复变函数3-1(A)
复变函数总结完整版
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
复变函数论第三版PPT课件
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
复变函数课件第一章1-3节
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=??z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则∑1= （）(z k-z k-1)有可设?k=z k，则∑2= （）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（）=(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ（）=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
《复变函数》第3章
§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i
2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
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复变函数1-3
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
16
i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
1-3复变函数
和函数 w = u + iv ( w = ρ e iϕ )
第二步：根据映射， 第二步：根据映射，找 出 u, v与 x , y的关系
第三步： 的关系， 的关系式， 第三步：根据 x , y的关系，定 u , v的关系式， 即可得到像的图形。 即可得到像的图形。
15
三、函数的极限
1.函数极限的定义 函数极限的定义: 函数极限的定义
w = z →
2
v o
4
−2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
10
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 < θ < , 0 < r < 2. 4 解 设 z = re iθ , w = ρe iϕ , 则 ρ = r 2 , ϕ = 2θ ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
18
Re( z ) 当 z → 0 时的极限 例3 证明函数 f ( z ) = z 不存在.
u v + = 1. 关系式： 即得 u, v 关系式： 2 2 5 3 2 2 表示 w 平面上的椭圆 .
14
2 2
总结， 总结，求 z 平面上的图形在某映射 平面上的像集： 在 w 平面上的像集：
第一步： 第一步：先设出自变量
下,
z = x + iy ( z = re iθ ),
设函数 w = f ( z ) 定义在 z0 的去心邻域 0 < z − z0 < ρ 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应地必有一正数 δ (ε ) 使得当 0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )时, 有 f ( z ) − A < ε 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 .
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
复变函数课件第3章基本定理的推广复合闭路定理
辅助函数定义
为了简化证明过程，引入一个与 被证明的函数有关的辅助函数。 辅助函数通常具有一些特殊的性 质，如易于计算或具有已知的积 分值。
辅助函数的性质
描述辅助函数的基本性质，如连 续性、可积性等。这些性质将在 后续的证明步骤中起到关键作用。
辅助函数的构造方
法
介绍如何根据被证明的函数构造 合适的辅助函数，以及这种构造 方法的理论依据。
利用高维微分几何和复分析的知识进行证 明。
05
复合闭路定理的应用举例
应用举例一：求解复积分
总结词
利用复合闭路定理，可以将复杂的复积分问题转化为一系列简单路径上的积分问 题，从而简化计算。
详细描述
在求解复积分时，我们常常遇到积分路径复杂或难以直接计算的情况。复合闭路 定理为我们提供了一种有效的工具，通过将积分路径分解为一系列简单路径，我 们可以将复杂问题转化为简单问题，从而方便地求解复积分。
证明
利用柯西定理和多连通域的性质进行证明。
推广形式二：更一般的边界条件
总结词
更一般的边界条件下的复合闭路定理
详细描述
当函数的边界条件不再是解析时，复合闭路定理仍然可以 推广。例如，当函数在边界上满足某种导数条件时，可以 通过积分公式进行推广。
公式
如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 上满足一定的导数条件，则复合 闭路定理仍然成立。
多连通域的复合闭路定理
详细描述
当函数定义在多连通域上时，复合闭路定理依然成立。在多连通域中， 函数沿着闭路的积分可以通过减去所有边界上的积分来计算。
公式
如果 $f(z)$ 在多连通域 $D$ 上解析，且 $gamma$ 是 $D$ 内的闭 路，则 $int_{gamma} f(z) dz = 0$。
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于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t ) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt ,
y
i
C
Re zdz tdt 1 idt
0 0
1
1
1 i
y x2
1 i. 2
o
1
x
20
9
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 ( k , k ) 的取法如何, 下式两端极限存在 ,
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
例4 计算 z dz , 其中 C 为 : 圆周 z 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π ),
2π 0
dz 2ie d
i
C
z dz 2 2ie i d ( 因为 z 2 )
4i (cos i sin )d
0
2π
如果 f ( z ) 是连续函数而C 是光滑曲线时, 积分 f ( z )dz 一定存在.
C
证 设光滑曲线C由参数方程给出 z z ( t ) x( t ) i y( t ), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
7
并且 z( t ) 0, t , 如果 f ( z ) u( x , y ) i v( x , y ) 在 D 内处处连续, 那么 u( x , y ) 和 v( x , y ) 在 D 内均为连续函数 ,
令
于是 从而
z a e , dz ie i d
2 dz C z a 0 id 2 i .
i
24
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f ( z )dz
C C C
f ( z )dz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
设 k k ik , 因为 zk zk zk 1 xk iyk ( xk 1 iyk 1 )
( xk xk 1 ) i ( yk yk 1 ) xk iyk ,
8
所以
f ( k ) zk
k 1 n k 1
25
(4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
23
（P42例2） 设C是一个圆 | z a | , 其中 是一复数， 是一正数，
那么按反时针方向所取的积分
dz C z a 2 i .
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
估 值 (4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 不 等 f ( z ) M , 那末 f ( z )dz f ( z ) ds ML. 式 C C
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
{u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )]}{ x( t ) iy( t )}dt
f [ z( t )]z( t )dt .
0.
21
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 例5 求 C ( z z ) n1 0 y 径的正向圆周 , n 为整数.
z
解
积分路径的参数方程为
0 z
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
x
C
2π 1 ire i n 1 dz 0 n1 i ( n1) d ( z z0 ) r e i 2π in n e d , r 0
1 k n
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分, 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
n
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
第一节 复变函数积分的概念
一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
四、小结与思考
一、积分的定义
1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
y
B
那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .
o
A
x
2
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义:
y
简单闭曲线C的正向 P 是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线 o 的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
2 2
1
1
( 3 4i ) 2 . 2
又因为
C zdz C ( x iy )(dx idy )
16
C zdz C xdx ydy i C ydx xdy
这两个积分都与路线C 无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 曲线,
( 3 4i ) 2 C zdz 2 .
C2 Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是分段光滑的.
13
例（ 1 P42） 设C是连接z0及Z两点的简单曲线，那么
证明：
lim
C
dz Z z0 .
n k 1
(1)
f ( z ) 1, Sn ( zk zk 1 ) Z z0 ,
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
10
公式
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
在形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
P P P
x
3
2.积分的定义:
设函数w f ( z )定义在区域D内，C为区域 D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线， 把曲线C 任意分成n个弧段，设分点为
A z0 , z1 , , z k 1 , z k , , zn B ,
y
在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2,, n) 上任意取一点 k ,
17
例3 计算
C
Re zdz , 其中 C 为:
(1)从原点到点 1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点 1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t ) t it (0 t 1),
max| zk |0
Sn Z z0
我们就得到(1)式.
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1 2 2 zdz ( Z z (2) 0) C 2 证明： f ( z ) z , 选 k zk 1 , 则得
z
1 k 1 n
n
k 1
( z k z k 1 )
则得
但我们又可选
2 k 1
C Re zdz 0 t (1 2it )dt
t 2i 3 1 2 2 3t 2 3 i; 0
2 1
i
1
y
1 i
y x2
o
1
x
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(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) t (0 t 1),
n
[u( k , k ) i v ( k , k )]( xk iyk )
[u( k ,k )xk v ( k ,k )yk ]
k 1
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
n
由于 u, v 都是连续函数, 根据线积分的存在定理,
k zk ,
k k
z ( z
z k 1 )
由于f ( z ) z沿C 连续，可知
zdz存在，因而Sn的极限存在，且相应与 1及 2 C 1 的极限相等，从而应与 ( 1 2 )的极限相等， 2 n 1 2 1 1 2 2 2 ) 而 ( 1 2 ) ( z k z k 1 ) ( Z z0 2 2 2 k 1
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例2 计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段.
C
x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,