空中飞行器无源定位讲解

评分专用页编号：学员评阅记录：教员评阅记录：空中飞行器无源定位摘 要目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。

在现有的导航与制导技术中，卫星定位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。

本文研究了利用同步卫星确定空中飞行器的位置参数及如何提高定位精度及定位效率的优化选择问题。

针对问题一，根据测向阵列方向和地球同步卫星夹角与飞行器位置的关系，建立了基于最小二乘法的测量、计算误差平方和目标函数模型，运用最小二乘法去逼近真实参数，当目标函数最小时，所得数据为最接近真实参数的数据。

在此基础上，构造了以余弦夹角法分析的聚类模型，剔除误差较大的数据，以剩余数据为有效解，得到了更加接近真实参数的数据，是模型进一步得到优化。

针对问题二，运用问题一构建的数学模型，求得五个不同时刻飞行器的位置坐标，接着采用最小二乘法曲线拟合的方法拟合出x 值、y 值、z 值与时间t 的函数关系并计算其拟合曲线的皮尔逊相关系数，验证拟合曲线可靠性，进而解得70t s =时飞行器的空间位置坐标。

然后将不同时刻的拟合值与计算所得值之间的空间距离作为原始非负时间序列，建立(1,1)GM 模型，对距离进行灰色预测，得到其距离误差的预测值，最后得出70t s =时飞行器的距离误差值作为其预测的可靠度。

针对问题三，本文以几何精度因子GDOP 作为卫星分布对定位精度影响的指标。

通过分析卫星数目GDOP 的影响,得到了GDOP 随卫星数目增加单调递减,但递减幅度逐渐变小的变化规律。

综合考虑卫星定位精度和定位效率认为6星组合方案最为适宜。

计算所有的6星组合方案，找出其中GDOP 最小的卫星组合作为最终的优选方案。

在测量角度存在0.1︒误差限的情况下，我们对附表中的数据采用加入方差为0.1︒正态分布的方法，然后进行500次仿真实验，观察加入方向误差后产生的定位误差。

统计定位误差，发现加入噪声后有80%的定位结果误差在250km 以内，即定位精度可以认为250km 。

在本文的最后，针对每个问题对其结果进行了分析、对每个问题解决方法的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方案。

本文的特色在于运用灰色预测模型对飞行器位置的定位距离误差进行科学的分析，将误差的变化考虑进模型，进而提高了预测的精度。

关键词：无源定位 最小二乘法 灰色模型 几何精度因子1 问题的重述目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。

在现有的导航与制导技术中，卫星定位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。

目前，较为成熟的卫星导航系统有GPS系统、Galileo系统等。

卫星定位的基本原理是目标接收机通过接收多颗卫星的信号测量出目标距各卫星的距离（伪距），再通过一定的计算确定出目标的位置。

对于空中飞行器，在其飞行过程中很容易接收到太空卫星的信号。

现在考虑通过测量飞行器与地球同步卫星的方向角来实现空中飞行器的自定位。

在球心坐标系下，空中飞行器P 的空间坐标记为，不妨设它同时能接收到N 颗同步卫星的信号，其N 颗同步卫星的空间坐标分别记为。

为了方便检测与同步卫星的方向角，在空中飞行器上固定安装了两个相互垂直的测向阵列，它们的指向分别为和。

地球同步卫星与空中飞行器P的位置关系示意图如图所示，，分别表示空中飞行器P的测向阵列方向，与地球同步卫星的夹角。

现在请你们建立数学模型研究解决下面的问题：（1）通过测量空中飞行器测向阵列方向和与多颗地球同步卫星的夹角和，建立空中飞行器定位的数学模型；对于附表1所给出的9颗同步卫星的数据，试确定空中飞行器P的位置参数。

（2）在某些特殊情况下，空中飞行器能直接检测到的同步卫星数量较少，可以利用空中飞行器在匀速飞行过程中多次检测的结果来实现定位。

针对这种情况，试建立空中飞行器定位的数学模型；对附表2中给出的3颗同步卫星的检测数据，确定空中飞行器P在第70秒时的位置参数，并分析其可靠性。

（3）当可用同步卫星数量较多时，为了提高定位精度和定位效率，需要对可用的同步卫星进行一定的优选。

试研究具体的优选策略，并通过仿真，分析在检测方向角误差限为0.1°时空中飞行器的定位方法和精度。

2 模型的假设（1）假设附表中所有的数据都是真实可靠的；（2）假设飞行器是一个质点，不考虑飞机的飞行姿态；（3）卫星信号强度都足够的强；（4）不考虑地球的实际曲率变化，认为地球是一个均匀球体。

（5）卫星环绕运动以地心为中心的圆；（6）固定在飞行器上的两个垂直测向阵列为单位向量；3 符号说明与测向阵列的夹角与测向阵列的夹角4 问题一模型的建立与求解4.1问题一的分析同步卫星处于地球赤道平面上，围绕地球自转轴旋转，并且相对地球上一点静止，因此可建立以地心为原点的三维坐标系，卫星位置参数可确定。

分析测向阵列方向和地球同步卫星夹角与飞行器位置的关系，2个测向阵列以及飞行器位置参数属于未知参数，即至少需要9个包含上述参数的方程才能确定一个飞行器位置参数以及2个测向阵列。

由于方向角以及测向阵列存在误差，故可求得多组未知参数解，因此，精度难以满足实际需求。

因此，利用方向角测量、计算误差，以及飞行器高度为约束条件，得到使得计算误差平方和最小的目标函数，将9颗卫星同时代入关系式，利用最小二乘法，当目标函数最小时，可得到最逼近真实参数的参数解。

在上述方法考虑了所有飞行器参数解，即所有解都为有效解，并对最终结果产生影响。

因此可进一步优化，可考虑按夹角余弦法聚类，将相近的参数解聚成一类，将个体或者数量明显较少的类别剔除，剩下类别的参数解作为有效解，并以坐标均值求解最终参数解。

4.2基于最小二乘法的模型建立建立以地球中心为原点，以赤道平面为基本平面，轴在基本平面内由地心向外指向0 经线与赤道的交点，轴过地心且垂直基本平面，轴与，轴组成右手系的三维直角坐标系(见图 1 )：图 1 球心坐标系在此坐标系下，同步卫星的位置是(,,)(1,2,,9)X x y z i= ，飞行器的位置是i i i iP x y z，如图 2 所示：(,,)图 2 飞行器与卫星位置关系图建立同步卫星位置参数模型：γ地球同步卫星所处经度角）（i将附表一的数据代入求得同步卫星在坐标系中的位置参数如下：表 1 同步卫星的位置参数测向阵列方向矢量为1111(,,)x y z d d d d →和2222(,,)x y z d d d d →，矢量和、的夹角分别为、，则利用矢量点乘关系cos A B A B θ→→→→⋅=⋅利用一颗卫星可以得到如下非线性方程组：()1122cos 1,2,,9cos i i i i PX d PX d i PX d PX d θβ→→→→→→→→⎧⋅=⋅⎪⎪=⎨⎪⋅=⋅⎪⎩由于两个测向阵列本身相互垂直且模为1，但考虑到测量、计算过程中存在误差，因此可得1212d d d d δ→→⋅=111d d δ→-=221d d δ→-=式中，12d d δ、1d δ、2d δ分别为计算误差。

由上面的分析可知，方向角测量、计算等过程中误差，故可得1122cos cos i ii i i i PX d PX d PX d PX d αβθδβδ→→→→→→→→⎧⋅-⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩1d δ、2d δ为计算误差,联立9颗卫星和测向阵列关系，建立21个方程组，使之满足如下函数优化问题：1212322222min 1()d d d d iii f αβδδδδδ==++++∑222226367x y z R ++>=式中为地球半径，表示飞行器到地球质心的距离大于地球半径，利用最小二乘法就可以求解出飞行器位置(,,)P x y z ，测向阵列1111(,,)x y z d d d d →和2222(,,)x y z d d d d →这9个未知参数，此时，所得解处于最逼近满足21个方程组的情况。

4.3基于聚类分析的模型优化由于存在9个未知参数，因此需要9个方程组才能解出，观察关系式可知，3颗卫星反馈的的信号，利用最小二乘法，即能确定飞行器的最佳位置参数。

因为实际过程中存在测向阵列和地球同步卫星夹角的测量误差，故极大可能存在每次选取3颗卫星所确定的飞行器位置参数是不同的，根据9颗卫星可得5984C =个飞行器位置参数，对84个参数解按夹角余弦法聚类，将数据进行标准化处理841184i i x x ==∑，841184i i y y ==∑，841184i i z z ==∑1s =2s =3s ='1i x x x s -=，'2i y y y s -=，'3i z zz s -=因此，可以得到标准化的飞行器位置参数'i P （'i x ，'i y ，'i z ），故其与地心远点构成的向量'i OP →，设论域'''1284{,,,}S OP OP OP →→→= ，'i OP →的观测值为'''123(,,)i i i i e OP OP OP →→→=，即数据矩阵'()ij n m A OP →⨯=利用夹角余弦法，可得相似系数：,1,2,,84)ij r i j ==根据(,)i j ij R e e r =构造模糊相似矩阵R ，在矩阵R 为基础，用平方法求出R 的传递包闭()t R ，模糊等价矩阵R *即等于()t R 。

然后，由大到小取一组[]0,1λ∈，确定相应的λ截矩阵，可以进行分类。

根据分类结果，剔除个体解或数目较少的类，将其视作测量、计算误差较大引起偏离真实位置的情况，利用所剩下的参数解，求得其坐标均值，该坐标值与真实位置参数基本吻合1mii xx m==∑，1mii yy m==∑，1mii zz m==∑其中m 为剩余参数解个数。

然后代入利用测向阵列和地球同步卫星夹角得出的矢量关系式，求解出测向阵列1111(,,)x y z d d d d →和2222(,,)x y z d d d d →。

4.4模型的求解利用基于最小二乘法建立的模型，将9颗卫星数据同时带进方程组，利用MATLAB 求解出飞行器的位置为 (,,)(5202.27,6604.13,3129.29)P x y z =- ()km ,测向阵列1(0.707059,0.70716,0.00019)d →-和2(0.70715,0.707062,0.00087)d →--。

4.5模型的结果评价基于最小二乘法的求解模型，求解出比较接近真实参数的数据，充分利用所有卫星提供的参数，全面考虑测量、计算存在的误差，方法简明易懂，结果较为合理；再进一步优化的以夹角余弦法为基础的聚类分析模型，筛选出明显误差的数据并剔除，在此基础上求解，使结果更加合理，符合实际。

5 问题二模型的建立与求解5.1问题二的分析由问题一分析可知，三个卫星就可以确定飞行器的位置，但精度存在问题。