简明电路分析电子教案-第十三章

返 回
13.1
非正弦周期信号
生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电 路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1)
不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t ) f (t nT )
返 回 上 页 下 页
例1 半波整流电路的输出信号
1 I1m 20μA 5
返 回
上 页
下 页
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5μA is1 100 sin 106 t μA
100 100 6 6 sin 5 10 t μA is 3 sin 3 10 t μA is 5 5 3 （2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS 0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
u
U 0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
返 回
上 页
下 页
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 6 1kΩ 12 1C 10 1000 10
返 回
上 页
下 页
1 T d(t ) I 0 I 0 I km coskt k T k 1 1 T 2 2 0 I 0 dt I 0 T 1 T 2 2 2 0 I km cos (k1t k )dt I k T 1 T 0 2I 0 cos(kt k )dt 0 T 1 T 0 2I km cos(kt k ) I qm cos(qt q )dt 0 T k q

2π
0
sin ktd(t ) π
2

2π
0
cos ktd(t ) π
2
返 回
上 页
下 页
③三角函数的正交性

2π
0 2π 0 2π 0
cos kt sin ptd(t ) 0 cos kt cos ptd (t ) 0 sin kt sin ptd(t ) 0
例2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
返 回
上 页
下 页
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t
T
返 回
上 页
下 页
例4 交直流共存电路
+V
Es
返 回
上 页
下 页
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
若周期函数满足狄利赫利条件：
①周期函数极值点的数目为有限个；
②间断点的数目为有限个； ③在一个周期内绝对可积，即：
0 K为偶数 Im 1 2I π ( cos kt ) 0 m π k kπ K为奇数
返 回
上 页
下 页
2 2π ak 0 iS (t ) cos ktd(t ) π 2I m 1 π sin kt 0 0 π k
2I m Ak b a bK kπ
2 k 2 k
（k为奇数）
is 的展开式为：
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 π 3 5
返 回
上 页
下 页
周期性方波波形分解 直流分量
t
三次谐波 五次谐波
基波
t
七次谐波
t
返 回 上 页 下 页
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
Anm cos( n1t n )
k 1
高次谐波
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
返 回 上 页 下 页
Akm cos( k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
也可表示成：
f (t ) a0 [ak cosk1t bk sin k1t ]
第13章
非正弦周期电流电路 和信号的频谱
本章重点
非正弦周期信号
13.1
13.2 13.3 13.4 13.5
周期函数分解为傅里叶级数
有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流电路的计算
对称三相电路中的高次谐波 首页
重点 1. 周期函数分解为傅里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
返 回
上 页
下 页
P U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
返 回
上 页
下 页
13.4
非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号；
②对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流 各谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、 L 相于短路。） ③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
t
T/2 T 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
I m iS (t ) 0
T 0t 2 T t T 2
1 T 1 T /2 Im 直流分量： I O 0 iS (t ) dt T 0 I mdt 2 T 1 2π 谐波分量： bK iS (t ) sin ktd ( t ) π 0
返 回 上 页 下 页
100 6 (c)三次谐波作用 is 3 sin 3 10 t μA 3 1 1 0.33k i 6 12 S3 31C 3 10 1000 10
R C L
31 L 3 10 10 3kΩ
6 3
u
( R jXL 3)( jXC 3) 0 Z (31 ) 374.5 89.19 R j( XL 3 XC 3)
三次谐波
返 回 上 页 下 页
等效电源
iS
Im
IS0
t
is1
is 3 is 5
T/2
T
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 π 3 5
IS0
is1
is3
is5
返 回 上 页 下 页
iS
Im
Akm
t
矩形波的 幅度频谱
31 51 71 I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 π 3 5 k ~ k1
10 6 U 3 I S 3 Z (31 ) 33.3 374.5 89.190 2 12.47 89.20 mV 2
返 回 上 页 下 页
100 6 (d)五次谐波作用 is 5 sin 5 10 t μA 5
1 0.2k 6 12 51C 5 10 1000 10 51 L 5 10 6 10 3 5kΩ 1
T f (t ) f (t ) 2
a2 k b2 k 0
o
T/2
返 回
T
上 页
t
下 页
周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
Akm ~ k1 的图形
o 相位频谱
1
31 51 71
kω1
k ~ k1 的图形
返 回 上 页 下 页
例1 周期性方波信号的分解
Im
o 解
iS
k 1

其直流值为： 其平均值为：
1 I T

T
0
i (t )dt I 0
I av
1 T

T
0
i (t ) dt
正弦量的平均值为：
1 T I av 0 I m cost dt 0.898 I T
返 回 上 页 下 页
4.非正弦周期交流电路的平均功率
u (t ) U 0 U km cos(kt uk )

i (t ) I 0 I km cos(kt ik )
k 1
k 1
利用三角函数的正交性，得：
1 T P 0 u idt T
k 1
P U 0 I 0 U k I k cosk P0 P P2 ...... 1
(k uk ik )
返 回
上 页
下 页
2. 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157μA、 T 6.28μs
解
iS
C
R
u
L
(1) 方波信号的展开式为：
I m 2I m 1 iS (sin t sin 3t Im 2 π 3 1 sin 5t ) 0 T/2 T 5 代入已知数据： I m 157μA, T 6.28μs
o
T/2Biblioteka T1131 51 71
o -π/2
kω1
矩形波的 相位频谱
返 回 上 页 下 页
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。

2π
0
sin ktd(t ) 0

2π
0
cos ktd(t ) 0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
T

0
f (t ) dt
可展开成收敛的傅里叶级数 注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足 狄利赫利条件。
返 回 上 页 下 页
周期函数展开成傅里叶级数： 直流分量