2017年春季新版北师大版九年级数学下学期1.1、锐角三角函数导学案10
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义，了解正弦、余弦、正切函数的概念，并会进行简单的计算。
这一节内容是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
在教材中，通过大量的实例，让学生感受三角函数在实际问题中的应用，从而培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于三角函数的定义和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例，理解三角函数的概念，并能够运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的概念。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的概念。
2.难点：运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生理解三角函数的定义和应用。
2.小组讨论：让学生在小组内讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级下册。
2.课件：相关的教学课件。
3.练习题：相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。
例如，一个直角三角形，一个锐角为30度，斜边长为1，求这个三角形的两条直角边的长度。
让学生思考，如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现三角函数的定义和概念。
引导学生理解，三角函数是描述直角三角形中，角度和边长之间关系的一种数学工具。
讲解正弦、余弦、正切函数的定义，并通过动画演示，让学生直观地理解这三个函数的定义。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师可以通过多媒体课件，展示解题过程，引导学生正确解题。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。
但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。
学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。
此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。
2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。
3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。
4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。
3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
北师大版九年级数学下册 第1章 1 锐角三角函数 教案
第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切课标要求【知识与技能】让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．【过程与方法】让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度】能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．【教学重点】1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、情景导入，初步认识你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1有什么关系？ (3)如果改变B 2的位置(如B 3C 3)呢？ (4)由此你得出什么结论？ 【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定．这个比叫做∠A 的正切．记作：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.当锐角A 变化时，tan A 也随之变化．(5)梯子的倾斜度与tan A 有关系吗？ 【归纳结论】在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与∠A 的邻边的比值总是唯一确定的．所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度．三、运用新知，深化理解 1．见教材P 3上例1.2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，C ＝5，求tan A 和tan B .解：tan A ＝BC AC ＝512，tan B ＝AC BC ＝125.3．若某人沿坡度i ＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米．解析：坡度i ＝3∶4，也就是说tan B ＝AC BC ＝34，∴设AC ＝3x ，BC ＝4x .根据勾股定理可求出x ＝2 m ，∴AC ＝6 m.答案：65．若三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的正切值．解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小．又由勾股定理可知该三角形为直角三角形．最小角的正切值＝7∶24. 【教学说明】巩固正切的概念，进一步落实课标要求．习题1至3是对基础知识的训练．习题4在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化．四、师生互动、课堂小结师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中．我们首先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形．这里体现出将实际问题中抽象出数学模型的建模思想．这样一来问题就转化为对直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上．经过大家的探讨，单一元素中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以．虽然多次遇挫，但大家没有放弃，而是主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度．同时还找到了倾斜角和倾斜角的对边与邻边的比之间的关系．课后作业1．布置作业：教材“习题1.1”中第1、2、4题．2．完成练习册中本课时的练习．第2课时正弦和余弦课标要求【知识与技能】1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值【过程与方法】通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度】通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯．【教学重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．【教学难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．教学过程一、情景导入，初步认识操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知1．想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)AC 1B 1A 和AC 2B 2A 有什么关系？B 1C 1B 1A 和B 2C 2B 2A呢？ (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢？你由此可得出什么结论？ (4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？ 请讨论后回答． 【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．∠A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即：sin A ＝∠A 的对边斜边∠A 的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即：cos A ＝∠A 的邻边斜边锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 变化时，相应的∠A 的正切、正弦、余弦值也随之变化．2．议一议：如图由图讨论梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系． 【归纳结论】sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡． 三、运用新知，深化理解 1．见教材P 5例2.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A 和tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ，∴AB ＝BC sin A ＝6×53＝10.又∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴cos A ＝AC AB ＝45，tan B ＝AC BC ＝43.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？你能得到什么结论？解：∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB.∴sin A ＝cos B .结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．4．已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD .(用正弦、余弦函数的定义证明)解：在Rt △ABC 中，sin A ＝BCAB在Rt △BCD 中，cos B ＝BDBC ，根据上题中的结论，可知：在Rt △ABC 中，sin A ＝cos B ．∴BC AB ＝BDBC，即BC 2＝AB ·BD .【教学说明】对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成．而后面两题，可以适当的加以提示、补充．四、师生互动，课堂小结通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导解决现实问题有什么意义，你发现的规律或公式在解决问题中起到了什么作用．课后作业1．布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题． 2．完成练习册中本课时的练习．。
北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数 教案(教学设计)
1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。
九年级数学下册1.1.1锐角三角函数教案(新版)北师大版
课题：1.1.1锐角三角函数教学目标：1．理解锐角三角函数正切的意义，会求直角三角形中的锐角正切值.2．经历探索直角三角形中边角关系的过程，发展学生数形结合的能力；通过有关正切值的计算，发展学生的计算能力．3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系.教学重点与难点：重点：掌握正切的定义，会在直角三角形中计算锐角的正切值.难点：利用正切值解决一些现实问题．课前准备：多媒体课件、助学卡.教学过程:一、我发现，我快乐活动内容：请观看学校几幅不同类型的楼梯图片.（多媒体出示图片）现代化的楼梯现代化的楼梯人性化化的楼梯问题：这几幅图片充分说明了我们学校是一所现代化的优质学校，那么同学们，你能用你独特的慧眼发现这些楼梯还有哪些不同之处吗？处理方式：问题由学生独立回答，各叙己见，其他学生作补充，教师要多安排几位学生回答.让学生充分认识到楼梯的倾斜度不同.设计意图：创设学生身边的图片，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步聚焦于楼梯的倾斜度不同，为新课的学习做好铺垫．二、我探究，我提高活动内容1：梯子倾斜度及判断.问题:哪个梯子更陡？你是怎样判断的？有几种方法？第1组 第2组第3组第4组处理方式：第1组、2组、3组的判断由学生独立完成，教师适当的给予点拨，前三组难度较小，学生能够独立完成，对于第4组的判断要让学生充分的进行讨论交流，教师让学生充分的发表自己的观点，最后师生共同归纳出判断梯子是否更陡，有如下方法：1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯子越陡.2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，比值越大，梯子越陡.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对梯子的倾斜程度从感性认识上升到理性认识．使学生认识到可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，对下面学习正切打好铺垫．活动内容2：我来帮忙：赵明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度；却因身高原因不能直接测量梯子顶端到墙脚的距离B 1C 1 ,进而无法说明梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？处理方式：学生各叙己见，在小组内充分的交流，有的小组形成的意见为：根据学生自己的身高所能达到的高度测量图中B 2C 2及AC 2,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度，这个比值与B 1C 1及AC 1的比值是相等的，教师引导学生根据三角形相似的知识得到此结论；教师通（1）（2） AC 1C 2B 2B 1过课件变化图中B 2C 2的位置，加深学生对这个结论的认识。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.1.1锐角三角函数 精品导学案(附答案)
九年级数学（下）第一章1.1.1 锐角三角函数导学案 班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、 学习目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、温故知新1．在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c.（1）边的关系：.（2）角的关系：.（3）边角关系？三、自主探究：阅读课本p1—4一．生活中的数学问题:梯子是我们日常生活中常见的物体.（1）在下图中，体重AB 和EF 哪个更陡？你是怎么判断的？ c ba 斜边∠A 的邻边∠A 的对边BA C想一想如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，计算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2，计算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形A B1C1和直角三角形A B2C2有什么关系？（2）B1C1AC1和B2C2AC2有什么关系？（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A正切，记作tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边总结：1.锐角的正切与锐角所在的三角形大小有关系吗？2.在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？ .3.什么是坡度？ .4.什么是坡角？ .5.坡度和坡角之间的关系是 .例1．下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解：甲梯中，tanα= ；乙梯中，tanβ=，∵αtanβtan，∴梯更陡．例2．在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.总结：在△ABC中，∠C=90°，则tanA和tanB的关系是。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学工具。它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的影子长度和角度，我们可以利用锐角三角函数计算出树的高度，展示其在实际中的应用。
其次，学生在小组讨论环节表现积极，但部分学生在分析问题和解决问题时仍显得不够自信。在今后的教学中，我要更加关注这部分学生的需求，多给予鼓励和指导，提高他们的自信心和解决问题的能力。
此外，实践活动环节，学生对实验操作表现出浓厚兴趣，但也有一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小组在操作过程中出现了一些错误。我觉得在下次实验操作前，可以提前进行一次简短的模拟演示，让学生更清楚地了解操作步骤和注意事项，从而提高实验的成功率。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数据分析观念：通过解决直角三角形计算问题，引导学生对数据进行整理、分析和处理，培养学生数据分析的思维方式和方法，提高解决实际问题的能力。
2017年春季新版北师大版九年级数学下学期1.1、锐角三角函数教案10
课题：1.1.2锐角三角函数教学目标：1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义．2．能够运用sin A、cos A表示直角三角形两边的比．3．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．4．理解锐角三角函数的意义．教学重点与难点：重点：理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明．能用sin A、cos A表示直角三角形两边的比．难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，提出问题，引入新课（导入语）师：上一节课，我们讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定．也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关．并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切．现在我们提出两个问题：问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？设计意图：通过复习回顾上节课学习的要点和梯子的倾斜问题入手，起到了温故知新的作用，也激起了学生探究活动的兴趣．二、探究学习，感悟新知活动内容1：正弦、余弦及三角函数的定义问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？处理方式： 引导学生小组内充分讨论和说理，合作探究，尝试解决这个问题．问题可细化处理如下：(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)111B C B A 和222B C B A 有什么关系？11AC B A 和22AC B A呢？ (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢？你由此可得出什么结论？ (4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？ 请同学们讨论后回答．学生得出结论: 只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关．（过渡语）师：我们会发现这是一个变化的过程．对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的．这是一种什么关系呢？生可能回答：函数关系．定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sin e )，记作sin A ，即sin A ＝斜边的对边A ．∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即 cos A ＝斜边的邻边A锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数(trigonometric function)． 处理方式：引导学生讨论，使学生理解，当直角三角形中的锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定．在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°＜A ＜90°；三个比值是因变量．当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？ 处理方式：小组讨论，然后学生踊跃发言，各抒己见． 结论：梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关:sinA 越大,梯子越陡;cosA 越小,梯子越陡.设计意图：通过对活动内容的探究，使学生掌握如何通过观察、猜想、操作等试验手段探究数学知识。
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【学习目标】
1.能够用sinA,cosA表示 直 角三角形中斜边与直角边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
2.会解简单的直角三角形
3.利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
【重点难点】
教学重点：理解正弦、余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的数学意义，
教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.
∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦。
记作cosA.即___________________
2、Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______, tanA= _______, cosA=_______.
3.在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______ ,sinB=_______.
（温馨提示:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系?）
【 当堂训练】———技能拓展应用，搭建晋级平台
1、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的 是( )
A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=
2、.Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA= ,那么tanA等于( )
【使用说明与学法指导】
阅读课本p7—p8，独立完成导学案；把不懂得地方用红笔勾画出来，上课与同学共同讨论解决。注意利用数形结合的思想分析问题和解决问 题.
【自主学习】——建立自信，克服畏惧，尝试新知
1、有关概念
正切的概念及表示
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作sin.即
5.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA= ，求:△ABC的周长和面积。
6、在梯形ABCD中AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB
7.如图,在菱形ABCD中,AE⊥B C于E,EC=1,sinB= , 求菱形的边长和四边形AECD的周长.
【合作探究】————升华学科能力，透析重难点
1、梯子的倾斜程度和正切、正弦、余弦有什么关系，画图加以说明
（例如可以再直角三角形中）
2、如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
3．如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，
cos A= ，求:AB=？, s inB=？
A. B. C. D.
3、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更徒些,则下列结论正确 的是( )
A.tanα<t anβ B.sinα<sinβ; C.cosα<cosβ；D.cosα>cosβ
4.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB
（老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.）