金属的Drude模型
Drude模型简介
Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。
传导电子的来源：价电子与芯电子。
Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。
Drude模型
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率的关系
不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率的关系金是一种具有优异导电性能的金属，然而它仍然具有一定的介电性质。
介电常数是介质在电场作用下对电磁波传播的响应能力的一种度量。
而金的介电常数受到电导率的影响。
在不同的电导率下，金的介电常数实部和虚部与频率之间存在着一定的关系。
在频率较低的情况下，金属的电流是经典自由电流（Drude模型中的自由电子）的效应，电流的输运是由于载流子的受到电场的加速和碰撞所致。
在这种情况下，金的电导率很高，介电常数的实部也相对较大。
然而，随着频率的增加，金的电导率会逐渐下降。
这是因为在高频情况下，电子的碰撞作用变得很弱，而电场的作用会更强烈地加速电子。
根据Drude模型的描述，电子受到强电场的加速后，会向金属中的晶格离子散射，同时也会受到晶格振动散射的影响。
由于这些散射的存在，电子的运动速度受到阻碍，电导率减小。
在高频情况下，金的电导率变得相对较低，同时金的介电常数的实部也会随之减小。
这是因为在高频下，电子的运动速度非常快，它们通过与晶格振动相互作用进行散射的时间变得更短。
因此，电子无法够完全跟随外电场的变化而移动，从而导致了电导率的减小。
此外，金的介电常数还具有虚部。
虚部与金的电导率有关，它描述了材料对电磁波的吸收和能量损耗的能力。
在低频情况下，金的电导率很高，因此其虚部相对较小。
而在高频情况下，电导率减小，金的虚部则变大，表明金对高频电磁波的吸收能力增强。
需要注意的是，以上讨论都是基于经典的Drude模型来描述的，而金的实际行为可能会受到一些其他因素的影响。
例如，量子效应和相对论性效应等。
因此，在具体研究金的介电性质时，可能需要使用更复杂的理论模型来描述金的行为。
综上所述，不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率之间存在一定的关系。
在低频情况下，金的电导率较高，介电常数的实部也相对较大；而在高频情况下，金的电导率减小，介电常数的实部也相对减小，同时虚部增大，显示出金对高频电磁波的吸收能力增强的特性。
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
2.金属自由电子气的Drude模型
7
2、模型的基本假定及其合理性
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
8
当时的物理？
• 1897年Thomsom的电子论
* 电子的发现是固体物理学发展的一个转折点 * Drude（1863——1906）意识到金属的导电（热） 性质可能与电子有关，当然也可以质疑这种猜测 电子对导热有贡献有何根据？仅仅因为好的导体 也是良好的导热体？
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
15
Drude(自由电子气)模型的基本假定
1. 独立电子近似：电子与电子无相互作用
* 既没有库仑作用，也不碰撞，与理想气体不同！
2. 自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离 子无相互作用
* 离子实完全摸平，均匀分布在整个空间，只起维 持系统的电中性。只有为防止电子被外电场无限 加速而设的碰撞作用
3. 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受 一次碰撞的几率为1/τ
• 延展性、可塑性？
* 与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关 结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?) † 金属键——形象地说，价电子形成负电背 景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合 金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?) † 配位数——形象地说，就是原子周围最靠近 该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及） * 这些性质都说明，价电子活动空间很大
金属的电子论 6-1
经典理论的局限性
★金属中存在着电子，根据自由电子论，
金属的电导率电子密度n，
但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）? ★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；
第六章
金属电子论
第一讲
费米统计和电子热容量；
功函数和接触电势。
1
金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极 好的导电体和导热体(Electrical and heat conductors)， 有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的 解释极大地推动了现代固体物理的发展。 实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处 在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的 提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半 导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发 展出整个电子工业的理论基础.
11
2. T＝0 K 时电子的分布
T＝0 K 时，电子的分布函数为 f(E) =
EF
0
f(E) T＝0 1
{0
kF 2m
2 2
1
E EF0 E > EF0
0
—— 费米能
0
EF0
E
kF
2mEF
2
—— 费米半径
PF k F m V F —— 费米动量
12
vF
kF m
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion)应服 从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell统计。 Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数为：
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极
小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态
的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极
大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度
是常数，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，
费米分布函数可表示为：
f
(εi )
=
1 e(εi −µ ) kBT
+1
上 式 直 接 给 出 了 体 系 在 热 平 衡 态 (温 度 为 T)时 ，能 量 为 εi 的 单 电 子 本 征 态 被 一
个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分
布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数。
∵εF =
2kF 2 2m
,
kF 3
=
3π
2n
2
2
( ) ∴εF
= 2m
3π 2n
3
( ) 1.0557 ×10−34 2
2
( ) ∴ε F = 2 × 9.11×10−31 × 3× 3.142 ×8.48×1028 3 = 1.13×10−18 J = 7.06eV
金属电子气的Drude模型
Drude模型在半导体物理中的应用
半导体载流子运动
Drude模型在半导体物理中用于描述半导体中载流子的运动行为。通过该模型， 可以研究半导体中电子和空穴的迁移率、扩散系数等性质，从而深入了解半导 体的光电、热电等效应。
半导体器件性能
Drude模型在半导体器件性能分析中也有重要应用，如晶体管、太阳能电池等。 通过该模型，可以研究器件中载流子的传输、注入、收集等过程，为优化器件 性能提供理论支持。ຫໍສະໝຸດ HANKS FOR WATCHING
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04
Drude模型的局限性
Drude模型的近似性
Drude模型假设电子在金属中以无相 互作用的粒子形式运动，忽略了电子 间的相互作用。
在实际金属中，电子间存在相互作用， 这会导致电子的运动受到散射，使得 电子的运动不满足Drude模型的假设。
Drude模型在高场下的不适用性
Drude模型在高电场下不适用，因为 高电场下电子的运动速度接近光速， 需要考虑相对论效应。
02
当电子气受到外部扰动时，阻尼系数决定了电子气 的响应速度和振幅衰减。
03
阻尼系数的大小与金属的微观结构和温度有关，是 金属导电性能的重要参数。
电子气的弛豫时间
01 弛豫时间表示电子气达到热平衡状态所需的时间。 02 在Drude模型中，弛豫时间反映了电子气内部相
互作用的过程。
03 弛豫时间的长短决定了金属的电导和热导等物理 性质随时间的变化规律。
述这些效应。
发展Drude模型的量子版本
引入量子力学效应
在量子版本的Drude模型中，考 虑量子力学效应对金属电子气行 为的影响，如能级量子化、波函 数等。
考虑量子相干性
在低温下，金属电子气可能表现 出量子相干性，需要发展量子版 本的Drude模型来描述这种行为。
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(1.2.10)
其中，为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径， a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
§1 金属的Drude模型
• 金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材 料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热 导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的 发端。 • 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据 气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的 电子看到由电子组成的理想气体。 • 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
上式中F(t)是电子所受的外力。
(1.2.2)
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/，它们受到碰撞后无规取向（动量 无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡 献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于
(dt / ) F (t ) dt
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍 将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：
1 V 4 3 rs n N 3
定义电子占据体积的等效球半径：
3 rs 4n
1/ 3
rs的典型值Å。
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假 定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联 （电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）
Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。
2. 金属的直流电导
1) 电导率
欧姆定律（Ohm’s law）： V I R 欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
我们有： (1.5.4) (1.5.5)
3 kB T 2 e
2
(1.5.6)
传导电子 conduction electron
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm
Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型和凝胶模型 1）传导电子和芯电子 凝胶模型 （Jellium model）
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合 体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金 属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场 中运动，相对势能为零。
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
(1.2.2)式在一级近似下为
dt p(t dt ) p(t ) F (t )dt P(t )
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t ) P(t ) F (t ) dt
d d ( t ) d (t ) m F (t ) m dt
则 l =1 nm
Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
J Q T
(1.5.1)
此即Fourier’s Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度梯 度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率可 以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套用 理想气体热导率公式得：
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/ 通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。 这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞， 电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动， （如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自 由运动时间后再一次受到碰撞。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm
Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
芯电子(core electrons)
1 1 CV CV 2 3 3
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。
计算比值：
1 cV m 2 3 ne2
(1.5.3)
应用经典统计的结果：
3 cV nkB 2 1 3 2 m k BT 2 2
J E
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？ 按照Drude模型分析： 假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
dt p(t dt) 1 [ p(t ) F (t )dt]
3) Drude模型的假设
（1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子——电子之间的相互作用
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
2) 传导电子密度 （电子密度） 传导电子密度 n：单位体积的传导电子数 原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
Z m Z m 23 n N0 6.022 10 A A
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d (1.2.5)
碰撞的作用，相当于一个阻尼项
d d (t ) 对于恒定外电场的稳态情况， 0, F eE dt (1.2.5)式为： eE d (1.2.6) m
相应地：
ne2 J ne d E m J E ne2 m
(1.2.7)
(1.2.8)
2）金属中电子的弛豫时间
m m 2 ne ne2
(1.2.9)
在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻 值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：
0.22 rs ห้องสมุดไป่ตู้14 10 sec . a 0