离散数学-1-4 真值表与等价公式
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离散数学讲义
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命题，记做P→Q， 读做“如果P，则Q”。
P 1
真值关系：
Q 1 0 1
PQ 1 0 1
“善意的推定”
1 0
0
0
1
28
1-2 联结词（续）
5、双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合命题， 记做P↔Q，读做“如果P，则Q”。
P 1 真值关系： 1 0 0
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”，“0” 表示“假”。
13
1-1 命题及其表示法（续）
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
命题的形式化描述：(P↔Q)。
35
1-3 命题公式及翻译（续）
例题3： （自学）
例题4： （自学）
例题5： （自学） 例题6： （自学）
36
习题：
* 各章节后习题中的双号大题中的双 号小题。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命题，记做P→Q， 读做“如果P，则Q”。
P 1
真值关系：
Q 1 0 1
PQ 1 0 1
“善意的推定”
1 0
0
0
1
28
1-2 联结词（续）
5、双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合命题， 记做P↔Q，读做“如果P，则Q”。
P 1 真值关系： 1 0 0
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”，“0” 表示“假”。
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1-1 命题及其表示法（续）
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
命题的形式化描述：(P↔Q)。
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1-3 命题公式及翻译（续）
例题3： （自学）
例题4： （自学）
例题5： （自学） 例题6： （自学）
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习题：
* 各章节后习题中的双号大题中的双 号小题。
离散数学第1章 命题逻辑
P Q 原命题 P Q （P Q） 利用联结词组合起来
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
离散数学第一章数理逻辑
故命题可形式化为:(A∧B∧C) ↔ P
34
中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
中北大学离散数学课程组
作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
中北大学离散数学课程组
b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
中北大学离散数学课程组
练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
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例 （解）
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
1-3、4翻译、真值表
(4)除非你陪我或替我叫车，否则我不去。 除非你陪我或替我叫车，否则我不去。 除非你陪我或替我叫车 (5)如果下班早，就去商店看看，除非我很累。 如果下班早， 如果下班早 就去商店看看，除非我很累。 解 (4)设 P：你陪我。 Q：你替我叫车。 R：我去。 设 ：你陪我。 ：你替我叫车。 ：我去。 则命题符号化为： 则命题符号化为： R →（ P ∨ Q） （ ） 或┐( P ∨ Q ) → ┐ R (5)设 P：我下班早。 Q：我去商店看看。R：我很 设 ：我下班早。 ：我去商店看看。 ： 累。 则命题符号化为： 则命题符号化为： ( P ∧ ┐R ) → Q 或 ┐R → ( P → Q )
这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中 称为 这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中(1)称为 递归形式给出的 基础， 称为归纳， 称为界限 称为界限。 基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。 称为归纳
按照定义，下列公式都是合式公式： 按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q）， ），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q) ) ， ∧ ）， ， ∨ (((P→Q ) ∧(Q→R)) (S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q ) →Q ) ） ∧ ， ， ∧ 等都不是合式公式。 等都不是合式公式。
二、翻译（符号化） 翻译（符号化）
有了联结词的合式公式概念， 有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有 些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结 词和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化 命题的符号化。 词和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化。 符号化应该注意下列事项： 确定给定句子是否为命题。 符号化应该注意下列事项：① 确定给定句子是否为命题。 句子中联结词是否为命题联结词。 ② 句子中联结词是否为命题联结词。③ 要正确地表示原子命 题和适当选择命题联结词。 题和适当选择命题联结词。
离散数学第一章
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
以上命题， (a)的真值取决于今天的天气，(b)和(c)是真， (d)
已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 将它归属于命题。 (e)目前尚未确定其真假， 但它是有真值的，应归属于命题。
例 2 下述都不是命题: (a) x+y＞4。 (b) x=3。 (c) 真好啊！ (d) 你去哪里？
(a)和(b)是陈述句， 但不是命题， 因为它的真值取决于x和
∨为析取联结词。 P∨Q为真当且仅当P和Q中至少
一个为真。
P∨Q的逻辑关系是P与Q中至少有一个成立，因而， 只有P与Q同时为假时， P∨Q 才为假，其他情况 下， P∨Q 均为真。
“∨”代表的运算是二元运算，常称为“或”运 算，所有可能的运算结果用真值表表示为： P∨Q
P
Q
T T F F
T F T F
1-1 命题及其表示法
• 命题的概念
能够判断真假的陈述句，有确定真值。
例： 1、 1+1=2； 2、 明天开会吗？ 3、 我正在说谎。 4、我学英语，或者我学日语。
• 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，„，Z或带下标的 大写字母或数字表示，如Ai，[10]，R等，例如 A1：我是一名大学生。 [10]：我是一名大学生。 R：我是一名大学生。
真值表与等价公式
(4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学重要公式定理汇总
⑴ 交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 ⑶ 同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸ ∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
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六、等值演算
例:证明 (P∨Q)→R ⇔(P→R)∧(Q→R) 证明 证： 可以从左边开始演算，也可以从右边 开始演算。现在从左边开始演算。 (P∨Q)→R ⇔┐(P∨Q)∨R (蕴含等值式） ⇔(┐P∧┐Q)∨R （德摩根律） ⇔(┐P∨R)∧(┐Q∨R)（分配律） ⇔(P→R)∧(Q→R) （蕴含等值式） 练习：从右边开始演算？
18
六、等值演算
1. 双重否律(对合律） P ⇔ ┐┐P 2. 幂等律 P∨P ⇔P P∧P⇔ P 3. 结合律 (P∨Q)∨R ⇔P∨(Q∨R) (P∧Q)∧R ⇔P∧(Q∧R) 4. 交换律 P∨Q ⇔ Q∨P P∧Q ⇔ Q∧P
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六、等值演算
5.分配律 P∨(Q∧R) ⇔(P∨Q)∧(P∨R) （∨对∧的分配律） 的分配律） P∧(Q∨R) ⇔(P∧Q)∨(P∧R) （∧对∨的分配律） 的分配律） 6.吸收律 P∨(P∧Q) ⇔ P P∧(P∨Q) ⇔ P 7.德.摩根律 ┐(P∨Q) ⇔ ┐P∧┐Q ┐(P∧Q) ⇔ ┐P∨┐Q 8. 同一律 A∨0 ⇔ A A∧1 ⇔ A 20
二、命题公式分量指派
公式就代表命题，但代表的命题是真还是假呢？ 在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而 真值是不确定的。当将公式中出现的全部命题符 号都解释成具体的命题之后，公式就成了真值确 定的命题了。 例如，在公式(P∨Q)→R中: (P Q) R 若将P解释成：2是素数， Q解释成：3是偶数， R解释成：是无理数，则P与R被解释成真命 题，Q被解释成假命题了，此时公式(P∨Q)→R被 解释成：若2是素数或3是偶数，则 是无理数。 这是一个真命题。
六、等值演算
9.零律 P∨1 ⇔ 1 P∧0 ⇔ 0 10.否定律 P∨┐P ⇔ 1 （排中律） P∧┐P ⇔ 0 （矛盾律） 11.蕴涵等值式（补充） P→Q⇔┐P∨Q 12. 等价等值式（补充） (P ↔ Q) ⇔(P→Q)∧(Q→P)
21
六、等值演算
13.假言易位 （补充） P→Q ⇔ ┐Q→┐P 14.等价否定等值式（补充） P ↔ Q ⇔ ┐P ↔ ┐Q 15.归谬论（补充） (P→Q)∧(P→┐Q) ⇔ ┐P
28
22
六、等值演算
在最基本的15组命题公式的等价关系的基础上， 利用等价置换就可以推证一些更为复杂的命题等 价公式。 例：命题公式(P→Q)→R中 ，可用┐P∨Q置换其中 的P→Q，由蕴涵等值式可知， P→Q P Q ⇔ ┐P∨Q， P Q 所以有 (P→Q)→R ⇔ (┐P∨Q) → R 在这里，使用了等价置换规则。如果再一次地用 蕴涵等值式及等价置换规则，又会得到 (┐P∨Q)→R ⇔ ┐(┐P∨Q)∨R
5
二、命题公式分量指派
不难看出，含n(n≥1)个命题变元的公式共 有2n个不同的指派（赋值）。 下面的问题是，指定P，Q，R的真值为何值 时，(P∨Q)→R的真值为1；指定P，Q，R的 真值为何值时，(P∨Q)→R的真值为0。 为看清命题公式在各种指派下的取值情况， 通常构造下面的“真值表”。
6
三、真值表
4
二、命题公式分量指派
2．若A中出现的命题符号为P，Q，R...,给定A的指 派（赋值）α1,α2,…,αn是指P＝α1，Q＝α2,…， 最后一个字母赋值αn。 上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。 例如，在公式(┐P1∧┐P2∧┐P3)∨(P1∧P2)中
000(P1＝0，P2＝0，P3＝0)， 110(P1＝1，P2＝1，P3＝0)都是成真赋值 而001(P1＝0，P2＝0，P3＝1) 011(P1＝0，P2＝1，P3＝1)都是成假赋值。 在(P∧┐Q)→R中，011(P＝0，Q＝1，R＝1)为成真赋 值，100(P＝1，Q＝0，R＝0)为成假赋值。
第一章 命题逻辑
1-4 真值表与等价公式
1
一、公式的层次
公式的层次（补充）定义： 公式的层次 (1)若公式A是单个的命题变元，则称A为0层公式 0层公式。 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a)A＝┐B，B是n层公式； (b)A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝ max(i，j)； (c)A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d)A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e)A＝B↔C，其中B，C的层次及n同(b)； (3)若公式A的层次为k，则称A是k层公式 k层公式。 易知， (┐P∧Q)→R，(┐(P→┐Q))∧((R∨S)↔┐P)分 别为3层和4层公式。 2
如表1所示。
(┐P∧Q)→┐R P∧Q)→┐R的真值表 表1 (┐P∧Q)→┐R的真值表
从表1可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值。
9
三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P)↔(Q∧┐Q)的真值表 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
23
六、等值演算
如果再用德摩根律及置换规则，又会得到 ┐(┐P∨Q)∨R ⇔(P∧┐Q)∨R 再用分配律及置换规则，又会得到 (P∧┐Q)∨R ⇔(P∨R)∧(┐Q∨R) 将以上过程连在一起，可得到 (P→Q)→R ⇔(┐P∨Q) → R ⇔ ┐(┐P∨Q)∨R ⇔(P∧┐Q)∨R ⇔(P∨R)∧(┐Q∨R) 上述演算中得到的5个公式彼此之间都是等值的 个公式彼此之间都是等值的， *上述演算中得到的 个公式彼此之间都是等值的， 在演算的每一步都用到了等价置换规则 在演算的每一步都用到了等价置换规则 上述用等值式及等价置换规则进行推演的过程称 等值演算，这是数理逻辑的主要内容。 为等值演算，这是数理逻辑的主要内容。 数理逻辑的主要内容
11
三、真值表
注意：表1～表3都是按构造真值表的步骤一步一 步地构造出来的，这样构造真值表不易出错。如 果构造的思路比较清楚，有些层次可以省略。 有一类公式，不论其命题变元做何种指派，其真 值永为真（假），就把这类公式记为T（F）。 关于n个命题变元P1,P2,…,Pn,可以构造多少个真 值表呢? n个命题变元共产生2n个不同指派,在每个指派下,公 式的值只有0和1两个值。于是n个命题变元的真值 表共有 种不同情况。
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成 假赋值。
10
三、真值表
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式。它的真值表如表3 所示。
表3 ┐(P→Q)∧Q∧R的真值表 ┐(P→Q)∧Q∧R的真值表 P→Q)∧Q∧R
它的真值表如表3所示。不难看出，该公式的8个赋值全是 成假赋值，它无成真赋值。
17
六、等值演算
虽然用真值法可以判断任何两个命题公式 是否等值，但当命题变元较多时，工作量 是很大的。可以先用真值表验证一组基本 的又是重要的等价公式，以它们为基础进 行公式之间的演算，来判断公式之间的是 否等值。下面给出15组（共24个）重要的 等值式，希望同学们牢牢记住它们。在下 面公式中出现的P,Q,R仍然是元语言符号， 它们代表任意的命题公式。P15 表1-4.8
15
五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取 代（P∧Q），则Q→（P∨ （ ┐P →Q））就与 原式不同。为了保证取代后的公式与原式 等价（即真值相同），需要对置换作出一 些规定。
16
五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X ⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A ⇔B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
3
二、命题公式分量指派
若P，Q的解释不变，R被解释为：是有理数，则 (P∨Q)→R被解释成：若2是素数或3是偶数，则 是有理数。这是个假命题。 其实，将命题符号P解释成真命题，相当于指定P 的真值为1，解释成假命题，相当于指定P的真值 为0。 在本课中，对含n个命题变项的公式A的指派（赋 值）情况做如下规定： 1．若A中出现的命题符号为P1,P2,…,Pn，给定A的 指派（赋值）α1,α2,…,αn 是指P1＝α1，P2＝ α2,…，Pn＝αn。
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本节小结
公式层次 命题公式分量指派 真值表 公式等价 公式置换 等值演算
27
课后作业
复习课本例题 P18 （7）a)、c)、e)、f)、h) (使用等值 演算方法证明） 补充:（使用等值演算方法或真值表证明） (1) ┐(P ∨ Q ) ∨ (┐ P ∧Q) ⇔ ┐P (2) (P∧Q) →R⇔(P→R)∨(Q →R) (3) P→(Q→R)⇔(P∧┐R) → ┐Q
12
四、公式等价
根据真值表，有些命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式对 应的真值完全相同，如表（P14 1-4.5)：
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P→Q 1 1 0 1
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ┐P 1 1 0 0 ┐P∨ Q 1 1 0 1
P→Q
┐P∨Q
定义1-4.1 在命题公式中，对于各分量指派真值的 各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真 种情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表 命题公式的真值表。 命题公式的真值表 真值表的构造步骤： (1) 找出公式中所含的全体命题变项P1,P2,…,Pn (若 无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本 课规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法 依次写出各赋值，直到11…1为止。
25
六、等值演算
证明： 例2.4 证明：(P→Q)→R P→(Q→R) 证 方法一 方法一：真值表法，可自己证明。 方法二 ：设A=(P→Q)→R,B=P→(Q→R)
先将A,B通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
六、等值演算
例:证明 (P∨Q)→R ⇔(P→R)∧(Q→R) 证明 证： 可以从左边开始演算，也可以从右边 开始演算。现在从左边开始演算。 (P∨Q)→R ⇔┐(P∨Q)∨R (蕴含等值式） ⇔(┐P∧┐Q)∨R （德摩根律） ⇔(┐P∨R)∧(┐Q∨R)（分配律） ⇔(P→R)∧(Q→R) （蕴含等值式） 练习：从右边开始演算？
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六、等值演算
1. 双重否律(对合律） P ⇔ ┐┐P 2. 幂等律 P∨P ⇔P P∧P⇔ P 3. 结合律 (P∨Q)∨R ⇔P∨(Q∨R) (P∧Q)∧R ⇔P∧(Q∧R) 4. 交换律 P∨Q ⇔ Q∨P P∧Q ⇔ Q∧P
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六、等值演算
5.分配律 P∨(Q∧R) ⇔(P∨Q)∧(P∨R) （∨对∧的分配律） 的分配律） P∧(Q∨R) ⇔(P∧Q)∨(P∧R) （∧对∨的分配律） 的分配律） 6.吸收律 P∨(P∧Q) ⇔ P P∧(P∨Q) ⇔ P 7.德.摩根律 ┐(P∨Q) ⇔ ┐P∧┐Q ┐(P∧Q) ⇔ ┐P∨┐Q 8. 同一律 A∨0 ⇔ A A∧1 ⇔ A 20
二、命题公式分量指派
公式就代表命题，但代表的命题是真还是假呢？ 在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而 真值是不确定的。当将公式中出现的全部命题符 号都解释成具体的命题之后，公式就成了真值确 定的命题了。 例如，在公式(P∨Q)→R中: (P Q) R 若将P解释成：2是素数， Q解释成：3是偶数， R解释成：是无理数，则P与R被解释成真命 题，Q被解释成假命题了，此时公式(P∨Q)→R被 解释成：若2是素数或3是偶数，则 是无理数。 这是一个真命题。
六、等值演算
9.零律 P∨1 ⇔ 1 P∧0 ⇔ 0 10.否定律 P∨┐P ⇔ 1 （排中律） P∧┐P ⇔ 0 （矛盾律） 11.蕴涵等值式（补充） P→Q⇔┐P∨Q 12. 等价等值式（补充） (P ↔ Q) ⇔(P→Q)∧(Q→P)
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六、等值演算
13.假言易位 （补充） P→Q ⇔ ┐Q→┐P 14.等价否定等值式（补充） P ↔ Q ⇔ ┐P ↔ ┐Q 15.归谬论（补充） (P→Q)∧(P→┐Q) ⇔ ┐P
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六、等值演算
在最基本的15组命题公式的等价关系的基础上， 利用等价置换就可以推证一些更为复杂的命题等 价公式。 例：命题公式(P→Q)→R中 ，可用┐P∨Q置换其中 的P→Q，由蕴涵等值式可知， P→Q P Q ⇔ ┐P∨Q， P Q 所以有 (P→Q)→R ⇔ (┐P∨Q) → R 在这里，使用了等价置换规则。如果再一次地用 蕴涵等值式及等价置换规则，又会得到 (┐P∨Q)→R ⇔ ┐(┐P∨Q)∨R
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二、命题公式分量指派
不难看出，含n(n≥1)个命题变元的公式共 有2n个不同的指派（赋值）。 下面的问题是，指定P，Q，R的真值为何值 时，(P∨Q)→R的真值为1；指定P，Q，R的 真值为何值时，(P∨Q)→R的真值为0。 为看清命题公式在各种指派下的取值情况， 通常构造下面的“真值表”。
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三、真值表
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二、命题公式分量指派
2．若A中出现的命题符号为P，Q，R...,给定A的指 派（赋值）α1,α2,…,αn是指P＝α1，Q＝α2,…， 最后一个字母赋值αn。 上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。 例如，在公式(┐P1∧┐P2∧┐P3)∨(P1∧P2)中
000(P1＝0，P2＝0，P3＝0)， 110(P1＝1，P2＝1，P3＝0)都是成真赋值 而001(P1＝0，P2＝0，P3＝1) 011(P1＝0，P2＝1，P3＝1)都是成假赋值。 在(P∧┐Q)→R中，011(P＝0，Q＝1，R＝1)为成真赋 值，100(P＝1，Q＝0，R＝0)为成假赋值。
第一章 命题逻辑
1-4 真值表与等价公式
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一、公式的层次
公式的层次（补充）定义： 公式的层次 (1)若公式A是单个的命题变元，则称A为0层公式 0层公式。 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a)A＝┐B，B是n层公式； (b)A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝ max(i，j)； (c)A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d)A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e)A＝B↔C，其中B，C的层次及n同(b)； (3)若公式A的层次为k，则称A是k层公式 k层公式。 易知， (┐P∧Q)→R，(┐(P→┐Q))∧((R∨S)↔┐P)分 别为3层和4层公式。 2
如表1所示。
(┐P∧Q)→┐R P∧Q)→┐R的真值表 表1 (┐P∧Q)→┐R的真值表
从表1可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值。
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三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P)↔(Q∧┐Q)的真值表 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
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六、等值演算
如果再用德摩根律及置换规则，又会得到 ┐(┐P∨Q)∨R ⇔(P∧┐Q)∨R 再用分配律及置换规则，又会得到 (P∧┐Q)∨R ⇔(P∨R)∧(┐Q∨R) 将以上过程连在一起，可得到 (P→Q)→R ⇔(┐P∨Q) → R ⇔ ┐(┐P∨Q)∨R ⇔(P∧┐Q)∨R ⇔(P∨R)∧(┐Q∨R) 上述演算中得到的5个公式彼此之间都是等值的 个公式彼此之间都是等值的， *上述演算中得到的 个公式彼此之间都是等值的， 在演算的每一步都用到了等价置换规则 在演算的每一步都用到了等价置换规则 上述用等值式及等价置换规则进行推演的过程称 等值演算，这是数理逻辑的主要内容。 为等值演算，这是数理逻辑的主要内容。 数理逻辑的主要内容
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三、真值表
注意：表1～表3都是按构造真值表的步骤一步一 步地构造出来的，这样构造真值表不易出错。如 果构造的思路比较清楚，有些层次可以省略。 有一类公式，不论其命题变元做何种指派，其真 值永为真（假），就把这类公式记为T（F）。 关于n个命题变元P1,P2,…,Pn,可以构造多少个真 值表呢? n个命题变元共产生2n个不同指派,在每个指派下,公 式的值只有0和1两个值。于是n个命题变元的真值 表共有 种不同情况。
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成 假赋值。
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三、真值表
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式。它的真值表如表3 所示。
表3 ┐(P→Q)∧Q∧R的真值表 ┐(P→Q)∧Q∧R的真值表 P→Q)∧Q∧R
它的真值表如表3所示。不难看出，该公式的8个赋值全是 成假赋值，它无成真赋值。
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六、等值演算
虽然用真值法可以判断任何两个命题公式 是否等值，但当命题变元较多时，工作量 是很大的。可以先用真值表验证一组基本 的又是重要的等价公式，以它们为基础进 行公式之间的演算，来判断公式之间的是 否等值。下面给出15组（共24个）重要的 等值式，希望同学们牢牢记住它们。在下 面公式中出现的P,Q,R仍然是元语言符号， 它们代表任意的命题公式。P15 表1-4.8
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五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取 代（P∧Q），则Q→（P∨ （ ┐P →Q））就与 原式不同。为了保证取代后的公式与原式 等价（即真值相同），需要对置换作出一 些规定。
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五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X ⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A ⇔B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
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二、命题公式分量指派
若P，Q的解释不变，R被解释为：是有理数，则 (P∨Q)→R被解释成：若2是素数或3是偶数，则 是有理数。这是个假命题。 其实，将命题符号P解释成真命题，相当于指定P 的真值为1，解释成假命题，相当于指定P的真值 为0。 在本课中，对含n个命题变项的公式A的指派（赋 值）情况做如下规定： 1．若A中出现的命题符号为P1,P2,…,Pn，给定A的 指派（赋值）α1,α2,…,αn 是指P1＝α1，P2＝ α2,…，Pn＝αn。
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本节小结
公式层次 命题公式分量指派 真值表 公式等价 公式置换 等值演算
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课后作业
复习课本例题 P18 （7）a)、c)、e)、f)、h) (使用等值 演算方法证明） 补充:（使用等值演算方法或真值表证明） (1) ┐(P ∨ Q ) ∨ (┐ P ∧Q) ⇔ ┐P (2) (P∧Q) →R⇔(P→R)∨(Q →R) (3) P→(Q→R)⇔(P∧┐R) → ┐Q
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四、公式等价
根据真值表，有些命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式对 应的真值完全相同，如表（P14 1-4.5)：
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P→Q 1 1 0 1
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ┐P 1 1 0 0 ┐P∨ Q 1 1 0 1
P→Q
┐P∨Q
定义1-4.1 在命题公式中，对于各分量指派真值的 各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真 种情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表 命题公式的真值表。 命题公式的真值表 真值表的构造步骤： (1) 找出公式中所含的全体命题变项P1,P2,…,Pn (若 无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本 课规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法 依次写出各赋值，直到11…1为止。
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六、等值演算
证明： 例2.4 证明：(P→Q)→R P→(Q→R) 证 方法一 方法一：真值表法，可自己证明。 方法二 ：设A=(P→Q)→R,B=P→(Q→R)
先将A,B通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。