2020年安徽省A10联盟高三(上)12月段考数学试卷(理科
安徽省皖江联盟2020届高三上学期12月联考试题 数学(理) Word版含答案
安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
第I 卷第1至第2页，第II 卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上答题无效。
．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
已知公式：台体体积公式121(3V S S h =++其中S 1，S 2，h 分别表示台体的上底面积，下底面积，高。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足(1－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的模等于C. D.2.已知全集为R ，集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A B ð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a ，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a ，b)上有最小值”是“存在x 0∈(a ，b)，满足f’(x 0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
安徽省皖江联盟2020届高三数学上学期12月联考试题文
安徽省皖江联盟2020届高三数学上学期12月联考试题文本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效。
．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足(1－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数z的模等于A.52.已知全集为R，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，12xB xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()UA Bð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a，b)上有最小值”是“存在x0∈(a，b)，满足f’(x0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。
2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学(理)(解析版)
2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学（理）一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
2020届校联盟(全国i卷)高三上学期12月教育教学质量监测考试数学(理)试题(解析版)
2020届校联盟（全国i 卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题一、单选题1．5273i i i --=+（ ） A ．17+5858i 1 B ．17+5858i 1- C ．175858i 1- D ．175858i 1-- 【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则先计算出52141735858i i i -=++，再减去i ，即可. 【详解】()()()()527352737373i i i i i i i i ----=-++-351514641111758585858i i i i i i +-++-=-=-= 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于容易题.2．已知集合{}2|8910M x x x =-+≤，{|N x y ==，则()R M C N ⋂=（ ）A ．[)1,+∞ B ．11,82⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】解不等式28910x x -+≤，确定集合1|18M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，解不等式210x -≥，确定集合1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，再将集合R C N 与集合M 求交集，即可. 【详解】依题意，()(){}1|8110|18M x x x x x ⎧⎫=--≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{1||2N x y x x ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，故()11,82R M C N ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭I . 故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于较易题.3．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a =,32120S =，则4a =（ ） A ．340-或8140B ．8140-或340C ．8140D ．340 【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式求出q 即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 依题意，231233332155520S a a a q q =++=++=， 解得32q =-或12q =，则3418140a a q ==-或340．故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.4．设向量m ，n 满足||2,m =u r ||3n =r ，现有如下命题：命题2:||p m n -u r r的值可能为9；命题:q “(2)m n m -⊥u r r u r”的充要条件为“1cos ,3m n 〈〉=u r r”；则下列命题中，真命题为（ ） A ．p B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝【答案】C【解析】首先判断命题p 与命题q 的真假，再由简单逻辑联接词连接命题的真假表即可判断. 【详解】依题意，|2|m n -u r r的最大值为8，即向量m ，n 共线反向时取得，故命题p 为假；(2)m n m -⊥u r r u r (2)0m n m ⇔-⋅=u r r u r 220m m n ⇔-⋅=⇔u r u r r4223cos ,0m n -⨯⨯⨯〈〉=⇔u r r 1cos ,3m n 〈〉=u r r ，故命题q 为真；故()p q ⌝∧为真． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断以及简单逻辑联接词联接命题的真假表，属于基础题.5．记抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =u u u u r u u u r，且2(2)N ，，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．【答案】B【解析】根据中点坐标公式求出点M ，代入抛物线方程求出p 即可求解. 【详解】因为MN NF =u u u u r u u u r，故点N 为线段MF 的中点； 因为(,0),(,22)2p F N ，则4,42p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22y px =中，得2(4)162pp -=，即28160p p -+=．解得4p =． 故抛物线C 的准线方程为2x =-． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线方程，需熟记抛物线的定义，属于基础题.6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4f π的值，排除B ，D ，即可.【详解】依题意，()()()3sin 2xx x f xe--+--=()3sin 2xx x f x e+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；3334273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e ef πππππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭，排除B ，D. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.7．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗“我有一壶酒携着游春走，遇店添一倍，开始逢友饮一斗，”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若入的x 的值为54，输出的x 值为9则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >【答案】B【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 与i 值，当9,6x i ==时退出循环，因此判断框可填入条件5i >. 【详解】运行该程序，第一次，532142x =⨯-=，2i =，第二次，32122x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，3i =，第三次，2213x =⨯-=，4i =，第四次，2315x =⨯-=，5i =，第五次，2519x =⨯-=，6i =，此时，需要输出x 的值，观察可知.故选：B【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程，判断程序运行的i 值是解题的关键.属于较易题.8．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ） A ．1118B ．718C ．512D ．712【答案】B【解析】由题意分类讨论三人各检测的数量分配，求出所以情况的数量，再求出满足甲检测2家商店的情况数量，根据古典概型概率的求法即可求解. 【详解】若3人检测的数量为2：2：2，则所有的情况为222342633390C C C A A ⋅=种， 若3人检测的数量为3：2：1，则所有的情况为32136313360C C C A ⋅=种，若3人检测的数量为4：1：1，则所有的情况为143362132290C C C A A ⋅=种， 故所有的情况为540种，其中满足甲检测2家商店的情况为90120210+=种， 故所求概率210754018P ==. 故选：B 【点睛】本题主要考了排列组合在实际中的应用以及古典概型概率的求法，属于基础题. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A D 的中点，点F 是线段1DD 上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G 故1//D G BF ，1//D G EH ，则//EH BF ，即异面直线CE ，BF 所成角的为CEH ∠，分别计算,,CH EH CE 长度，由余弦定理，求解即可.【详解】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G ，故1//D G BF ；1//D G EH ，所以//EH BF ，则CEH ∠即为直线CE ，BF 的所成角；不妨设6AD =，则97CH =，219EH =，9CE =，故519cos 5729219CEH ∠==⨯⨯.故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，解决此类问题的关键在于将异面直线的夹角通过平移转化为共面直线的夹角.属于中档题.10．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出1(1)3f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解. 【详解】因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)(31)3f f log m =-=--=, 解得43m =-． 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 引直线l交双曲线C 的渐近线于y 轴右侧P ，Q 两点，其中OP PQ ⊥，记OPQ △的内心为M ．若点M 到直线PQ 的距离为3a，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】C【解析】由题意设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；由OPQ △的内心为M ． 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，可得四边形MTPN 为正方形，焦点到渐近线的距离为b ，可知2||3NO a =，1||3MN a =，从而可求得渐近线方程. 【详解】不妨设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；则M 在POQ ∠角平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，由OP PQ ⊥可得四边形MTPN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b ，得2||F P b =； 又2||OF c =，故OP a =，故1||||3NP MN a ==，故2||3NO a =，故2||1tan ||2b MN POF a NO =∠==, 故所求渐近线方程为12y x =±． 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 12．已知函数()(2)f x x ϕ=++其中22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3()4f π的最大值为（ ） A．B ．0C．-D． 【答案】B【解析】由题意求出52(,)6x πϕϕϕ+∈+，根据()0f x >恒成立求出2x ϕ+的范围，从而由57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++求出ϕ的取值范围，进而求出答案. 【详解】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+； 由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈， 故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈， 故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，故33()()42f ππϕϕ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 故3()4f π的最大值为0． 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数中不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21x y x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14．已知实数x ，y 满足2 336x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为____________.【答案】274【解析】画出可行域，平移目标函数，根据图象，确定最大值即可. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示；观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，z 有最大值；联立36030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得15434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故z 的最大值为274.故答案为：274【点睛】本题考查线性规划问题，属于较易题.15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2418a a +=，17459S =，则(){}31nn a -的前n 项和n T =______．【答案】()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【解析】由等差数列的通项公式以及前n 项和公式代入可求得n a ，再由分组求和即可求解. 【详解】因为{}n a 是等数差数列，17994591745927S a a =⇒=⇒=，而2418a a +=，所以1918272418a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得3d =，13a =，则3(1)33n a n n +-⨯==，n *∈N ； 数列{}3n a 构成首项为9，公差为9的等差数列；若n 为偶数，则991827369(1)92n n T n n =-+-++--+=L ， 若n 为奇数，则T 91827369(2)9(1)9n n n n =-+-++--+--L9(1)9(1)922n n n -+=-=- 故()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩. 故答案为：()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题. 16．已知三棱锥P-ABC 中，PAB △是面积为4ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P-ABC 外接球的表面积为_______． 【答案】1123π 【解析】首先确定当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；然后作出球的球心求出半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；记点D ，E 分别为APB △，ACB △的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O ，则点O 即为三棱锥P-ABC 外接球的球心，AO 即为球的半径；因为PAB S ∆=4AB =；在ACB △中，45ACB ∠=︒，则90AEB =︒∠，由正弦定理可2ABAE sin ACB=∠，故AE EB EC ===记AB 的中点为F ，则1133OE DF PF AB ====故OA ==故外接球的表面积211243S R ππ==． 故答案为：1123π【点睛】本题主要考查立体几何中球的外接内切问题、正弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223sin 3sin3sin sin sin B CA B C A+=+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC V 面积的最大值以及周长的最大值．【答案】（1）3A π=；（2）ABC V 面积的最大值为【解析】（1）利用正弦定理边化角以及余弦定理即可求解. （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意，2223sin 3sin 3sin sin sin B C A A B C ++=，故2223333sin 2b c a A bc +=+⋅,即2223sin 23b c a A bc +-=，由余弦定理得，3cos sin A A =，故tan 3A =，因为(0,)A π∈，故3A π=；（2）由余弦定理，2222cos a c b bc A =+-，即221+2c b bc bc =-≥， 当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的面积133324S bcsinA bc ==≤， 故ABC V 面积的最大值为33.而22223()12()3()4b c c b bc c b bc b c +=+-=+-≥+-，故43b c +≤，当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的周长63l a b c =++≤ 故周长的最大值为63. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，135ABC ∠=︒，2SD CD =，点P ，Q ，M 分别是线段SD ，PD ，AP 的中点，点N 是线段SB 上靠近B的四等分点．（1）若R 在直线MQ 上，求证：//NR 平面ABCD ；（2）若SD ⊥平面ABCD ，求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（222【解析】（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性质定理即可证出.（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，求出平面SBC 的一个法向量与平面SAD 的一个法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）依题意，34SQ SNSD SB ==，故//QN BD ， 而QN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故//QN 平面ABCD ； 因为12PQ PM PD PA ==，故//QM AD ， 而QM ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故//QM 平面ABCD ； 因为QM QN Q =I ，故平面//QMN 平面ABCD ； 因为NR ⊂平面QMN ，故//NR 平面ABCD ； （2）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，则0)00D（，，，()002S ，，，0)10A （，，，22(,22C -， ∴(1,0,0)BC AD ==-u u u r u u u r ，22(2)22SC =--u u u r ，设平面SBC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ， 0222022x x y z -=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩取2y =1(0,22,1)n =， 易知平面SAD 的一个法向量20()01n =，，， 设平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角为θ，则121222cos 3n n n n θ⋅==⋅，∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为3.【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以及空间向量求二面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.19．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，20()9E X=【解析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.【详解】（1）完善列联表如下所示：222()60(14201016) 1.111 2.706()()()()30302436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯∴==≈<++++⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X 的可能取值为01234，，，，，55591(0)126C P X C ===,41545920(1)126C C P X C ===,32545960(2)126C C P X C ===, 23545940(3)126C C P X C ===,5944155(4)126C C P X C ===， 故X 的分布列为：所以1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的上、下焦点分别为1F ，2F 点M ⎝⎭ 在椭圆C 上，延长1MF 交椭圆于N 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）P ，Q 为椭圆上的点，记线段MN ，PQ 的中点分别为A ，B （A ，B 异于原点O ），且直线AB 过原点O ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）22194y x +=；（2）最大值为3 【解析】（1）利用待定系数法以及椭圆的离心率即可求解. （2）由（1）可知1F，可求11:2MF y x =-+11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据设而不求的思想求出12PQMN k k ==-，设直线1:2PQ y x m =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出面积表达式，借助基本不等式即可求出. 【详解】（1）依题意，22916155a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 解得39a =，24b =，故椭圆C 的方程为22194y x +=；（2）由（1）可知，1F，故直线11:2MF y x =-+ 设11(,)P x y ，()22,Q x y ，则22112222149149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()049x x x x y y y y +-+-+=，因为PQ 不过原点，所以12121212()()9()()4y y y y x x x x +-⋅=-+-，即94PQ OB k k ⋅=-，同理：94MN OA k k ⋅=-， 又因为直线AB 过原点O ，所以OB OA k k =，所以12PQ MN k k ==-， 设直线1:2PQ y x m =-+，由2214912x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得22522180x mx m -+-=， 由>0∆，得m <<，由韦达定理得，1225m x x +=，2122185m x x -=所以12|||PQ x x =-==又因为O 到直线PQ的距离||d m ==，所以2213310|||32552CPQm m S PQ d m +-=⋅=≤⋅=V ， 当且仅当2210m m =-，即m = 所以OPQ △面积的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()ln f x x a x =-，[1,e]x ∈． （1）若2a =，求函数()f x 的最值；（2）讨论函数()()1g x xf x a =++的零点个数．【答案】（1）最小值为22ln 2-，最大值为1；（2）当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【解析】（1）求出导函数()f x '，令()0f x '=，求出极值，再求出端点值即可求解. （2）由题意将问题转化为函数1()ln a h x x a x x+=-+的零点个数，对()h x 求导，根据导函数结合定义域分三种情况讨论①当1a e >-时；②当0a ≤时；③当01a e <≤-时，分别求出函数的最值和单调区间，从而可判断出函数零点的个数.【详解】（1）若2a =，则()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， 令()0f x '=，解得2x =；而()11f =，()22n2l 2f =-，()2f e e =-， 故函数()f x 的最小值为22ln 2-，最大值为1．（2）令2()()1ln 10g x xf x a x ax x a =++=-++=，因为0x >，故1ln 0a x a x x+-+=， 令1()ln a h x x a x x+=-+，故问题转化为函数()h x 的零点个数； 而[]2(1)(1)()x a x h x x -++'=，①当1a e >-时，即1a e +>，当(1,)x e ∈时，()0h x '<， 故()h x 在(1,)e 上单调递减，(1)20h a =+>，111()(1)a h e e a a e e e e+=+-=-++， 故当()0h e >，即211(1)0,1e a e a e e e +-++><-时，()0h x >在[1,]e 上恒成立，当2111e e a e +-<<-时，()h x 在[1,]e 内无零点；当()0h e ≤，即11(1)0a e e e-++≤， 即21 1e a e +≥-时，()()00h h e ⋅≤，由零点存在性定理可知，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为函数()h x 在[1,]e 内单调递减，此时()h x 在[1,]e 内有一个零点；②当0a ≤时，即11a +<，当(1,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 在(1,)e 上单调递增，()12h a =+，11()(1)0h e a e e e=-++>，故当()120h a =+≤，即2a ≤-时，()()10h h e ≤， 由零点存在性定理，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为()h x 在[1,]e 内单调递增，故仅有1个零点；当20a -<≤时，()()min 10h x h ⎡=⎣⎦>⎤，此时()h x 在[1,]e 内无零点； ③当01a e <≤-时，即11a e <+≤， 当1,(1)x a ∈+时，()0h x '<， 当),(1x a e ∈+时，()0h x '>．则函数()h x 在(1,1)a +上单调递减，在(,)1a e +上单调递增，故()()()min 12ln 122h x h a a a a a a =+=+⎡⎤≥⎦++-⎣-=， 故()0h x >，此时()h x 在[1,]e 内无零点；综上所述，当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，且直线l 与曲线交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()0,1A ，求||||AM AN +的值.【答案】（1）l ：1x y +=，C ：2240x y x +-=；（2）【解析】（1）将2x =，1y =-+相加，消去参数t ，整理得直线l 的普通方程；在方程4cos ρθ=两边同时乘以ρ，再利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩转化为直角坐标方程即可.（2）将直线l的参数方程为21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解，即可. 【详解】（1）依题意，直线l ：10x y +-=；曲线C ：24cos ρρθ=，即2240x y x +-=；（2）依题意，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2240x y x +-=中，可得210t ++=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1212||AM AN t t t t +=+=+=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程t 的几何意义.属于中档题.23．已知函数()()422f x x m x m m=-++>. （1）若4m =，求不等式()5f x >的解集； （2）证明：()()422f x m m +≥+-【答案】（1）2{|3x x <-或0}x >；（2）见解析 【解析】（1）分类讨论21x <-；142x -≤≤；4x >；分别求解，再取并集，即可.（2）确定分段函数()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩的最小值，再加上4(2)m m -，变形整理为42()22(2)2f x m m m m +≥-++--，根据均值定理证明，即可.【详解】第 21 页 共 21 页 （1）依题意，4215x x -++>； 当21x <-时，原式化为4215x x --->，解得23x <-； 当142x -≤≤时，原式化为4215x x -++>，解得0x >，故04x <≤； 当4x >时，原式化为4215x x -++>，解得83x >，故4x >； 综上所述，不等式()5f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >. （2）依题意，()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，所以()min 22f m m m f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭=， ()()()42422m m m m f x m m +≥++--222222222m m m m m m =++-=-++≥--， 当且仅当222m m -=-，即2m =+. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及均值定理证明不等式.属于中档题.。
安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学(理科)试题Word版含解析
安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 34.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.12.设函数的导数为，且，，，则当时，（）A. 有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．14.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．15.已知正数，满足，则的最大值为__________．16.在四边形中，，，，，则的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.18.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.在四棱锥中，侧面底面，，，，，. （Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意都成立，求整数的最大值.22.已知，，其中.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意得，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量，若，则，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.4.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体得四棱锥，其中面，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面积最大值是的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可. 【详解】由，可得；由.两式作比可得：可得，，所以，，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换可得函数，再由，，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得的图象，再向左平移，得到函数的图象.由，，得，.当时，函数的一个单调递增区间，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。
2020届高三12月联考理科数学参考答案
数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。
4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。
5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。
6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。
7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。
9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。
过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。
过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。