+++≤+++++ 而21(1)12lim 2n n n n n →∞+=+，21(1)12lim 12n n n n →∞+=+，由夹逼准则得原极限为12． 13、函数()y y x =由方程2e 610y xy x ++-=确定，则(0)y ''= ． 答案：2-解析：将0x =代入方程解得0y =，方程两边对x 求导得e 6620yy y xy x ''⋅+++=，将0x =，0y =代入解得(0)0y '=；方程两边对x 再求导得2e ()e 66620yyy y y y xy '''''''⋅+⋅++++= 将0x =，0y =，0y '=代入得：(0)2y ''=-．14、已知(sin )xy x =，则y '＝ ． 答案：(sin )(ln sin cot )xx x x x + 或 1(sin )ln sin (sin )cos xx x x x x x -+⋅解法一：换底()lnsin lnsin (sin )e e ln sin (sin )(ln sin cot )x x x x x x y x x x x x x x ''''⎡⎤⎡⎤====+⎣⎦⎣⎦解法二：取对数ln ln sin y x x =，两边对x 求导，ln sin cot y x x x y'=+ 因此：(sin )(ln sin cot )xy x x x x '=+解法三：公式法（指数函数求导公式+幂函数求导公式）1(sin )ln sin (sin )cos x x y x x x x x -'=+⋅15、设arctan y =1d x y == ．x解析：()2211d d 21y x x ==++，则1d x y x == 16、函数32535y x x x =-++的凹区间为 ． 答案：5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，写成开区间也正确．解析：23103y x x '=-+，6100y x ''=->，得53x >． 17、计算极限 011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣⎦20ln(1)lim x x x x →-+=0111lim 2x x x→-+=01lim 2(1)2x x x x →==+18、设xy =，求0x y ='． 解：取对数11ln ln(8)2ln(2)ln(1)32y x x x x =++-+-+ 两边对x 求导，12113(8)22(1)y y x x x '=+--+++得：12113(8)22(1)x y x x x ⎤'=+--⎥+++⎦，因此20211111112124248x y =⋅⎡⎤'=+--=-⎢⎥⋅⎣⎦19、设22ln(1),(1)2arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=+-⎩求221d d t y x =. 解：2d 22(1)d 1y t t t =+-+3222221t t t t ++=+，2d 2d 1x tt t =+ 322d d 222d 1d d 2d y y t t t t t t x x t t ++===++，2222d 21(21)(1)2d 21y t t t t x t t +++==+，因此221d 3d t y x == 20、设ln(1)y x x =-+，求函数的极值，并判断是极大值还是极小值． 解：111y x '=-+01x x==+，解得驻点：0x = 21(1)y x ''=+，(0)0y ''>，因此0x =处为极小值，函数有极小值(0)0y = 21、设1x >，证明不等式(1)ln 2(1)x x x +>-． 证明：设()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，其中(1)0f =，11()ln 2ln 1x f x x x x x+'=+-=+-，且(1)0f '=，又由于22111()(1)0f x x x x x ''=-=->因此()f x '单增，则当1x >时有()(1)0f x f ''>=，则()f x 单增，因此当1x >时有()(1)0f x f >=． 四、解答下列各题（本题共2小题，每小题6分，共12分）22、计算极限21arctan 0sin lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解法一：2211arctanarctan0sin sin lim lim 1xx x x x x x x x ++→→-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin arctan sin 0sin lim 1x xx x x x xx x x x +--→⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦30sin limex x x x +→-=20cos 1lim3ex x x +→-=22012lim 3ex x x+→-=16e -=解法二：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e x x xxx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭21sin ln 10lim e x x x x x +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→=3sin 0lim e x xx x +-→= 下同解法一解法三：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e xxx xx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭20lnsin ln limex x xx+→-=0cos 1sin lim 2ex x x xx +→-=20cos sin lim2sin ex x x x x x+→-=3200cos sin cos sin cos limlim26eex x x x xx x x xxx++→→---==2201lim66ee x x x+→--==23、在抛物线24y x =-上的第一象限部分求一点(,)P a b ，过P 点作切线，使该切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小．解：切线斜率为22x a x a y x a =='=-=- 切线方程2(4)2()y a a x a --=--求切线与两坐标轴交点，令0y =，解得242a x a+=，令0x =，解得24y a =+三角形面积为223(4)116()844a S a a a a a +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，02a <≤ 求驻点22116()3804S a a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，即4238160a a +-=，解得243a =，a =3132()64S a a a ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，0S ''>，因此当a =时面积取到最小值， 此时切点坐标为83⎫⎪⎭．。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点装订线内不要答题自觉遵 守考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作弊（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)（1）)||sin 12(lim 410x x e e x x x +++→（2）)1ln()cos 1(1cos11lim 230x x x x x x -++-+→（3）)tan 11(lim 20xx x x -→(4) x x x )arctan 2(lim π+∞→四、计算下列各题(每题6分，共24分)（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d( 3 ) 21)(2-+=x x x f ， 试求)()(x f n( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .五．（6分）证明：当1<x 时，xe x ≥-11六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=成立.。
大一高等数学a期中试题及答案
大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。
A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。
A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。
A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。
A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。
A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。
B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。
A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。
答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。
答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。
答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
xyz 1 1．曲线 x y 2 在点 (1,1,1) 处的切线方程为
x1 2
y1
z 1； 3
2． 方程 xyz x2 y 2 z2
2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分
为 dz dx 2dy ；
3．交换二次积分的积分次序
0
2
2
0
dy f (x, y)dx ＝ dx f ( x, y)dy ；
1
1y
1
1x
4． 设曲线 C : x cost , y sin t, z
3,0 t
，则
x2 y2 z2ds 2 ；
C
ò 5． 设曲面
:x
y z 1 ，则
(x
y )dS
4 3.
3
0
0
1
y y2
（ A ） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1 y2
（ B） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1
（ C） dx f(x, y)dy
0
0
1
x x2
（ D） dx
f(x, y)dy
0
0
8． 设 由 3 x2 y 2 z, z 1 x 2 所围成，则
f ( x, y, z)dv
[
[D] C]
1
1 4x2
f (i) 2 e 1 i （ 1 分） 13. 计算 zdv ，其中
( x, y, z) R 3 z x2 y2 z2 2z .
大学高等数学-(A)期中试卷(含答案)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题 （每小题4分，共20XX 分）1、22lim sin 1x xx x →∞=+ 。
2、1lim(ln )n n n n →∞= 。
3、设321)(+=x x f ，则()(0)n f = 。
4、已知232,()arctan 32x y f f x x x -⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，求0|x dy dx == 。
5、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan 3x ae x xe xf xx在0=x 处连续，则=a 。
二、单项选择题 （每小题4分，共20XX 分）1、设ln ||()sin |1|x f x x x =-，则)(x f 有（ ）。
A. 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B. 两个无穷间断点 C. 一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 两个跳跃间断点 2、 若0→x 时，2)(kx x f =与x x x x g cos arcsin 1)(-+=是等价无穷小，则k 等于（ ）。
A. 1B. 32C. 43D. 23、 设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y所确定的隐函数，则022|=x dxyd 等于（ ）。
A. 3-B. 2-C. 1-D. 0 4、设)(x f 处处可导，则（ ）。
A. 当lim ()x f x →-∞=-∞，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B. 当lim ()x f x →-∞'=-∞，必有lim ()x f x →-∞=-∞厦门大学《高等数学（A ）》期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业C. 当lim ()x f x →+∞=+∞，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D. 当lim ()x f x →+∞'=+∞，必有lim ()x f x →+∞=+∞5、设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为1.0，则)1('f 等于（ ）。
厦门大学《高等数学》期中试卷A及答案
二、填空题：（每小题4分共24分）
7．设函数 可表示成 ，其中 为偶函数， 为奇函数，则 =； =。
8． 。
9．设 ，则当 ， 时， 处处可导。
10．设 由方程 所确定，则曲线 在 处的法线方程为。
11．设 可导，函数 由 所确定，则 。
12．设 有任意阶导数且 ，则 。（n>2）
18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？
厦门大学《高等数学》期中试卷A参考答案
一、单项选择题:
1. B，2. C, 3. C, 4. C, 5. D, 6. A.
17．证明：令 。在 上， ， ，由罗尔定理，存在 ，使 。
又 ， ， ，再对 应用罗尔定理，存在 ，使 ，即 。
五、应用题：
18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足 ，即 。设盛满溶液时漏斗的体积为 ，则有
上式两边对 求导，得
。
代入 ， ，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为
厦门大学《高等数学》期中试卷A
题号
一
二
三
四
五
总成绩
得分
评卷人
一、单项选择题：（每小题4分，共ห้องสมุดไป่ตู้4分）
1．设 ，则 。
（A）0；（B）1；（C） ；（D） 。
2．设
（A）在 内有界；（B）当 时为无穷大；
（C）在 内无界；（D）当 时有极限。
3．设 时， 与 是同阶无穷小，则 为。
（A）1；（B）2；（C）3；（4）4。
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甘肃石化技师学院《高等数学》课程期中考试试题A 卷
一、单项选择题（每题选一个正确答案，填在该题后括号内。
每小题4分，共16分）
1. 函数sin
cos32
x y x =+的周期为（ ） A. π; B. 4π; C. 23
π; D. 6π. 2. 下列函数对中为同一个函数的是（ ） A. 2
12,x y x y x
==;
B. 12,y x y ==
C. 212,y x y ==;
D. 12,y x y ==3. 设21cos ,2x x αβ=-=，则当0x →时（ ）
A. α与β是同阶但不等价的无穷小；
B. α与β是等价无穷小；
C. α是β的高阶无穷小；
D. β是α的高阶无穷小. 4. 1lim sin
x x
→∞=（ ） A. 1; B. 0; C. ∞; D. 不存在.
二、填空题（答案填写在横线上，每小题4分，共24分）
1. 若223lim 12
x x x a x →-+=-，则a = . 2. 2f (x)=
的定义域为 . 3. sin 2lim x x x
→∞== . 4. ()x α'= ， '(tanx)= .
5.y 31x =+的反函数是 .
6.1lim(1z)z
z →∞+= .
三、计算题（答案填写在空白处，每小题6分，共36分）
1. 求3113lim()11
x x x →---.
2. 求.201cos lim
x x x
→-.
3. 设(1)(12)(13)y x x x =+++，求y ''.
4. 用定义验证lim 0n n q →∞
= (1q <).
5.求0sin lim
sin x x x x x
→-
6.设x (t sint)(1cost)
a y a =-⎧⎨=-⎩，求22d y dx .
四、简答题（答案填写在空白处，每小题6分，共24分）
1. 设()f x x =，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性.
2. 设曲线通过点（2,3），且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.
3. 设231cos ,0,()01,1.x x f x x x x x --∞<<⎧⎪=≤<⎨⎪≤<+∞⎩
，讨论()f x 在0x =和1x =处的可导性.
4. 求椭圆曲线22
124x y +=
上点处的切线方程和法线方程.。