人大附中2020-2021学年度8月摸底测试卷含答案

人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习数 学命题人：王鼎 审题人：吴中才 2020年08月18日本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合1}{0|A x x −≥=，{0 1 2}B =，，，则AB =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1 2}，D ．{0 1 2}，， 2．已知i 为虚数单位，若1iz i =−+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ） A ．1 BC ．2D．4．62x ⎛⎝展开式中2x 项的系数为（ ）A ．160−B ．20−C ．20D ．1605．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（ ） A ．立春和立冬的晷长相同 B ．立夏和立秋的晷长相同C ．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D ．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长 注：“相差”是指差的绝对值6．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =−及3y x =+的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ） A．2B．C．21+ D2+左视图俯视图主视图7．“sin 0x x +>”是“sin 0x x −>”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点11)(P x y ，，将角α的终边顺时针旋转π3得到角β．角β的终边与单位圆相交于点22)(Q x y ，，则21x x −的取值范围为（ ）A ．1( )2，B ．1(2C ．1( 1)2，D ．1( 1]2， 9．若圆P 的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P 作圆22(4)(3)4x y −+−=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ） AB ．C ．2D ．410．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下： ①甲地5个数据的中位数为26，众数为22； ②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8. 则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．双曲线C ：221916y x −=的焦距是__________．12．已知{}n a 是等差数列，{}n n a b +是公比为c 的等比数列，11a =，10b =，35a =，则数列{}n a 的前10项和为__________，数列{}n b 的前10项和为__________（用c 表示）． 13．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________． 14．不等式20t at −≥对所有的[1 1]a ∈−，都成立，则t 的取值范围是__________． 15．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意 0a a a ∈*=R ，； （2）对任意a b a b b a ∈**=R ，，；（3）对任意()() ()()2a b c a b c c ab a c b c c *****∈=++−R ，，，．给出下列四个结论： ①2(02)0**=；②(20)(20)8***=；③对任意()()a b c a b c b c a ∈**=**R ，，，； ④存在 ()()()a b c a b c a c b c ∈+*≠*+*R ，，，． 其中，所有正确结论的序号是__________．注：本题全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题13分）如图，三棱柱111ABC A B C −中，AB ⊥平面11BB C C ，点E 是棱1C C 的中点，已知1111112A B B C C C B E ====，． （Ⅰ）求证：1B B ABC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角11A EB A −−的余弦值．17．（本小题13分）在ABC △中，sin A B =，π6C =，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在，求c 的值及ABC △的面积．条件①：c =；条件②：ac ； 条件③：sin 3c A =． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123213324p p p ===，，．假定各人能否完成任务相互独立． （Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，①求能完成任务的概率；②求派出人员数X 的分布列和数学期望()E X ．（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）11119．（本小题15分）已知函数32()232f x x ax =−+.（Ⅰ）若0a =，求过曲线()y f x =上一点(1 0)−，的切线方程；（Ⅱ）若0<<3a ，()f x 在区间[0 1]，的最大值为M ，最小值为m ，求M m −的最小值．20．（本小题15分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，上顶点为T ，8AT TB ⋅=．点M ，N 为椭圆C 上异于A ，B 的两点，直线AM ，BN 相交于点P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若点P 在直线92x =上，求证：直线MN 过定点．21．（本小题15分）已知m n k ，，为正整数，4n ≥，3k ≥，A 是由m n ⋅个不超过k 的正整数组成的m 行n 列的数表，其第i 行第j 列为,i j x ，1i m ≤≤，1j n ≤≤，满足： ①对任意1i m ≤≤，21j n ≤≤−，均有,1,,1i j i j i j x x x −+，，互不相等； ②对任意1i m ≤≤，不存在1a b c d n ≤<<<≤，使得,,i a i c x x =且,,i b i d x x =； ③当2m ≥时，对任意1i j m ≤<≤，存在1k n ≤≤，使得,,i k j k x x ≠． 记()k S m n ，为所有这样的数表构成的集合． （Ⅰ）写出3(2 4)S ，中的一个元素； （Ⅱ）若4()S m n ≠∅，，则当n 最大时，求m 的最大值；（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．如选择问题（一），本题满分改为14分．问题（一）：求集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数． 问题（二）：求集合11(3 21)S ，的元素个数． 注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分．人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）A （3）C （4）A（5） D （6）B（7）A（8）D（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）10（12）1090110011000 11c c c c −=⎧⎪⎨−−+≠⎪−⎩，当时，，当，时 （13）11[ 0]88−−， （14）( 1]{0}[1 )−∞−+∞，，（15）②③④注：第14题仅漏掉“0”的得3分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）依题意，在11B C E △中，112B C =，15B E =，11112C E C C ==，所以2221111B C C E B E +=． 所以1190B C E ∠=．又因为三棱锥111ABC A B C −中，四边形11BB C C 为平行四边形， 所以四边形11BB C C 为矩形． 所以1B B BC ⊥．…………… 2分因为11B B C A B C ⊥平面，111BB BB C C ⊂平面，所以1B B AB ⊥．又因为AB BC ABC ⊂，平面，AB BC B =，所以1B B A B C ⊥平面． …………… 4分（Ⅱ）因为11B B C A B C ⊥平面，11BC BB C C ⊂平面，所以AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B xyz −，…………… 5分则(0 0 2)A ，，，(2 1 0)E ，，，1(0 2 0)B ，，，1(0 2 2)A ，，，1(21 0)B E =−，，， 1(02 )2B A =−，，，112(0 0 )B A =，，．…………… 7分设平面1AEB 的法向量为()x y z =，，n ，则1100B E B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220x y y z −=⎧⎨−+=⎩．，令1x =，则2y =，2z =． 于是(1 2 2)=，，n ．…………… 9分zyxC 1CB 1BAA 1E设平面11A EB 的法向量为()x y z =，，m ，则11100B E B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即2020x y z −=⎧⎨=⎩．，令1x =，则2y =，0z =． 于是(1 2 0)=，，m ．……………11分所以cos ⋅〈〉==n m n,m n m ． 由题知二面角11A EB A −−． ……………13分（17）（共13分）解：法一 选择条件②．…………… 1分因为在ABC △中，sin A B ，sin sin a bA B=，所以a ． …………… 4分又因为π6C =， 所以由余弦定理，0c b =>， …………… 7分又因为ac =，2=11()b =−或舍．所以a =1c =．……………10分 所以ABC △的面积为1πsin 264S ab C ===．……………13分 法二 选择条件③．…………… 1分因为在ABC △中，sin 3c A =，sin sin a c A C =，π6C =， 所以sin 36πsin sin 6c A a C ===． …………… 4分因为在ABC △中，sin A B ，sin sin a bA B=，所以b = …………… 7分所以由余弦定理，c =10分 所以ABC △的面积为111sin 6222S ab C ==⨯⨯=．……………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A ．…………… 1分因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为123213324p p p ===，，，各人能否完成任务相互独立．所以11212323()(1)(1)(1)24P A p p p p p p =+−+−−=． …………… 4分 或 P (A ) =1−(1−p 1) (1−p 2) (1−p 3) = 2324 .…………… 4分依题意，X 的所有可能取值为1 2 3，，． 12(1)3P X p ===，121(2)(1)6P X p p ==−=，121(3)(1)(1)6P X p p ==−−=． 所以X 的分布列为故X 的期望2113()1233662E X =⨯+⨯+⨯=．……………10分 （Ⅱ）依次派出丙甲乙．……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当0a =时，3()22f x x =+，x ∈R ．所以2()6f x x '=．设切点为3( 22)t t +，， 所以切线方程为236()22y t x t t =−++．…………… 3分当切线过(1 0)−，时，236(1)220t t t −−++=，所以22223(1)(1)(1)(1)(2(1)(21)1)0t t t t t t t t t t −−++−+=−++−−+−==， 所以112t =−或．所求切线方程为66y x =+或3322y x =+． …………… 6分（Ⅱ）因为32()232f x x ax =−+，0<<3a ，x ∈R ，所以2()666()f x x ax x x a '=−=−． 令()0f x '=，得0x a =或．单调递减区间为(0)a ，．……………10分① 当13a ≤<时，()f x 在[0 1]，上单调递减．所以依题意，(0)2M f ==，(1)43m f a ==−． 所以，32[1 7)M m a −=−∈，．……………11分② 当01a <<时，()f x 在[0 ]a ，上单调递减，在[ 1]a ，上单调递增．又因为(0)2f =，(1)43f a =−，3()2f a a =−+． （1） 当213a ≤<时，432a −≤， 所以(0)M f =，()m f a =，38[ 1)27M m a −=∈，．……………12分（2） 当203a <<时，432a −>， 所以(1)M f =，()m f a =，332M m a a −=−+． 设3()32g x x x =−+，当203x <<时，2()330g x x '=−<． 所以()g x 在2(0 )3，单调递减．又因为(0)2g =，28()327g =，所以8()(2)27M m g a −=∈，． ……………14分 所以，当且仅当23a =时，M m −取得最小值827．……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，( 0)A a −，，( 0)B a ，，(0 )T b ，，()AT a b =，，( )TB a b =−，，2222280c a a b a b c a b ⎧⎪⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎪>>⎩，，，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，，所以椭圆C 的方程为2219x y +=．…………… 5分（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，，则2299i i x y +=，3i x ≠±，0i y ≠（1 2i =，）．…………… 6分① 当直线MN 垂直于y 轴时，由对称性，直线AM ，BN 交于y 轴，不合题意，舍．…………… 7分 ② 当直线MN 不垂直于y 轴时，设其方程为x ty m =+．联立2299x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得222(9)290t y tmy m +++−=． …………… 9分依题意，290t +≠，0∆>，12229tmy y t −+=+，2122909m y y t −=≠+．所以3m ≠±．因为(3 0)A −，，(3 0)B ，， 所以直线AM 方程为11(3)3y y x x =++，直线BN 方程为22(3)3yy x x =−−．依题意，设9()2P p ，，因为P 为直线AM ，BN 的交点，所以121299(3)(3)3232y y p x x +==−+−． ……………11分所以122222222122225(3)(3)3=33999y y y x y x x x x y x y +++===+−−−−． 所以121212453()90y y x x x x ++++=．所以12121245()()3()90y y ty m ty m ty m ty m ++++++++=． 所以221212(45)(3)()(3)0t y y t m y y m ++++++=．所以2222292(45)(3)(3)099m tm t t m m t t −−+++++=++．……………13分因为3m ≠±，所以222(45)(3)2(3)(9)0t m t m m t +−−+++=． 所以541080m −=，2m =，直线MN 方程为2x ty =+． 所以直线MN 过定点(2 0)，．……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）答案不唯一，a bc ad efd ⎛⎫⎪⎝⎭中()a b c ，()d e f 为(123)的不同排列即可，例如12311321⎛⎫⎪⎝⎭．…………… 4分（Ⅱ）依题意，设表4()B S m n ∈，，设()a b c d 为(1234)的某个排列，设B 某行为12()n X x x x =…，{1 2 3 4}i x ∈，，，(1 2 )i n =，，…，．一．当()a b c B db a =时，4(1 6)B S ∈，，所以6n =符合题意．二．当6n ≥时，由①设4()n X a b cx x =…，4x a d =或．1． 当()n X a b c a x =…时，由①56x x a ≠，，故由②56x x d ==，与①矛盾． 2． 当()n X a b c d x =…时，由①5x a b =或． （1）当()n X a b c da x =…时， 由②6x a =，与①矛盾． （2）当()n X abc db x =…时，由①6x b ≠，故由②6x a =．假若7n ≥，则由②7x a =，与①矛盾．综上，n 的最大值为6． …………… 8分且当6n =时，()X a b c db a =，这样的X 共44A 24=个．由③，当n 最大时，m 的最大值为24． ……………10分（Ⅲ）选择问题（一）．若表4()B S m n ∈，，设()a b c d 为(1234)的某个排列， 一．当4n =时，由（Ⅱ）()X a b c d =或()a b c a ．这样的X 共4344A Α48+=个．所以1 2 48m =，，…，时，4( 4)S m ≠∅，；48m >时，4( 4)S m =∅，． 二．当5n =时，由（Ⅱ）()X a b c a d =或()a b c d a 或()a b c db ．这样的X 共44A 372⨯=个．所以1 2 72m =，，…，时，4( 5)S m ≠∅，；72m >时，4( 5)S m =∅，． 三．当6n =时，由（Ⅱ）()X a b c db a =，这样的X 共44A 24=个．所以1 2 24m =，，…，时，4( 6)S m ≠∅，；24m >时，4( 6)S m =∅，． 四．当7n ≥时，由（Ⅱ）4()S m n =∅，．综上，集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数为4872241145+++=．……………14分（Ⅲ）选择问题（二）．若12()n Y y y y =…满足②，则将Y 删除若干项仍满足②． 设12()(1 )k n S n Y y y y ∈=…，，{1 2 }i y k ∈，，…，(1 2 )i n =，，…，． 一．当3k =时，假若5n ≥，设()a b c 为(123)的某个排列，设4()n Y a b cy y =…，则由①4y a =，由①②，5y 无解，矛盾．所以422n k ≤=−．二．假设存在n ，使得21n k ≥−，设满足此条件的最小的k 为u ．所以12()(1 )u n S n Y y y y ∈=…，，21n u ≥−．由一，4u ≥．若1(1 )u S Z v −∈，，则2(1)2243v u u n ≤−−=−≤−． 不妨设i y (1 2 )i n =，，…，中，u 出现的次数m 最小． 1． 当0m =时，121)((1 )n u Y y S y n y −∈=，…，矛盾．2． 当1m =时，设t y u =，（1）当1t n =或时，将Y 去掉t y 这一项得Z ，则1(1 1)u Z S n −∈−，，矛盾．人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习11（2）当2t =时，将Y 去掉前两项得Z ，则1(1 2)u Z S n −∈−，，矛盾．当1t n =−时，同理将Y 去掉后两项得1(1 2)u Z S n −∈−，，矛盾．（3）当1 21t n n ≠−，，，时，记()Y e f u g h =……．若e g ≠且f h ≠，将Y 去掉u 这一项得Z ，则1(1 1)u Z S n −∈−，，矛盾． 若e g =且f h ≠，将Y 去掉u ，g 这两项得Z ，则1(1 2)u Z S n −∈−，，矛盾． 若e g ≠且f h =，将Y 去掉f ，u 这两项得Z ，则1(1 2)u Z S n −∈−，，矛盾． 若e g =且f h =，由②，矛盾．3． 当2m ≥时，i y (1 2i =，，…，n )中，1，2，…，u 均至少出现2次． 因为12()(1 )u n S n Y y y y ∈=…，，由①，前两个1之间必有其它数，不妨设为2．由②，所有的2均在这两个1之间．同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，……这与i y u ≤(1 2 )i n =，，…，矛盾．4． 综上，假设不成立，必有22n k ≤−．三．从11(3 21)S ，中任取一行W ，则11(1 21)S W ∈，． 因为21122021⨯−=<，所以W 不存在，11(3 21)S =∅，． 所以11(3 21)S ，的元素个数为0． ……………15分。