2.5平面向量应用举例【很好】
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2.5平面向量应用举例解析
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系．
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R 1 又因为 ER与EB 共线所以设ER mEB m(a b )
因为 AR AE ER 因此 11 1 1 F D C r b m ( a b ) 所以 n(a b ) b m ( a b ) 2 2 因此 2 m 1 2 即( n m )a 1 (n )1 b 0E R T 2 b 由于向量 b 不共线，要使上式为 0，必须 n (a b a )、 b m (a ) 2 2 n m 0 1 A B 1 m 1 解得：n= m = 所以 AR AC n 0 3 3 2
C BBiblioteka 解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AC BD a b a b
2 2
2
2
a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b
∴
2
2
2
2
2
例1、证明平行四边形两对角线平方和等于两条邻边平方和的两倍 已知：平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 AC BD 2( AB AD ) 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 如果不用向量的方法，你能 A 等，故设 其它线段对应向 AB a , AD b 证明上述结论吗？如果有，怎么 量用它们表示。 来解决呢？
2
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2.5平面向量应用举例
5.已 知 向 量a (sin x, cos x), b ( 3 cos x, cos x),b 0. (1) 若a // b求tan x的 值; (2) 若a b,求x的 最 小 正 值.
6.已 知OA (3,4),OB (6,3),OC (5 m,(3 m)). (1)若 点A, B,C能 构 成 三 角 形,求 实 数m 应 满 足 的 条 件;
( A)重心 ( B)垂心 ( C)内心 ( D）外心
3.已 知a2
2
b
1, 且a
•b
1
.求
2
(1) | a b |; (2)a与(b a)的夹角.
4.已 知 坐 标 平 面 内OA (1,7), OB (5,1), OP (2,1), Q是 直 线OP上 的 一 个 动 点, 当QA • QB取 最 小 值 时,求OQ的 坐 标, 并 求 出cos AQB的 值.
(2)若ABC为 直 角 三 角 形,且A为 直 角,
求 实 数m的 值.
运算：通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
“三步曲”
练习：1.课本第108页B组 题5
利用向量的数Байду номын сангаас积证明平面几何中命题： （1）勾股定理； （2）菱形的对角线相互垂直。
2.点O是ABC所在平面上一点,且满足OA• OB OB • OC OA• OC,则O是ABC的
[例1]平行四边形时表示向量加法与减法的
几何模型。如图，AC=AB+AD，DB=AB-AD 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻
边长度之间的关系吗？
D
C
A
B
AC 2
6.已 知OA (3,4),OB (6,3),OC (5 m,(3 m)). (1)若 点A, B,C能 构 成 三 角 形,求 实 数m 应 满 足 的 条 件;
( A)重心 ( B)垂心 ( C)内心 ( D）外心
3.已 知a2
2
b
1, 且a
•b
1
.求
2
(1) | a b |; (2)a与(b a)的夹角.
4.已 知 坐 标 平 面 内OA (1,7), OB (5,1), OP (2,1), Q是 直 线OP上 的 一 个 动 点, 当QA • QB取 最 小 值 时,求OQ的 坐 标, 并 求 出cos AQB的 值.
(2)若ABC为 直 角 三 角 形,且A为 直 角,
求 实 数m的 值.
运算：通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
“三步曲”
练习：1.课本第108页B组 题5
利用向量的数Байду номын сангаас积证明平面几何中命题： （1）勾股定理； （2）菱形的对角线相互垂直。
2.点O是ABC所在平面上一点,且满足OA• OB OB • OC OA• OC,则O是ABC的
[例1]平行四边形时表示向量加法与减法的
几何模型。如图，AC=AB+AD，DB=AB-AD 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻
边长度之间的关系吗？
D
C
A
B
AC 2
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.12.5.2向量在物理中的应用举例
12/9/2021
第十八页，共三十六页。
探究二 向量在解析几何中的应用 [典例 2] 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F 分 别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．
12/9/2021
第四页，共三十六页。
3．求夹角问题，常常利用向量的夹角公式 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22. 4．求线段的长度或证明线段相等，可以先平方将长度的平方转化为两向量的数 量积，再利用向量的线性运算转化求解，若已知坐标可以利用|a|＝ x2＋y2求解．
12/9/2021
第三十页，共三十六页。
因为非零向量满足 |AA→→BB|＋|AA→→CC|·B→C＝0， 所以∠BAC 的平分线 AD 垂直于 BC，所以 AB＝AC， 又 cos∠BAC＝|AA→→BB|·|AA→→CC|＝12， 且∠BAC∈(0，π)， 所以∠BAC＝π3，所以△ABC 为等边三角形． [答案] 12/9/2021 等边三角形
12/9/2021
第二十六页，共三十六页。
3．两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到 点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点所做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点所做的功．
12/9/2021
第二十页，共三十六页。
(2)设点 N(x，y)是 CH 所在的直线上任意一点， 则C→N⊥A→B，C→N·A→B＝0， C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)， ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求高线 CH 所在的直线方程．
251平面向量应用举例
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事 法
鲁迅本名：周树人 主要作品：《阿Q正传》、、《药》 、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙 己》 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
（图片来自网络）
阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--实 操第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维 事实知识（know--what）：知道是什么的知识，
主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
超级记忆法--故事 法
鲁迅本名：周树人 主要作品：《阿Q正传》、、《药》 、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙 己》 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
（图片来自网络）
阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--实 操第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维 事实知识（know--what）：知道是什么的知识，
主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
平面向量应用举例
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
高中数学：2.5 平面向量应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
2.5 平面向量应用举例
(OA OB) AB (OB OC) BC (OC OA) CA
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
2.5平面向量应用举例【很好】
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
=3
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
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D C
D C
b
A
特殊化
a
B
A B
探索：ABCD
2 2 2 2 中，该关系 AC DB 2( AB AD ) 是否依然成 2 2 2 2 立？ 即证 AC DB 2 AB AD
一般化
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
120º O
a +b +c = a +（b +c）=a +OD
又由三角形的知识知：三角形OBD B 为等边三角形，故 a与OD共线且模相等
b
c
C D
所以：OD = -a ，即有：
a+ b+ c =0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？ 分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下： 用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！ F1 θ F
=3
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
解：由题意知：V = V + V V合的方向 合 船 水 V船 其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为 θ P θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ V水 sinθ =
d
2
d l
2
=
3 60 2 80 2 5
60
所以：最小的船速应为： v船 = 5 ×
3 sinθ =5 × 5
Q
θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ，由题意， 船 合 船的实际速度为向量 水
θ
Q 瀑 布
V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
Q
提问:表示划船速度的向量怎样画? 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
F
F2
1
F2 θ cos θ 2
G
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？ G θ 答：在（*）式中，当θ =0º 时， cos 2 最大， F1 最小且等于 2 （2）F1 能等于 G 吗？为什么？ 答：在（*）中，当 cos θ = 1 即θ=120º 时，F1 = G 2 2
小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的 受力平衡，画出相关图形！ （2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！ （3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设AB a , AD b , AR r , 则 AC a b
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b 2 2 2 2 AC CB a b . a b a b a b 由此可得：
1 1 所以 r b m(a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
B m 1 即( n m )a ( n )b 0 2
n 2
n m 0 由于向量a , b 不共 线， m 1
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 2 2 2 2
练习； （1）如图所示，用两条成120º 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 10N ————。 (2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P 处，从这里起，在下游l =80m处河流有一处瀑 布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河 岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全 过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时， 划速方向如何？ 60m P 120º
D C
b
A
特殊化
a
B
A B
探索：ABCD
2 2 2 2 中，该关系 AC DB 2( AB AD ) 是否依然成 2 2 2 2 立？ 即证 AC DB 2 AB AD
一般化
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
120º O
a +b +c = a +（b +c）=a +OD
又由三角形的知识知：三角形OBD B 为等边三角形，故 a与OD共线且模相等
b
c
C D
所以：OD = -a ，即有：
a+ b+ c =0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？ 分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下： 用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！ F1 θ F
=3
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
解：由题意知：V = V + V V合的方向 合 船 水 V船 其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为 θ P θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ V水 sinθ =
d
2
d l
2
=
3 60 2 80 2 5
60
所以：最小的船速应为： v船 = 5 ×
3 sinθ =5 × 5
Q
θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ，由题意， 船 合 船的实际速度为向量 水
θ
Q 瀑 布
V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
Q
提问:表示划船速度的向量怎样画? 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
F
F2
1
F2 θ cos θ 2
G
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？ G θ 答：在（*）式中，当θ =0º 时， cos 2 最大， F1 最小且等于 2 （2）F1 能等于 G 吗？为什么？ 答：在（*）中，当 cos θ = 1 即θ=120º 时，F1 = G 2 2
小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的 受力平衡，画出相关图形！ （2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！ （3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设AB a , AD b , AR r , 则 AC a b
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b 2 2 2 2 AC CB a b . a b a b a b 由此可得：
1 1 所以 r b m(a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
B m 1 即( n m )a ( n )b 0 2
n 2
n m 0 由于向量a , b 不共 线， m 1
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 2 2 2 2
练习； （1）如图所示，用两条成120º 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 10N ————。 (2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P 处，从这里起，在下游l =80m处河流有一处瀑 布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河 岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全 过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时， 划速方向如何？ 60m P 120º