_空间点、线、面间位置关系(1)解析
空间点、直线、平面之间的位置关系
[类题通法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的 推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直 线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点 的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
[试一试]
1．下列说法正确的是 A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
(
)
解析：由异面直线的定义可知选 D.
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求． 在△A1BE中， 设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
3 10 答案： 10
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是 公理的是 ．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
(
)
答案：0
5．(2013· 银川模拟)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方 体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC 所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由 AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60° ， 即A1C1与B1C所成角为60° .
线的方法有哪些？
如何转化证明两 直线相交？
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
空间解析几何的位置关系
空间解析几何的位置关系在数学中，空间解析几何是研究三维空间中点、直线、平面等几何元素之间的位置关系的一个分支。
通过分析和运用几何运算，可以准确描述和计算空间中各个几何元素的位置关系。
本文将介绍空间解析几何中常见的位置关系，并探讨它们在实际应用中的意义和用途。
一、点和直线的位置关系在空间解析几何中，点和直线是最基本的几何元素之一。
点在直线上的位置关系共有三种情况：1. 点在直线上：当一个点在直线上时，我们可以通过其坐标与直线的方程进行验证。
例如，对于一条直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在直线上。
2. 点在直线之外：如果一个点不在直线上，我们可以使用点到直线的距离公式来确定它们之间的关系。
点到直线的距离公式为：d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到直线的最短距离。
3. 点在直线延长线上：若一个点不在直线上，但位于直线的延长线上时，其满足点到直线的最短距离为0。
二、点和平面的位置关系与点和直线的位置关系类似，点和平面的位置关系也可以分为三种情况：1. 点在平面上：当一个点在平面上时，我们可以通过将点的坐标代入平面的方程进行验证。
例如，对于一个平面的方程为Ax + By + Cz +D = 0，只需代入点的坐标(x, y, z)，若方程成立，则该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：如果一个点不在平面上，则可利用点到平面的距离公式来判断它们的位置关系。
点到平面的距离公式为：d =|Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)，其中d表示点到平面的最短距离。
当d为正值时，表示点在平面的上方；当d为负值时，表示点在平面的下方。
3. 点在平面之外但位于平面的延伸面上：当一个点不在平面上，但在平面的延伸面上时，其满足点到平面的距离为0。
三、直线和直线的位置关系直线和直线之间的位置关系包括平行、相交和重合三种情况。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
空间中的点、曲线、垂直平面之间的位置关系
空间中的点、曲线、垂直平面之间的位置关系在空间中，点、曲线和垂直平面之间存在着不同的位置关系。
理解这些关系对于几何学和物理学等学科来说非常重要。
本文将介绍点、曲线和垂直平面之间的基本位置关系。
点和曲线的位置关系点和曲线是空间中最基本的元素。
点可以看作是没有大小和形状的对象，而曲线则是由无数个连续的点组成的。
在空间中，点可以在曲线上、在曲线的内部或在曲线的外部。
1. 点在曲线上：当一个点恰好在曲线上时，我们说该点与曲线相交。
点和曲线在这一位置关系上具有共享的位置。
2. 点在曲线的内部：当一个点处于曲线的内部时，我们说该点被曲线所包围。
点和曲线在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。
3. 点在曲线的外部：当一个点不在曲线上也不在曲线的内部时，我们说该点在曲线的外部。
点和曲线在这一位置关系上完全无关。
点和垂直平面的位置关系垂直平面是由无限多个平行于一个共同方向的直线组成的。
点和垂直平面之间存在以下几种位置关系：1. 点在垂直平面上：当一个点恰好在垂直平面上时，我们说该点属于该垂直平面。
点和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。
2. 点在垂直平面的内部：当一个点处于垂直平面的内部时，我们说该点被垂直平面所包围。
点和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。
3. 点在垂直平面的外部：当一个点不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该点在垂直平面的外部。
点和垂直平面在这一位置关系上完全无关。
曲线和垂直平面的位置关系曲线和垂直平面之间的位置关系与点和垂直平面的位置关系类似，只是将点替换为曲线。
1. 曲线在垂直平面上：当一条曲线恰好在垂直平面上时，我们说该曲线与垂直平面相交。
曲线和垂直平面在这一位置关系上具有共享的位置。
2. 曲线在垂直平面的内部：当一条曲线处于垂直平面的内部时，我们说该曲线被垂直平面所包围。
曲线和垂直平面在这一位置关系上有一种包含和被包含的关系。
3. 曲线在垂直平面的外部：当一条曲线不在垂直平面上也不在垂直平面的内部时，我们说该曲线在垂直平面的外部。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成画法45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；表示(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两方法个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l点A在直线l上A∉l A∈αA∉α点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外βl ⊂αl ⊄αl ∩m ＝A α∩β＝l ruize直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l ，m 相交于点 A 平面 α， 相交于直 线 l知识点二 平面的基本性质公理内容 图形 符号 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面内， A ∈l ，B ∈l 且 A ∈α， 那么这条直线在此 B ∈α⇒l ⊂α平面内过不在同一条直线 A ，B ，C 三点不共线公理 2 上的三点，有且只有 ⇒存在唯一的平面 α一个平面 使 A ，B ，C ∈α如果两个不重合的 平面有一个公共点， 公理 3 那么它们有且只有 一条过该点的公共 P ∈α 且 P ∈β⇒α∩β ＝l 且 P ∈l 直线1.公理 1 的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用 于立体几何的说理中)．2．公理 2 的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理 2 中要 注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能 确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三 点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因 此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问 题；③证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集 就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．B C D[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间不同三点确定一个平面．( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( )☆答案☆：(1)× (2)× (3)√2．经过空间任意三点作的平面( )A ．只有一个B ．只有两个C ．有无数个D ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能 作一个平面． ☆答案☆：D3．如果 a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是 ( )A ．l ⊂αB ．l ∉αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B解析：∵l ∩a ＝A 又 a ⊂α，∴A ∈l 且 A ∈α.同理 B ∈l 且 B ∈α.∴l ⊂α. ☆答案☆：A4．如果空间四点 A 、 、 、 不共面，那么下列判断正确的是( ) A ．A 、B 、C 、D 四点中必有三点共线B ．A 、B 、C 、D 四点中不存在三点共线C ．直线 AB 与 CD 相交D ．直线 AB 与 CD 平行解析：A 、B 、C 、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直 线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A 、B 、C 、D 共面． ☆答案☆：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平 面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm 2；④空间图形 中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④l利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置 关系，并画出相应的图形：①A ∈α，B ∉α；②A ∈α，m ∩α＝A ，A ∉l ，l ⊂α；③P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P ，且平面 α 与平面 β 相交于 P A ， 平面 α 与平面 γ 相交于 PB ，平面 β 与平面 γ 相交于 PC ；②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ，平面 ABC 与平面 ADC 相交 于 AC.【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A ，且点 A 不在 直线 l 上；③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q .图形分别如图①②③所示．(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝ PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面 ABD ∩平面 BDC ＝BD ，平面 ABC ∩平面ADC ＝AC.图形表示如图⑤所示.本题考查数学抽象．在“A ∈α， ⊂α”中 A 视为平面 α(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有 几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言 表示，再用符号语言表示．AC ∴(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用 “∈” 或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面 ABC ， ________平面 BCD ，BD________平面 ABC ， 平面 ABC ∩平面 ACD ＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三 平面性质的应用例 3 如图， ABC 在平面 α 外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BC ∩α ＝R.求证：P ，Q ，R 三点共线．【证明】 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈α.又 AB ⊂平面 ABC ，∴P ∈平面 ABC.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q ，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P ，Q ，R 三 点共线．方法二 ∵AP ∩AQ ＝A ，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ .又 AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，∴平面 APQ ∩α＝PQ.∵B ∈平面 APQ ， ∈平面 APQ ， BC ⊂平面 APQ .∵R ∈BC ，∴R ∈ 平面 APQ ，又 R ∈α，∴R ∈PQ ，∴P ，Q ，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练3如图，三个平面α、β、γ两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a与b不平行，∴a 与b必相交，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．☆答案☆：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：D3．下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．☆答案☆：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b ＝M，则点M与l的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.☆答案☆：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.☆答案☆：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①同理，EF ⊂平面 ADD A ，∴Q ∈平面 ADD A ，又∵平面 ABCD ∩平面 ADD A ＝AD ， N②10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、N 、E 、F 分别是棱 CD 、 AB 、DD 1、AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q ，求证：D 、A 、Q 三点 共线．证明：∵MN ∩EF ＝Q ，∴Q ∈直线 MN ，Q ∈直线 EF ，∵M ∈直线 CD ， ∈直线 AB ，CD ⊂平面 ABCD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴M 、N ∈平面 ABCD ，∴MN ⊂平面 ABCD ， ∴Q ∈平面 ABCD.1 1 1 11 1 ∴Q ∈直线 AD ，即 D ，A ，Q 三点共线．[能力提升](20 分钟，40 分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、 菱形，故选 D.☆答案☆：D12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四 点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． ☆答案☆：1 或 413．如图所示，已知直线 a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C.所以 EF 綊1A B. 又因为 A B 綊 D C ， 所以 EF 綊1D C ， 可设 D F ∩CE ＝P .又 D F ⊂平面 A D DA ，CE ⊂平面 ABCD ，所以点 P 为平面 A D DA 与平面 ABCD 的公共点．又因为平面 A D DA ∩平面 ABCD ＝DA ， 所以据公理 3 可得 P ∈DA ，即 CE ，D F ，DA 三线交于一点． 求证：直线 a ，b ，c 和 l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面 α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则 a ，b ，l 都在平面 α 内，即 b 在 a ，l 确定的平面内．同理可证 c 在 a ，l 确定的平面内．∵过 a 与 l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于 a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点， F 为 AA 1 的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接 EF ，D 1C ，A 1B ，因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点， 1 2 11 12 1所以 E ，F ，D ，C 四点共面，1 1 1 1 1 1 11 11。
2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》解析
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
Байду номын сангаас空间图形
文字叙述
符号表示
平
第二课时
面
复习巩固： 1.公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 作用 ：判定直线是否在平面内 2：公理2： 经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面 经过一条直线和这条直线外一点（两 推论： 条相交直线，两条平行直线）,有且只 有一个平面 作用 确定平面的依据 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 3.公理3： 么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 ①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上． ：
B C F E H G
A
D
E , E 点E在面与的交线上， 同理，G, H , F也在面与的交线上 点E, G, H , F四点共线。
4.已知：正方体ABCD ABCD, E是C1C的中点， F是B1C 的中点，
D
C
求证：DE, D1C1 , A1 F必交于一点 .A 证明： A1 D // EF , 且EF A1 D
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A 4.三条公理 公理1. AB B
王新敞
奎屯
新疆
公理2. A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3.P , P , l P l
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（
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在正方体 ABCD—A′B′C′D′中， 直线 BB′⊥AB， BB′ ⊥CB，但 AB 与 CB 不平行，∴⑥错． AB∥CD，BB′∩AB＝B， 但 BB′与 CD 不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝ AD，四边形 ABCD 不是平行四边形，故⑧也错．
【答案】 ④
探究 1
对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论
3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
. 平行 共面直线 相交 . 异面直线：不同在 任何 一个平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角或直角 叫 做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)． π (0，2] ②范围： ．
1．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这 条直线就在此平面内． 公理 2： 经过 不在同一直线上 的三点， 有且只有一个平面． 公理 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有 一 条通过 该点 的公共直线．
2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系： 点 A 在平面 α 内记作 A∈α ， 点 A 不在平面 α 内记作 A∉α . (2)点与线的位置关系： 点 A 在直线 l 上记作 A∈l，点 A 不在直线 l 上，记作 A∉l . (3)线面的位置关系：直线 l 在平面 α 内记作 l⊂α ，直线 l 不在平面 α 内记作 l⊄α . (4)平面 α 与平面 β 相交于直线 a，记作α∩β＝a (5)直线 l 与平面 α 相交于点 A，记作 l∩α＝A (6)直线 a 与直线 b 相交于点 A，记作 a∩b＝A . . .
的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别 是定理、公理中的限制条件，如公理 3 中“不共线的三点”， “不共线”是很重要的条件．另外，对于平面几何中的一些正 确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有 些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习 中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形 或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进 行演示，验证．
( B．与 m、n 至少一条相交
)
D．至多与 m、n 中的一条相交
解析 若 l 与 m、n 都不相交，则 l∥m，l∥n. ∴m∥n 与已知矛盾，故 C、D 不正确． A 中与 m、n 都相交，也不一定，如 l∥m，n 与 l 相交于一 点．
5．如图，若正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面边长为 2， 高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是______．
【解析】 由公理 3 知，不共线的三点才能确定一个平面， 所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这 三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个 交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个 交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯 形由公理 2 可得必为平面图形， 而四边形有可能是空间四边形， 如图(1)所示．
第 3 课时 空间点、线、面间位置关系
2013•考纲下载
1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理 依据的公理和定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关 系的简单命题.
请注意！
平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成 的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现.
பைடு நூலகம்
A．直线 AC C．直线 CD
答案 C
B．直线 AB D．直线 BC
解析 ∵AB∩l＝D，AB⊂面 ABC， ∴D∈面 ABC 且 D∈β，∴面 ABC∩β＝CD.
4．已知 m、n 为异面直线，m⊂平面 α，n⊂平面 β，α∩β ＝l，则 l A．与 m、n 都相交 C．与 m、n 都不相交
答案 B
1．空间四点中，三点共线是这四点共面的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
2．下面三条直线一定共面的是 A．a、b、c 两两平行 B．a、b、c 两两相交 C．a∥b，c 与 a、b 均相交 D．a、b、c 两两垂直
答案 C
(
)
3．如图所示，平面 α∩平面 β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝ D，C∈β，C∉l，则平面 ABC 与平面 β 的交线是 ( )
【解析】 (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C，
∴A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC. ∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直 线．
(2)是异面直线．理由： ∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴B、C、C1、D1 不共面． 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线， 则存在平面 α，使 D1B⊂平面 α，CC1⊂平面 α. ∴D1、B、C、C1∈α. ∴与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾． ∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线．
思考题 1
如图所示， 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M、 N 分别是 A1B1、 B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由． (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
【思路】 (1)易证 MN∥AC，所以 AM 与 CN 不是异面直 线． (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线， 证明时常用反证法．
答案
5
例 1 下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交， 也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．