1-4复变函数及其极限与连续
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复变函数的极限和连续
场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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感谢观看
总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
复变函数的基本概念及运算
定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
复变函数的极限和连续性
三、举例
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数的极限与连续
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
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函数值集 w平合 面为 上的 G*,那 集末 G 合 *中的 每一个 w必 点将对G中 应的 着(一 或个 几)点 个 . 于是G在 *上就确定了一 (或个 多)单 函 值值 数
z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
15
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
34
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
有 uu 02,
vv02,
22
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
x2y2
x0 x2 (kx)2
36
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
13
(2)函数 wz2构成的. 映射
26
定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
27
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
29
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
23
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
24
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
31
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
32
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
33
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
19
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
r
37
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
38
例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
5
5.映射的概念
引入: 对于复变函 ,由数 于它反映了两u对,v变量
和x, y之间的对应,因 关而 系无法用同一平面 的几何图形表示 ,必出须来看成是两个上 复平面 的点集之间的对.应关系
6
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,4217
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,
z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
15
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
34
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
有 uu 02,
vv02,
22
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
x2y2
x0 x2 (kx)2
36
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
13
(2)函数 wz2构成的. 映射
26
定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
27
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
29
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
23
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
24
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
31
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
32
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
33
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
19
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
r
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当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
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例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
5
5.映射的概念
引入: 对于复变函 ,由数 于它反映了两u对,v变量
和x, y之间的对应,因 关而 系无法用同一平面 的几何图形表示 ,必出须来看成是两个上 复平面 的点集之间的对.应关系
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映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
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例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,4217
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,