复变函数与积分变换A综合练习二

复变函数综合测试题（二）
一、填空题
1、设b a z a z =++−||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。

2、设6
cos
6
sin
π
π
i z −−=，则z 的三角表示式为__________________。

3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。

4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C。

5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。

6、函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为__________。

7、函数)6(sin 6)(633−+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。

8、设a 为函数)
()
()(z z z f ψϕ=
的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψϕ，则_________
__________)(Re ==z f s a
z 9、设1
()sin f z z
=
，则)(z f 的定义域为__________。

10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A
z f z z =→)(lim 0
的充要条件是___________________________。

二、选择题
1、函数()f z z =在z 平面上（）
A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对
2、下列点集哪些是区域（）
A．Im Re(1)
z i >+B．0arg 4
z π
<≤
C．1Im 2
z <<D．Im 3z =3、下列结论正确的是
（
）
A．若()f z 在0z 解析，则00Re [(),]()
s f z z f z =B．若0z 是()f z 的n 级极点，则01
01
1Re [(),]lim ()
(1)!n n z z d s f z z f z n dz −−→=−C．若0z 是()f z 的可去奇点，则0
0Re [(),]lim ()
z z s f z z f z →=D．若(),()P z Q z 在0z 解析，且000()0,()0,'()0P z Q z Q z ≠=≠，则
000()()
Re [,]()'()P z P z s z Q z Q z =4、2
()(1)
z z
f z e =−以0z =为（）A．可去奇点B．本性奇点C．一阶极点D．二阶极点
5、变换1i z i
w e i z
θ−=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（
）
A．上半平面Im 0z >B．下半平面Im 0z <C．1w <D．1
w >三、判断题
1、若}{n z 收敛，则{Re }n z 与} {Im n z 都收敛。

(
)
2、若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件。

（）
3、如z 0是函数()f z 的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在。

(
)
4、在复数范围内，31z =的充要条件是1z =。

（）
5、函数()f z 在0z 的某邻域内可展成幂级数的充要条件是()f z 在0z 的某邻域内连续且在此邻域内沿任一简单闭曲线的积分为零。

（）
四、计算题1、计算下列各题。

(1)
)43(i Ln +−;
(2)16
i e
π−+
;(3)
i
i +−1)1(2、计算积分。

(1)∫+C
dz iy x
)(2
，其中C 是沿2x y =由原点到点i z +=1的曲线。

(2)
∫
++−i
dz ix y x 10
2])[(。

积分路径为自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向
3、求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。

（1）z 2
tan ；
（2）1
1
1−−z z e e。

4、试将函数)
2)(1(1
)(−−=z z z f 分别在圆环域1||0<<z 和2||1<<z 内展开为洛朗
级数。

5、求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{:||1,Im 0}z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{:||1}w w <。

五、证明题
1、方程0169367=−++z z z 在单位圆内的根的个数为6。

2、设()f z 在闭圆域1z ≤上解析，且在圆域1z <内，恒有1()
1f d z
ζζζζ==−∫，证明：在闭圆域1z ≤上，()f z c ≡，且12i c e θ
π
=
⋅，θ为实常数。