随机数产生与模拟
随机模拟方法总结
随机模拟方法总结引言随机模拟方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过模拟随机事件的方式，来求解实际问题。
随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，特别是在金融、物理、计算机科学和工程等领域。
本文将总结随机模拟方法的基本原理和常用的应用场景。
基本原理随机模拟方法的基本原理是通过生成服从某种概率分布的随机数，并在该分布上进行采样，来模拟实际问题。
其基本步骤如下：1.确定概率分布：根据实际问题的特点和要求，选择合适的概率分布，如均匀分布、正态分布等。
2.生成随机数：利用确定的概率分布，生成服从该分布的随机数序列。
3.采样模拟：根据具体问题，对生成的随机数进行采样模拟，得到问题的解或近似解。
4.分析结果：对采样模拟得到的结果进行统计分析，评估其准确性和可靠性。
常用应用场景随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：金融风险评估在金融领域，随机模拟方法常用于风险评估。
通过模拟随机的市场变动、利率变化等因素，来评估投资组合的风险水平。
这些模拟结果可以帮助投资者做出更加准确的决策，降低投资风险。
物理系统模拟在物理学领域，随机模拟方法广泛应用于物理系统的建模和模拟。
通过随机模拟方法可以模拟分子动力学、粒子运动等复杂的物理现象，进一步深入理解和预测实验中观察到的现象。
计算机网络性能评估随机模拟方法可以用于评估计算机网络的性能。
通过模拟网络中的随机事件，如消息传输延迟、丢包率等，可以评估网络的性能指标，从而优化网络架构和改进网络协议。
工程系统仿真在工程领域，随机模拟方法可用于工程系统的仿真和优化。
通过模拟随机因素对工程系统的影响，可以评估系统的可靠性和性能，并进行系统优化设计。
常用模拟算法实际应用中，常用的随机模拟算法包括：•蒙特卡洛方法：通过随机采样和统计学方法，进行数值计算和模拟，如求解积分、求解微分方程等。
•马尔可夫链蒙特卡洛方法：利用马尔可夫链的性质，进行随机抽样和模拟，如在复杂系统中进行参数估计和优化。
随机模拟总结
随机模拟总结引言随机模拟是一种常见的数值计算方法，通过对概率分布进行随机抽样来模拟某种现象的统计特性。
它在各个领域都有广泛的应用，如金融、物理学、生物学等。
本文将介绍随机模拟的基本原理、常见的应用场景以及优缺点，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用随机模拟方法。
随机模拟的基本原理随机模拟的基本原理是基于概率论和随机过程的理论，通过生成服从特定概率分布的随机变量来模拟某个随机现象。
在随机模拟中，我们通常使用随机数发生器来生成伪随机数序列，然后利用这些伪随机数来模拟目标分布。
随机模拟通常包括以下几个步骤：1.选择合适的概率分布函数：根据所模拟的现象和问题的特点，选择合适的概率分布函数作为随机模拟的基础。
2.生成随机数：利用随机数发生器生成服从选定概率分布函数的随机数。
3.运用模拟方法：使用生成的随机数来模拟目标现象，并收集统计数据。
4.分析结果：对模拟得到的数据进行统计分析，得出所关注问题的结果或得到近似解。
随机模拟的应用场景随机模拟在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：金融领域在金融领域，随机模拟常用于风险管理、投资组合优化等问题。
通过模拟市场价格的随机变动和投资组合的收益率，可以评估不同投资策略的风险水平和回报潜力，帮助投资者做出更明智的决策。
物理学领域在物理学研究中，随机模拟常用于模拟粒子运动、统计物理系统的行为等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟粒子在给定势能场中的运动轨迹，从而研究物理系统的性质和行为。
生物学领域在生物学研究中，随机模拟常用于模拟遗传演化、蛋白质折叠等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟基因突变的发生、蛋白质的折叠过程等，从而深入了解生物体内的复杂过程和机制。
随机模拟的优缺点随机模拟方法具有一些显著的优点和一些限制性缺点。
优点1.灵活性：随机模拟方法可以适应各种问题和模型，能够模拟多种复杂的现象和系统。
2.实用性：随机模拟方法可以直接从统计样本中获取信息，使得相关问题的求解更加直观和实用。
随机数的生成方法
选 法
1）坐标变换法
反 函 数 法
设r1，r2 是RND随机数，令
坐中 标心 变极 换限 法定
理
x1 x2
(2 ln (2 ln
r1 )1 / r1 )1 /
2 2
cos(2r2 sin(2r2
) )
则 x1, x2是相互独立的标准正态分布的随机数.
2）利用中心极限定理
例3 ：选λ=97，C=3，M=1000，得递推公式
xn1 97xn 3(mod1000) rn xn 1000
取定种子x0=71，得 97x0＋3=6890， x1=890， r1=0.890 97x1＋3=86333， x2=333， r2=0.333
97x2＋3=32304， x3=304， r3=0.304
最常用、最基础的随 机数是在（0,1）区间 内均匀分布的随机数 (简记为RND)
理解为：随机 变量X～U(0,1) 的一组样本值
的模拟值
一般采用某种数值计算方法产生随机数序列， 在计算机上运算来得到.
通常是利用递推公式：
n f (n1,n2 , ,nk )
给定k个初始值ξ1,ξ2,…,ξk , 利用递推公式递推出一
2,
0 ri 0.3 0.3 ri 0.6
0.6 ri
x1，x2，…，xN 即具有X 的分布律的随机数.
从理论上讲, 已解决了产生具有任何离散
型分布的随机数的问题.
具体执行仍有困难,如X的取值是无穷多个的 情况.
可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法.
例4 随机变量X～B(n,p)，其分布律为
反函数法 舍选法
1) 反函数法 设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产
数据科学中的随机模拟
数据科学中的随机模拟数据科学是现代社会中非常重要的一个领域，随着计算机技术的不断发展，数据科学得到了越来越多的应用。
在数据科学中，随机模拟是非常重要的一个分支。
随机模拟可以帮助我们预测未来，优化现有的业务，甚至是开展我们的科研工作。
本文将会探讨随机模拟在数据科学中的应用。
一、随机模拟的基础在进行随机模拟之前，我们需要了解一些基础概念。
1、随机数随机数是在一定范围内随机生成的数值。
我们通常使用计算机程序来生成随机数。
随机数可以用来进行一些类似于抽奖等活动。
2、随机事件一些事件在一定时间内是不能被准确预测的。
例如，彩票中奖号码的产生就是一个随机事件。
随机事件常常与随机数相联系。
3、概率概率是一个事件发生的可能性大小。
例如，在投掷一颗骰子时，每一面的概率为1/6。
概率可以用来描述我们对随机事件的预期。
二、随机模拟的应用随机模拟在数据科学中可以用来进行很多应用，包括对未来进行预测，优化现有的业务，甚至是开展我们的科研工作。
1、金融风险控制随着金融业的不断发展，金融风险控制也变得越来越重要。
随机模拟可以帮助分析不同的金融风险，比如信用风险、市场风险、流动性风险等。
通过模拟随机事件，我们可以预测金融业的发展方向，并制定相应的金融政策。
2、医疗研究医疗研究是一个很重要的领域，随机模拟可以帮助医学研究人员模拟出不同的健康情况，预测不同治疗方法的效果，并制定相应的治疗方案。
此外，随机模拟还可以帮助医生预测病人的病情发展，并制定相应的治疗计划。
3、交通规划交通规划是城市规划的重要组成部分。
随机模拟可以帮助分析不同的交通模式，模拟交通流量的变化，以及在不同交通条件下的通行能力。
通过随机模拟，我们可以制定出更加科学合理的交通规划。
4、商品价格预测商品价格预测在商业领域中也是非常重要的。
随机模拟可以帮助商家预测未来的销售情况，并相应地制定出营销策略。
此外，随机模拟还可以帮助商家进行市场调查，预测不同商品的需求量，以及在不同价格下的销售情况。
概率模拟使用随机数生成器进行概率模拟
概率模拟使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟：使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟是一种通过生成随机事件来模拟研究概率问题的方法。
为了有效进行概率模拟，我们常常使用随机数生成器来产生符合一定概率分布的随机数。
本文将介绍概率模拟的基本原理，并详细说明如何使用随机数生成器进行概率模拟。
一、概率模拟基本原理概率模拟是基于概率论的一种分析方法，通过模拟随机事件的发生情况来预测其概率分布。
在现实世界中，很多事件的结果是不确定的，无法通过精确计算得到其概率。
这时候，我们可以通过随机数生成器模拟一系列随机事件，然后根据模拟结果统计频率，从而推断真实概率。
概率模拟的基本原理可以用以下步骤总结：1. 定义随机试验：明确研究对象、试验过程和结果。
2. 设定概率分布：根据实际情况，假设事件的概率分布。
3. 生成随机数：使用随机数生成器生成符合设定概率分布的随机数。
4. 进行模拟：多次独立地重复试验，并记录事件发生的频率。
5. 统计频率：根据模拟结果统计频率分布，推断真实概率。
二、随机数生成器的选择随机数生成器是概率模拟的关键工具，它能够生成满足特定概率分布的随机数序列。
在选择随机数生成器时，需要考虑以下几个因素：1. 均匀性：生成的随机数应该具有均匀分布特性，保证随机性。
2. 独立性：生成的随机数应该相互独立，避免序列中的随机数之间存在相关性。
3. 有效性：生成的随机数应该能够满足模拟的需求，有足够的精度和范围。
常用的随机数生成器包括线性同余法、Mersenne Twister算法等。
三、使用随机数生成器进行概率模拟的步骤使用随机数生成器进行概率模拟通常包括以下几个步骤：1. 确定模拟的随机事件和概率分布。
在进行概率模拟前，首先需要明确研究对象和所关注的随机事件，并根据实际情况设定相应的概率分布。
2. 设定随机数生成器参数。
根据所选择的随机数生成器，设定相应的参数，如随机数种子、生成的随机数范围等。
3. 生成随机数序列。
随机数生成公式
随机数生成公式随机数生成公式是一种计算机程序中常用的技术，可以生成随机的数字，用于模拟和实验等场景中。
本文将介绍几种常见的随机数生成公式及其应用场景。
一、线性同余法（Linear Congruential Method）线性同余法是一种简单而又高效的随机数生成方法，其公式为：Xn+1 = (aXn + c) mod m其中Xn为当前随机数，a、c、m为常数，mod为模运算符。
该公式的原理是通过不断迭代计算，每次得到一个新的随机数。
该方法的优点是计算速度快，缺点是会产生周期性重复的随机数序列。
该方法常用于模拟和实验场景中。
二、梅森旋转算法（Mersenne Twister）梅森旋转算法是一种广泛应用的随机数生成方法，其公式为：Xn+1 = Xn⊕(Xn >> u)其中Xn为当前随机数，⊕为异或运算符，>>为右移运算符，u为常数。
该公式的原理是通过对当前随机数进行位运算，得到一个新的随机数。
该方法的优点是生成的随机数序列较为均匀，缺点是计算速度较慢。
该方法常用于加密和安全场景中。
三、高斯分布随机数生成公式（Gaussian Distribution）高斯分布随机数生成公式是一种生成符合正态分布（高斯分布）的随机数的方法，其公式为：X = μ + σ * Z其中μ为均值，σ为标准差，Z为符合标准正态分布的随机数。
该公式的原理是通过对标准正态分布进行线性变换，得到符合正态分布的随机数。
该方法的优点是生成的随机数符合实际分布规律，缺点是计算量较大。
该方法常用于金融和统计场景中。
四、指数分布随机数生成公式（Exponential Distribution）指数分布随机数生成公式是一种生成符合指数分布的随机数的方法，其公式为：X = -ln(U) / λ其中U为符合均匀分布的随机数，ln为自然对数函数，λ为指数分布的参数。
该公式的原理是通过对均匀分布进行变换，得到符合指数分布的随机数。
第3章 随机数的产生与模拟
b
,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值 在[0,1]之间,令 x = (b − a)u + a ,则有：
∫
b
a
f ( x)dx = S0 ∫ ϕ (u )du + c(b − a )
0
1
其中 ϕ (u ) =
[ f (a + (b − a )u ) − c] , S 0 = (b − a)(d − c) . d −c
本章目录
7
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
1 2 3 4
蒙特卡罗（ Carlo） 方法（ 即随机模拟方法） 蒙特卡罗 （ Monte Carlo ） 方法 （ 即随机模拟方法 ） 求解实际问题的基本步骤包括： 求解实际问题的基本步骤包括： 建模： 建模 ： 对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型， 率统计模型 ， 使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 关的特征量。 改进模型： 改进模型 ： 根据概率统计模型的特点和计算实践的需 尽量改进模型，以便减少误差和降低成本， 要 ， 尽量改进模型 ， 以便减少误差和降低成本 ， 提高 计算效率。 计算效率。 模拟试验 求解：对模拟结果进行统计处理， 求解 ： 对模拟结果进行统计处理 ， 给出所求问题的近 似解。 似解。
1
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
应用实例
例4：用上述四种方法计算 I = ∫0 e x dx (3)重要抽样法
data E3; do k=1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; r=ranuni(32789);x=(3*r+1)**(1/2)-1; s=s+exp(x)/(1+x); end; I3=3/(2*1000)*s;output; E3=abs(I3-(exp(1)-1)); End; run; proc means data=e3 Mean Var; var I3; run;
Matlab中的随机数生成与随机模拟
Matlab中的随机数生成与随机模拟在科学研究、工程领域和现代计算机技术的工作中，随机数生成和随机模拟是非常重要的工具和方法。
Matlab作为一种强大的数值计算环境和编程语言，提供了丰富的工具包和函数库，可以帮助我们进行随机数生成和随机模拟的工作。
在本文中，我们将探讨Matlab中的随机数生成方法、常见的随机分布函数及其应用以及一些相关的技巧和注意事项。
Matlab提供了多种方法来生成随机数。
最常见的方法是使用rand函数，该函数可以生成一个[0,1)之间的均匀分布的随机数。
例如，当我们执行rand语句时，Matlab会生成一个随机数，如0.8467。
我们可以通过传递参数来生成多个随机数，例如rand(1,1000)将生成一个包含1000个随机数的向量。
除了rand函数，Matlab还提供了其他一些常见的随机数生成函数。
例如，randn函数可以生成符合标准正态分布的随机数。
这些随机数具有均值为0，方差为1的特性。
我们可以使用randn(1,1000)来生成一个包含1000个符合标准正态分布的随机数的向量。
除了均匀分布和正态分布外，Matlab还提供了其他一些常见的随机分布函数，例如指数分布、伽马分布、泊松分布等。
以指数分布为例，我们可以使用exprnd函数生成符合指定参数lambda的随机数。
例如，exprnd(1,1,1000)将生成一个包含1000个符合参数lambda为1的指数分布的随机数的向量。
在随机模拟中，我们可以使用这些随机分布函数来模拟实际问题。
以蒙特卡洛方法为例，它是一种基于随机模拟的数值计算方法。
在蒙特卡洛方法中，我们通过随机生成大量的样本来模拟实际问题，并根据这些样本进行数值计算和推理，从而得到问题的近似解。
Matlab提供了强大的工具和函数来支持蒙特卡洛模拟。
例如，我们可以使用rand函数来生成随机样本，并利用这些样本进行数值计算。
如果我们想模拟一个投掷硬币的实验，通过设定rand函数生成的随机数大于0.5为正面，小于0.5为反面，我们可以模拟多次投掷，从而获得正反面出现的概率。
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(b d
a)u) c
c]
,
S0
(b
a)(d
c)
.
本章目录 35
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(2) 平均值估计法
平均值估计法的计算步骤：
① 产生[0,1]区间的均匀随机数 r1,r2,,rN
② 计算 f (ri ) (i1,2,..N.)
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
当
g(
y)
为离散形式时，即
p(x)
,其中 n
i1
ipi(x)
i
0,
n
i1
i 1
pi (x) 是密度函数，其抽样过程如下：
1 产生一个正的随机整数J，使得P{Jj}pj，j1,2,...n,
2 产生分布为 p j ( x) 的随机数。
本章目录 22
3 筛选抽样法 ：
其SAS程序如下： data ex3;
seed=789; do I=1 to 100;
r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); if r1<=r2**3 then do; x=r2; output; end; end; run;
本章目录 32
随机数的产生与模拟
本章目录 15
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
由均匀分布随机数产生非均匀分布随机 数的主要方法有：逆变换法，合成法和 筛选法。
本章目录 16
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
1 逆变换法：
对任意分布函数 F (x) ,要产生服从该分布 的随机数，由定理知其抽样步骤为： （1）由U(0,1) 抽取 R ; （2） 计算F1(R)
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其SAS抽样程序如下（假若产生100个随机数,）： data ex2;
seed=789;a=0.3; do I=1 to 100; r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed); if r1<=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end; else do; u=ranuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end; output; end; run;
X的抽样可如下进行：
1由 U(0,1) 抽取 R，由h( y)抽取 y 2如果Rg(y) ，则 xy ;否则，转1
则X的密度函数为 p(x)
本章目录 28
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ： 例3
设 p(x)4x3 ，0x1 试用筛选法抽取其随机数。
本章目录 29
随机数的产生与模拟
本章目录 26
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
假设我们要从 p(x) 抽样，如果可将 p(x) 表示成 p (x)ch (x)g(x)，其中 h() 是一个密度函数
且易于抽样，而 0g(x)1，c 1 是常数，
本章目录 27
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
2 用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
3 令xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 nn1 ;
4 重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数
3.3.1.2平均值估计法
3.3.1.3重要抽样法
3.3.1.4分层抽样法
3.3.2 计算多重积分
3.3.2.1 随机投点法
3.3.2.2 平均值估计法
3.3.3应用实例
§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用
§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用
作业 思考题
返回 1
随机数的产生与模拟
初值x 0
n1,2,...
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随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生：
当 c 0，上式称为混合同余发生器，当 c0 时，称为乘同余发生器，此时当模为素数 时，称它为素数模乘同余发生器。
本章目录 8
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
两个常用的混合式发生器：
xn
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
例2
试设用0合成a法1产时生梯其形随分机布数的。密度函数为，p(x)a0, 2(1a)x,x 其 [0,1他 ]
本章目录 23
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
解：首先将p(x) 进行分解,即 p (x ) a1 (x p ) (1 a )p 2 (x )， 其中
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随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
（1）随机投点法
① 赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试
验的总次数N;
② 产生两个相互独立的均匀随机数 ,~U(0,1)
置n=n+1;
③ 判断n≤N是否成立,若成立转④,否则停止试验,
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
解：因为：p(x)41x3 ，即：c4,h(x)1,g(x)x3 则抽样框图如下：
本章目录 30
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
3 筛选抽样法 ：
独立产生 r1,r2~U(0,1)
N
r1 r23
Y
令生与模拟
2非均匀随机数的产生
第三章 随机数的产生与模拟目录
随机数的产生与模拟
§3.1均匀随机数的产生
3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式
3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）
3.1.3组合发生器
§3.2非均匀随机数的产生
§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
3.3.1计算定积分
3.3.1.1随机投点法
本章目录 20
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
其想法是：如果X的密度p( x) 难于抽样，而X关于Y的 条件密度 p(x| y)以及Y的密度函数g( y) 均易于抽样， 则X的随机数可如下产生：
由Y的密度g( y)抽取y 由条件密度 p(x| y)抽取x 则X服从 p(x)
本章目录 21
x0 235 31
n1,2,...
本章目录 10
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
ai xn1 (mod231 1) rn xn (231 1)
x0 231 1
(i1,2,3,4)
a1 16807
a2 397204094
a3 764261123
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法（即随机模拟方法） 求解实际问题的基本步骤包括： 1 建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 2 改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需 要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高 计算效率。 3 模拟试验 4 求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近 似解。
(51
x5 n1
1)(mod235)
rn xn 235
x0 235
n1,2,...
xn
(31415x9n126495380)6(m 242o35d1) rn xn231 x0 231
本章目录 9
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
常用的素数模乘同余发生器 ：
xn
3125xn1(mod235 31) rn xn (235 31)
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
本章目录 14
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k个随机数，一般取
k
128。这
k
个
随机数被顺序地存放在矢量T(t1,t2, ,tk)中。置 n 1 ;
③
令 2=
1 N
N i1 f (ri )
,则
2
为积分值
I
的近似解.
本章目录 36
随机数的产生与模拟
3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
计算定积分
I
1
0 f
(x)dx
(3)重要抽样法
重要抽样法的计算步骤为：
① 产生均匀随机数 r i (i1,2,..N.)
② 用直接抽样法产生 g(x)随机数,即由 r i 计算 x i
n1,2,...
a4 630360016
本章目录 11
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
反馈位移寄存器法（FSR） ： k (c pk p c p 1k p 1 c 1k 1 )(m 2 ) od
对寄存器中的二进制数码 k 作递推运算，其中 p是给定的正整数，
cp 1 ,c i 0 o1 (ir 1 ,2 ,.p . .1 ) , 为给定的常数。
本章目录 17
随机数的产生与模拟