析取范式与合取范式.ppt
命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
析取范式
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大 项由下表给出
极小项 公式 成真 赋值 名称 公式
极大项 成假 赋值 名称
∧¬r ¬p ∧ ¬q ∧¬ ¬p ∧ ¬q ∧ r ¬p ∧ q ∧ ¬r ¬p ∧ q ∧ r p ∧ ¬q ∧¬ ∧¬r p ∧ ¬q ∧ r p ∧ q ∧ ¬r p∧q∧r
例如，析取范式： 例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, ∧ ） , ┐p∧ p∨┐q∨r. ┐q∨ 合取范式:(p∨ ∨ ∧ 合取范式 ∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. ∨ ∧ ∧ ∨ ∨ 定理： 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 ） 每个简单合取式都是矛盾式。 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 ） 析取式都是重言式。 析取式都是重言式。
极小项
极大项
公式 ¬p∧¬ ∧¬q ∧¬ ¬p∧q ∧ p∧¬ ∧¬q ∧¬ p∧q ∧
成真赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 m0 m1 m2 m3
公式 p∨q ∨ p∨¬ ∨¬q ∨¬ ¬p∨q ∨ ∨¬q ¬p∨¬ ∨¬
成假赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 M0 M1 M2 M3
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式 的析取范式与合取范式。 (1)合取范式 合取范式： 解: (1)合取范式： (p→q)↔r ⇔ (┐p∨q)↔ r (┐p∨ ((┐p∨ r)∧(r→(┐p∨ ⇔ ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨ ⇔ (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨ ⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨ ⇔ (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
析取范式和合取范式
符号逻辑中的析取范式和合取范式在符号逻辑中，析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是对命题逻辑或布尔逻辑中命题的特定形式的转换表示。
它们在逻辑推理和计算机科学中起着重要作用。
本文将详细介绍析取范式和合取范式的概念、转换过程以及其在逻辑推理中的应用。
一、析取范式（DNF）1.概念及表示方式析取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个析取式（由多个合取项通过逻辑或（∨）连接而成）。
通常用以下形式表示一个析取范式：DNF = (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) ∨ (Q1 ∧ Q2 ∧ … ∧ Qm) ∨ …其中，每个Pi和Qj都是合取项，合取项由多个命题原子或其否定连接而成。
2.转换过程析取范式可以通过逻辑运算的规则进行转换，以下是常用的两个转换规则：–吸收律：P ∨ (P ∧ Q) = P–分配律：P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)通过这些规则，我们可以逐步化简一个逻辑表达式，直至获得其最简析取范式。
3.示例考虑一个逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ (R ∧ ¬T) ∨ (¬S)根据上述转换规则，我们可以将其化简为析取范式：(P ∨ R ∨ ¬S) ∧ (Q ∨ R ∨ ¬S) ∧ (P ∨ ¬T ∨ ¬S)这就是给定逻辑表达式的析取范式。
4.应用析取范式在逻辑推理和计算机科学中应用广泛。
它可以用于逻辑回路的设计、命题逻辑的定理证明和布尔代数的计算等。
二、合取范式（CNF）1.概念及表示方式合取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个合取式（由多个析取项通过逻辑与（∧）连接而成）。
通常用以下形式表示一个合取范式：CNF = (P1 ∨ P2 ∨ … ∨ Pn) ∧ (Q1 ∨ Q2 ∨ … ∨ Qm) ∧ …其中，每个Pi和Qj都是析取项，析取项由多个命题原子或其否定连接而成。
简单析取式和简单合取式(最全版)PTT文档
0 1 1 0 0 ∑(2,4,5,6,B7) B∧1B∧(pi∨┐pi)(B∧pi)∨(B∧┐pi)
范 式 ---- 析取式和合取式 A*(┐p,┐q,┐r) ┐p∧(q∨┐r) ┐A*(p,q,r)
∨(p∨┐p)∧(q∧┐r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
1 0 0 1 0 合取对范偶式式的为析（3）将重复出现的命题变项、矛盾式
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p
(p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求 析(p取∨范q)式∧(┐r∨p) (((交p∨换q律)∧和┐等r幂)∨律p) (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
求p∧q ∨r的主合取范式
0 0 0 0 解
范
式（-p-∧--q）求∨主（r析1取）范求式 A的析取范式A’
0
0 0 1 0 （1）求A的析取范式A’
任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的。
0
求命题公式(( p∨q)→r)→p 的主析取范式。
解：((p∨q)→r)→p
p∨(q∧┐r)
N个变元可构成(22n)个若极A小’项的某简单合取式B中不含命题变项
p∧┐q∧r
N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
1 1 0 m6
1 1 1 m7
范 式 ---- 求主析取范式
p q r 范
范
离散数学第2章-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂--ppt课件
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
2.2 析取范式与合取范式ppt课件
如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A1, A2 ,L As 表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
15
在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
37
2．重言式与矛盾式的主合取范式 ① 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范
式含2n 个极大项. （n为公式中命题变项个数） ② 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任
设 Ai (i 1,2,L , s) 为简单的析取式，则 A A1 A2 L As 为合取范式.
9
2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
10
定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
例2.8 求公式 (p→q) ↔ r主析取范式和主合取范式.
解:（1）求主析取范式． 在例2.7中已给出的公式的析取范式，即
（p→q）r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
在此析取范式中，简单合取式┐p∧r，q∧r都 不是极小项。下面分别求出它们派生的极小项。
求合取范式和析取范式
求合取范式和析取范式一、什么是合取范式和析取范式？合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）和析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔逻辑中常用的两种标准化形式。
合取范式是由若干个合取子句（conjunction clause）通过析取连接符“∧”连接而成的表达式。
每个合取子句是由若干个文字（literal）通过合取连接符“∨”连接而成的表达式。
合取范式是一个逻辑公式的最简形式之一。
析取范式是由若干个析取子句（disjunction clause）通过合取连接符“∨”连接而成的表达式。
每个析取子句是由若干个文字通过析取连接符“∧”连接而成的表达式。
析取范式是一个逻辑公式的最简形式之一。
二、合取范式的求解步骤合取范式的求解步骤如下：1.将逻辑公式转换为合取范式的形式。
2.将逻辑公式中的否定符号“¬”通过德摩根定律转换为合取形式。
3.使用分配律将合取式展开为多个合取子句。
4.合并相同的合取子句。
三、析取范式的求解步骤析取范式的求解步骤如下：1.将逻辑公式转换为析取范式的形式。
2.将逻辑公式中的否定符号“¬”通过德摩根定律转换为析取形式。
3.使用分配律将析取式展开为多个析取子句。
4.合并相同的析取子句。
四、合取范式和析取范式的应用场景合取范式和析取范式在逻辑推理、计算机科学和人工智能等领域有广泛的应用。
在逻辑推理中，合取范式和析取范式可以用于判断逻辑公式的真值。
通过将逻辑公式转换为合取范式或析取范式的形式，可以更方便地进行逻辑推理和求解。
在计算机科学中，合取范式和析取范式可以用于布尔代数的运算和逻辑电路的设计。
通过将逻辑表达式转换为合取范式或析取范式的形式，可以更高效地进行逻辑运算和电路设计。
在人工智能中，合取范式和析取范式可以用于知识表示和推理。
通过将领域知识转换为合取范式或析取范式的形式，可以更方便地进行知识推理和智能决策。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
19
范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的? , ?
解 (1) ? (p? q)?? r ? (p?? q)?? r
(3) n个命题变项的真值表共有 22n个, 故每个命题公式都有
无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变 项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变 项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.
3
真值表法
例1 判断 ? (p? q) 与 ? p? ? q 是否等值
6
基本等值式 (续)
零律
A? 1? 1, A? 0? 0
同一律
A? 0? A, A? 1? A
排中律
A?? A? 1
矛盾律
A?? A? 0
蕴涵等值式
A? B?? A? B
等价等值式
A? B? (A? B)? (B? A)
假言易位
A? B?? B?? A
等价否定等值式 A? B?? A?? B
归谬论
A? B?? A? B A? B? (? A? B)? (A?? B) (2) 否定联结词? 的内移或消去 ? ? A? A ? (A? B)?? A?? B ? (A? B)?? A?? B
20
范式存在定理 (续)
(3) 使用分配律 A? (B? C)? (A? B)? (A? C) A? (B? C)? (A? B)? (A? C)
说明:(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值 (3)制的用十表m进示i表制. 用示表M第示i表i,个m示极i第(M小i个i)项称极,为其大极中项小i,是其项该中(极极i是小大该项项极成)的大真名项赋称成值.假的赋十值进
22
极小项与极大项 (续)
（排中律）
? p? r
（同一律）
非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的
成假赋值.
总结:A为矛盾式当且仅当A? 0; A为重言式当且仅当A? 1 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
12
真值函数
定义2.12 称F:{0,1}n? {0,1}为n元真值函数
n元真值函数共有 22n个
p,q形成的极小项与极大项
公式 ? p?? q ? p? q
p?? q p? q
极小项 成真赋值
00 01 10 11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋值
p? q
00
p?? q 0 1
? p? q 1 0
? p?? q 1 1
名称
M0 M1 M2 M3
定理2.6 设mi 与Mi是由同一组命题变项形成的极小项和极 大项, 则 ? mi ? Mi , ? Mi ? mi
定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和 主合取范式, 并且是惟一的.
24
求主析取范式的步骤
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn (1) 求A的析取范式A?=B1? B2? … ? Bs, 其中Bj是简单合取 式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含? pi, 则将Bj展开成
11
11
11
01
14
联结词完备集
定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n? 1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集
定理2.1 下述联结词集合都是完备集:
(1) S1={? , ? , ? , ? , ? } (2) S2={? , ? , ? , ? } (3) S3={? , ? , ? } (4) S4={? , ? } (5) S5={? , ? } (6) S6={? , ? }
16
2.3 范式
? 2.3.1 析取范式与合取范式
? 简单析取式与简单合取式 ? 析取范式与合取范式
? 2.3.2 主析取范式与主合取范式
? 极小项与极大项 ? 主析取范式与主合取范式 ? 主范式的用途
17
简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, ? q, p?? q, p? q? r, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, ? q, p?? q, p? q? r, …
(A? B)? (A?? B) ?? A
7
等值演算
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程
置换规则: 若A? B, 则? (B)? ? (A)
例3 证明 p? (q? r) ? (p? q)? r p49,例2.12(1)
证 p? (q? r) ? ? p? (? q? r) （蕴涵等值式） ? (? p?? q)? r （结合律） ? ? (p? q)? r （德摩根律） ? (p? q) ? r （蕴涵等值式）
Bj ? Bj? (pi?? pi) ? (Bj? pi)? (Bj?? pi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极小 项为止 (3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mi? mi (4) 将极小项按下标从小到大排列
25
求主合取范式的步骤
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn (1) 求A的合取范式A?=B1? B2? … ? Bs, 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含? pi, 则将Bj展开成
交换律
A? B? B? A, A? B? B? A
结合律
(A? B)? C? A? (B? C)
分配律
(A? B)? C? A? (B? C) A? (B? C)? (A? B)? (A? C)
A? (B? C)? (A? B)? (A? C) 德摩根律 ? (A? B)?? A?? B
吸收律
? (A? B)?? A?? B A? (A? B)? A, A? (A? B)? A
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定
18
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1? A2??? Ar, 其中A1,A2,? ,Ar是简单合取式
合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1? A2??? Ar , 其中A1,A2,? ,Ar是简单析取式
23
主析取范式与主合取范式
主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式
例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (? p?? q? r)? (? p? q? r) ? m1? m3 是主析取范式 (p? q?? r)? (? p? q?? r) ? M1? M5 是主合取范式
9
实例
例5 用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q?? (p? q) 解 q?? (p? q)
? q?? (? p? q) （蕴涵等值式）
? q? (p?? q) （德摩根律）
? p? (q?? q) （交换律，结合律）
? p? 0
（矛盾律）
?0
（零律）
该式为矛盾式.
10
实例(续)
(2) (p? q)? (? q?? p) 解 (p? q)? (? q?? p)
8
实例
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.
例4 证明: p? (q? r) (p? q) ? r
p52
方法一 真值表法（见例2）
方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假.
方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.
求合取范式 求析取范式
例1 求? (p? q)?? r 的析取范式与合取范式
解 ? (p? q)?? r
? ? (? p? q)?? r
? (p?? q)?? r
析取范式
? (p?? r)? (? q?? r) 合取范式
注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.
21
极小项与极大项
定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式) 中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次， 而且第i(1? i? n)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项 (极大项)
? 2.2.1 等值式与等值演算
? 等值式与基本等值式 ? 真值表法与等值演算法
? 2.2.2 联结词完备集
? 真值函数 ? 联结词完备集 ? 与非联结词和或非联结词
2
等值式
定义2.11 若等价式A? B是重言式, 则称A与B等值, 记作 A? B, 并称A? B是等值式
说明: (1) ? 是元语言符号, 不要混同于? 和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表
解 p q r p? (q? r) (p? q)? r (p? q)? r
000
1
001
1
0
1
1
1
010
1
0
1
011
1
1
1
100
1
1
1
101
1
110
0
111
1
1
1
0