2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
【解析】分别求出 x 17 和 x 13 展开式中常数项和 x 的系数，由多项式乘法法则可
得所求系数． 【详解】
x 1 7 的展开式中的常数项为 C77 x0 17 1，x 的系数为 C76 16 7 ， x 13 的
【答案】808
【解析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到
驾驶员总人数.
【详解】
由题意可得抽样比为： 12 1 96 8
N
12 21 25 1
43
808
8
本题正确结果： 808
【点睛】
本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.
11．已知曲线 f (x) (ax 1) ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为 y x 1，则实数 a 的值为
_______.
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【答案】2
【解析】求导函数。由 f (1) 1 可求得 a 。
【详解】
由题意 f (x) a ln x ax 1 ， f (1) a 1，由 a 1 1得 a 2 。 x
故答案为：2。 【点睛】 本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。
）
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A． 2 2
B．1
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】先确定动点 P 的轨迹方程,根据动点 P 的轨迹方程可知：△ PAB 的 AB 边上的高，
当 PA=PB 时最大，这时 PA=PB= 3 ，即可求出△ PAB 的面积最大值．
【详解】 解：∵AA1 和 BB1 都⊥面 ABCD, ∴P 到直线 AA1，BB1 的距离就是 PA 和 PB,
A．若 p q 为假命题，则 p 与 q 均为假命题
B．已知向量 a (1, m 1) ， b (m, 2) ，则 a / /b 是 m 1的充分不必要条件
C．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1”的逆否命题是“若 x 1，则 x2 3x 2 0 ”
D．命题“ x (0,) ， x ln x 0”的否定是“ x (0, ) ， x ln x 0 ”
函数
f
x
x2 ex 1
不是偶函数,图象不关于 y 轴对称,所以 C 不正确;
当 x 0 时,
f (x)
e
x2 x
1
0
,
当 x 趋近于正无穷时, x2 和 ex
1都趋近于正无穷,但是
ex
1增大的速度大于
x2
增大的速度,所以
f
x
x2 ex 1
趋近于
0,故
D
不正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,
故选：B． 【点睛】 考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
8．若实数 a,b, c 成等差数列，动直线 l : ax by c 0 与圆 x2 y2 9 相交于
A, B 两点，则使得弦长 AB 为整数的直线 l 共有（ ）条
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A． 2
B． 3
C． 4
m 2 ，所以“ a / /b ”是“ m 1”的必要不充分条件，所以 B 不正确；
命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1的逆否命题为“若 x 1，则 x2 3x 2 0 ”，满足逆
否命题的形式0 ”的否定是“ x0 0, ，x0 lnx0 0 ”满足命题的
12．已知
F1
，
F2
分别为双曲线
C
:
x2 a2
－
y2 b2
＝1
(a
0，b
0)
的左、右焦点，点
P
是
以 F1F2 为直径的圆与 C 在第一象限内的交点，若线段 PF1 的中点 Q 在 C 的渐近线上，
则 C 的两条渐近线方程为__________． 【答案】y＝±2x 【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得 PF1⊥PF2，由三角形的中位线定 理可得 PF1⊥OQ，OQ 的方程设为 bx+ay＝0，运用点到直线的距离公式可得 F1（﹣c， 0）到 OQ 的距离，结合双曲线的定义可得 b＝2a，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】
将分母实数化，即
c di a bi
c dia a bia
bi bi
ac
bd ad
a2 b2
bci
(a,b,c, d
R)
．
【详解】
∵ z 2 i1 i 1 3 i ，∴ z z 1 .
2
22
【点睛】
本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
3．如图，在矩形 ABCD 中， E 为 CD 中点，那么向量 1 AB AD 等于 2
【答案】C
【解析】实数 a，b，c 成等差数列，所以 2b=a+c，
所以直线 l：ax+by+c=0 恒过定点 P（1，﹣2）；
D． 5
当直线 1 与 OP 垂直时，圆心 O 到定点 P 的距离 d= 5 ，
弦长|AB|=2 r2 d 2 =4，满足题意，此时直线有 1 条； 当直线 1 过圆心 O 时，弦长|AB|=2r=6，满足题意，此时直线有 1 条； 当弦长|AB|=5 时，对应的直线应有 2 条，如图所示； 综上，直线 l 被圆 x2+y2=9 所截得弦长为整数时， 对应的直线 l 有 4 条． 故选：C．
2m2
(m 2)2 4m
3m 4
1 1，再利用基本不等式即可得到答案. m
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【详解】
由已知， f (x) 1 m(1 2sin2 x) (m 2)sin x msin2 x (m 2)sin x m ，
2
2
令 sin x t [1,1]，则 y mt2 (m 2)t m ，因为1 m 2 ， 2
所以对称轴为 t 2 m 1 1 [0, 1] ，所以 2m m 2 2
g m
y t 1 1 m2
2m2
(m 2)2 4m
3m 4
1 m
1
2
3 m 1 1 4m
3 1，当且仅当
m 2 3 时，等号成立. 3
故选：D 【点睛】 本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用， 考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
∴PA+PB=2 3 ,所以动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,由椭圆的性质可知：
∵△PAB 的 AB 边上的高,当 PA=PB 时最大,这时 PA=PB= 3 ,
最大的高= PA2 1 AB2 = 2 , 4
∴最大面积= 1 ×2× 2
2=
2．
故选 C． 【点睛】
本题考查△ PAB 的面积最大值,考查点到直线距离的计算,属于中档题．
【答案】B 【解析】利用复合命题的真假判断 A 的正误；充要条件判断 B 的正误；四种命题的逆 否关系判断 C 的正误；命题的否定形式判断 D 的正误． 【详解】
解：若“ p q ”为假命题，则 p 与 q 均为假命题，正确；
已知向量 a 1, m 1 ， b m, 2 ，则“ a / /b ”可得 m2 m 2 0 ，解得 m 1或
否定形式，正确；
故选 B． 【点睛】
本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件
等知识，是基本知识的考查．
5．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,动点 P 在 ABCD 内,且到直线 AA1，BB1 的
距离之和等于 2 3 ,则△ PAB 的面积最大值是（
D．{x | 0 x 3}
【解析】【详解】试题分析：
B
{y
|
y
2x1,
x
0}, B
{y
|
y
1} 2
UB
{x
2020年高考模拟天津市北辰区高考数学第一次诊断测试试卷 含解析
2020年高考数学一诊测试试卷一、选择题（共9小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞06．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题（共6小题）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为．（用数字填写答案）13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．三、解答题（共5小题）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．参考答案一、选择题（共9个小题）1．若集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜1．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2．∴“|x﹣1|＜1”是“x2﹣x﹣2＜0”的充分不必要条件．故选：A．3．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R），则下列结论中错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝解：f（x）＝sin x+cos x＝．f（x）的一个周期为2π，故A正确；f（x）的最大值为2，故B正确；由＜x＜，得＜＜π，∴f（x）在区间（）上单调递减，故C 正确；f（x+）＝，取x＝时，函数值为，故D错误．故选：D．4．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）解：函数f（x）＝的单调递增区间，即函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数y＝x2﹣9在满足y＞0 的条件下，y的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：D．5．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0解：等差数列{a n}的公差d＞0，若a3，a4，a8成等比数列，可得a3a8＝a42，即（a1+2d）（a1+7d）＝（a1+3d）2，化为5d+3a1＝0，由d＞0，可得a1＜0，a1d＜0，S4＝4a1+6d＝﹣d+6d＝﹣d＜0，则dS4＜0，故选：B．6．已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解：离心率为的双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x﹣3y＝0，抛物线y2＝12x的准线：x＝﹣3，可得P（﹣3，﹣4），双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），满足PF1⊥PF2，（3﹣c，4）•（3+c，4）＝0，解得c＝5，则a＝3；b＝4；舍去的双曲线方程为：＝1．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（）A．（﹣3，7）B．（﹣4，5）C．（﹣7，3）D．（﹣2，6）解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，又f（x）为偶函数，故f（x）＝x2+4x（x＜0），①当x+2≥0，即x≥﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2﹣4（x+2）＜5，解得﹣3＜x＜3，此时﹣2≤x＜3；②当x+2＜0，即x＜﹣2时，不等式f（x+2）＜5等价为（x+2）2+4（x+2）＜5，解得﹣7＜x＜﹣1，此时﹣7＜x＜﹣2；综上，不等式的解集为（﹣7，3）．故选：C．8．函数，若方程f（x）＝x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）解：由函数，可得f（x）的图象和函数y＝x+a有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选：C．9．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cos x，令x＝，则f′（）＝2，∴f′（x）＝﹣2cos x，当x∈时，≥2，2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时，＞0，2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为﹣2．解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为108石解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，设这批米内夹谷约为x石，则，解得x＝108（石）．∴这批米内夹谷约为108石．故答案为：108石．12．在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为20．（用数字填写答案）解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为2π．解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V＝2×＝2π．故答案为：2π．14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的取值范围[﹣4，2]．解：由，可得x+2y＝（x+2y）（）＝4++≥4+2＝8，而x+2y≥m2+2m恒成立⇔m2+2m≤（x+2y）min，所以m2+2m≤8恒成立，即m2+2m﹣8≤0恒成立，解得﹣4≤m≤2．故答案为：[﹣4，2]．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝（），＝，则＝．解：由＝（），＝，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC 的三等分点靠近点D处，由菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，得：||＝2，∠ABD＝30°，则＝（）•（）＝﹣+＝×12﹣+×＝，故答案为：．三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，c＝3，cos A＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，又a＝4，c＝3，cos A＝，2b2+3b﹣14＝0，解得b＝2；（Ⅱ）由cos A＝﹣，所以sin A＝，由正弦定理得：，得sin B＝，又0，所以cos B＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝2cos2B﹣1＝，所以sin（2B+）＝+＝，故答案为：．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，AB∩QA＝A，CD∩PD＝D，∴平面ABP∥平面DCP，∵QB⊂平面ABQ，∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，0，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设平面PBQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），设二面角C﹣PB﹣Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝﹣＝＝﹣，∴θ＝，∴二面角C﹣PB﹣Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，设DH＝t，则H（0，0，t），A（2，0，0），＝（﹣2，0，t），＝（2，2，﹣2），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝，∴线段DH的长为．18．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，F1，F2分别为左右焦点，B1为短轴的一个端点，△B1F1F2的面积为（Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点F1，且＝0，求的取值范围．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝2c，b＝c，△B1F1F2的面积的面积S＝×2c×b＝，则bc＝，解得：a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F（﹣1，0），由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，设直线AC：y＝k（x+1），且k≠±，A（x1，y1），C（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，则|AC|＝•＝，将﹣代入上式可得|BD|＝，则＝＝+•，k2≠3，由k2＞0，则＜+•＜，k2≠3∴的取值范围（，）∪（，）．19．已知等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和P n．（3）设，n∈N*，{d n}的前n项和T n，求证：．解：（1）等比数列{a n}的各项均为正数，设公比为q，q＞0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4＝2a5+4a6，即a4＝a4q+2a4q2，即2q2+q﹣1＝0，解得q＝（﹣1舍去），由，可得a1q3＝4（a1q2）2，即a1＝a12，解得a1＝，则an＝•（）n﹣1＝（）n；数列{b n}的前n项和，n∈N*，且b1＝1，可得n≥2时，S n﹣1＝b n﹣1，又，两式相减可得b n＝b n﹣b n﹣1，化为＝，则b n＝b1••…＝1••…＝n，上式对n＝1也成立，则b n＝n，n∈N*；（2）＝，当n为偶数时，前n项和P n＝（1+3+5+…+n﹣1）+（++…+）＝（1+n﹣1）（）+＝+（1﹣）；当n为奇数时，P n＝P n﹣1+n＝+（1﹣）+n；（3）证明：＝＝2[﹣]，则前n项和T n＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＜2×＝，即有．20．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．解：（I）f′（x）＝a﹣，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）a＝1时，f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝，（x＞0）．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）＝﹣1．x→0+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a＝1时，对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+＝g（x），g′（x）＝+＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（1，+∞），u′（x）＝1﹣＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝2﹣2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+＝x0﹣2+＝x0+﹣1∈（，），∵4k＜，k∈一、选择题．∴k的最大值为0．。
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。
天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试数学试题及参考答案
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为(A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2xy -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是BCDEA(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 是虚数单位，则21i=+______. （11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y+=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.CD MP（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学 参考答案二、填空题 每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ， 所以32cos =B . ..........................7分因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x |4−xx+1≤0}，那么集合A ∩(∁U B)等于( )A. [−2,4)B. (−1,3]C. [−2,−1]D. [−1,3] 2. 设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10等于( )A. 5B. 10C. 20D. 403. “cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的( )A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件4. 某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为( )A. 32πB. 64√3πC. 64√23πD. 128√2π5. 2018年9月7日，《我不是药神》正式下线，累计票房30.98亿.为了解《我不是药神》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100名此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间[10,60]内)，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数约为( )A. 33B. 34C. 35D. 36 6. 三个数a =0.67,b =70.6,c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. c <a <bC. b <a <cD. c <b <a7. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( )A. 18πB. 12πC. 34πD. 38π8. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√1059. 若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设复数z 满足(1−i)z =1+i(i 为虚数单位)，则z =__________． 11. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答)12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)=________．13. 已知圆C ：x 2+y 2−8y +12=0，直线l ：ax +y +2a =0，若直线l 与圆C 相切，则实数a的值为__________．14. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 15. 若△ABC 的面积为2√3，且A =π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cosA−2cosCcosB=2c−a b．(1)若C =A +π3，求角A 的大小；(2)若cosB =14，△ABC 的周长为5，求b 的值．17. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =AD =2，DC =3，E 在棱PC 上且PE =2EC ． (1)证明：BE//平面PAD ；(2)若PD ⊥平面ABCD ，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为2√55，求二面角E −BD −C 的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．19.已知数列{b n}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，b n=1−3log2(2a n)(n∈N∗).(1)求证：{a n}是等比数列；(2)若数列{c n}满足c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+1)−x．x+1(1)求f(x)的单调区间；(2)求曲线y=f(x)的极值；(3)求证：对任意的正数a与b，恒有lna−lnb≥1−b．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题． 解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出A ∩(∁U B)． 解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， B ={x |4−xx+1≤0}={x|x <−1或x ≥4}， ∴∁U B ={x|−1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤3}， 故选D ．2.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，∴log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=log 3(a 1a 2⋯a 10)=log 3(a 3a 8)5 =5log 3(a 3a 8)=5log 381=20， 故选：C ．利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为5log 3(a 3a 8)，再把已知的条件代入运算求得结果．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质的应用，属于基础题．3.答案：A解析：解：由cos2α=−√32，得2α=2kπ±5π6，即α=kπ±5π12,k ∈Z ， 所以α=kπ±5π12,k ∈Z ，是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故“cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故选：A ．利用充分条件和必要条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法： ①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．4.答案：C解析：本题考查圆柱的体积、圆柱的侧面积及球的体积，属于中档题． 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，根据题意可得，求得r ，h 的值，然后求得圆柱的外接球的半径，进而利用球的体积公式即可求得结果． 解：设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ， ∵柱的体积、侧面积都为16π，，解得{r =2ℎ=4，所以圆柱的外接球的半径R =√r 2+(ℎ2)2=√4+4=2√2，因此该圆柱的外接球的体积为．故选C ．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，求出这100人年龄的中位数．【解答】解：年龄在区间[10,30)内的频率为(0.014+0.024)×10=0.38， 年龄在区间[30,40)内的频率为0.028×10=0.28， 故中位数在区间[30,40)内，设中位数为x ， 则0.38+(x −30)×0.028=0.5，所以x =30+307≈34，故选B ．6.答案：B解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵0<a =0.67<1，b =70.6>1，c =log 0.76<0， ∴c <a <b ， 故选B ．7.答案：D解析：解：将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数y =2sin[2(x −φ)+π4]=2sin(2x +π4−2φ)的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y =2sin(4x +π4−2φ)的图象； 再根据所得图象关于直线x =π4对称，可得π+π4−2φ=kπ+π2(k ∈z)，即φ=3π8−kπ2k ∈z ，∴φ的最小值为3π8， 故选：D ．由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a ，b 的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ，求解双曲线的离心率即可． 解：抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)，可得a 2+b 2=1， ∵两条渐近线和圆(x −1)2+y 2=a 2均关于x 轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay +bx =0与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ， ∴圆心到直线的距离为d =√a 2+b 2=bc =b ，圆的半径为a ， ∴a 2=b 2+(b 2)2=54(c 2−a 2)=54−54a 2， 解得a =√53，所以双曲线的离心率为ca =√53=3√55．故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题． 根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点， 函数y =|(12)x −1|的图象如图：若其图象与直线y =2a 有2个交点，必有0<2a <1， 即0<a <12，即a 的取值范围为(0,12)； 故选A ．10.答案：i解析：本题考查复数的运算，题目基础． 解：由题设得z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i ． 故答案为：i ．11.答案：−40解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 在(2x 2−1x )5的展开式通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得x 的系数．解：(2x 2−1x )5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·25−r ·x 10−2r ·(−1)r ·x −r =(−1)r ·25−r ·C 5r ·x 10−3r ，令10−3r =1，解得r =3，故x 的系数为−22·C 53=−40，故答案为：−40．12.答案：950；1225。
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题一、单选题1．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】{}{}()1246[15]124A B C ⋃⋂=⋂-=，，，，，， ,选B. 【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．设a ∈R ，则“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断. 【详解】|a ﹣1|≤1，解得：0≤a ≤2，﹣a 2+3a ≥0，解得：0≤a ≤3， ∴“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的充分非必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.3．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆybx a =+上,ˆ9b =,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D. 【考点】回归直线恒过样本点的中心(),x y .5．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小. 【详解】1sin62a π==Q , 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f （x ）2x x e e x--=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用()f x 的奇偶性可排除A ，由x ＞0时，f （x ）函数值的正负可排除D ，当x →+∞时，f （x ）函数值变化趋势可排除C. 【详解】根据题意，函数f （x ）2x xe e x--=，其定义域为{x |x ≠0}， 有f （﹣x ）2x xe e x --==-（2x x e e x--）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A ， 又由x ＞0时，有e x ＞e ﹣x ，即有e x ﹣e ﹣x ＞0，则有f （x ）＞0，排除D ，当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除C ； 故选：B ． 【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数值等，本题是一道基础题.7．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．8．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法． 9．已知函数()21,70ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，()22g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()()20f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(][),13,-∞-+∞U C ．[]1,3-D ．(],3-∞【答案】C【解析】()22g x x x =-Q ，设a 为实数，()2224,g a a a a R ∴=-∈，224,,y a a a R Q =-∈由函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，可得()()276,2,f f e--==-画出函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象，由函数()f x 的图象可知，()f x 值域为[]2,6,-Q 存在实数m ，使()()20f m g a -=，22246a a ∴-≤-≤，即13a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,3-，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题10．若复数()13z i i +=-，则z =______.【解析】先通过运算化简3121iz i i-==-+，再利用求模公式求解. 【详解】 因为3121iz i i-==-+，所以z =.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模的求法，属于基础题.11．二项式82x ⎛⎝的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答） 【答案】112【解析】利用二项式定理的通项公式即可求解． 【详解】 通项公式T r+1()()()r48r 8r8r r r r 388C 2x C 21x ---⎛==- ⎝,令84r3-=0，解得r ＝6 ∴常数项6282==ð112．故答案为112 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题．12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4【解析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可. 【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=V 4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.三、双空题13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________； 若X 表示摸出黑球的个数，则EX =________． 【答案】35 45【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是11232563P 105C C C ===n ； X 可取：0,1,2,.()23253P 010C X C ===,()1123256 P 110C C X C ===n ,()22251P 210C X C === 36140121010105EX =⨯+⨯+⨯=, 14．已知a ＞0，b ＞0，当（a +4b ）21ab+取得最小值为_____时，a +b ＝_____． 【答案】854【解析】由a +4b 4ab ≥可得（a +4b ）21116ab ab ab+≥+，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件. 【详解】因为a ＞0，b ＞0，所以a +4b 4ab ≥，当且仅当a ＝4b 时取等号， 所以（a +4b ）2≥16ab ， 则（a +4b ）211116216ab ab ab ab ab+≥+≥⋅=8， 当且仅当4116a bab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩即a ＝1，b 14=时取等号，此时取得最小值8，a +b 54=． 故答案为：（1）8；（2）54【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.15．如图，在等腰ABC V 中，3AB AC ==，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u r u u u r，则tan A =__________，AB BC ⋅=u u u r u u u r __________.【答案】43 185- 【解析】,DN ME u u u r u u u r 用基底,AB AC u u u r u u u r表示，根据已知求出cos A ，进而求出tan A ，再将BC uuu r用基底,AB AC u u u r u u u r 表示，即可求出AB BC ⋅u u u r u u u r .【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，21213333DN ME AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r225225cos 41999AB AC AB AC A =⋅--=-=-u u ur u u u r u u u r u u u r34cos ,0,sin 525A A A π∴=∴<<==，sin 4tan cos 3A A A ==，2()AB BC AB AC AB AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 231833355=⨯⨯-=-.故答案为：43；185-.【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，也考查了计算求解能力，属于基础题.四、解答题 16．已知函数21()2cos 2f x x x =--． （1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合． （2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解． （2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值． 【详解】解：（1）23131cos21()sin 2cos sin 2sin(2)12226x f x x x x x π+=--=--=--Q ， ∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f Q （C ）0=， sin(2)106C π∴--=，又0C π<<Q ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=， sin 2sin B A =Q ，由正弦定理可得：2b a =①，又3c =，∴由余弦定理可得：222(3)2cos3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2BC BB ==，12BCC π∠=，AB ⊥侧面11BB C C .（Ⅰ）求直线1C B 与底面ABC 所成角正切值； （Ⅱ）在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位置， 使得1EA EB ⊥（要求说明理由）； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2AB =，求二面角11A EB A --的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，理由见详解；（Ⅲ）二面角11A EB A --的大小为45°. 【解析】方法一：(Ⅰ) 可得1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，由已知可得1tan C BC ∠的值；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，可得190BEB ︒∠=，即1B E BE ⊥.可得1AB EB ⊥，1EB ∴⊥平面ABE ，1EA EB ⊥；（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =，连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，可得OGF ∠为二面角11A EB A --的平面角，可得二面角11A EB A --的大小.方法二：(Ⅰ)以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C ，可得1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r，可得sin θ的值，可得tan θ的值；（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，可得y 的值，可得E 的位置；（Ⅲ）可求得面1AEB 的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,可得二面角11A EB A --的大小.【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -，1C C ⊥平面ABC,∴1C B 在平面ABC 上的射影为CB. ∴1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，1112,1,tan 2CC BB BC C BC ===∴∠=Q ，即直线1C B 与底面ABC 所成角的正切值为2. （Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥.1111,1CE EC BC B C ====Q ,1145BEC B EC ︒∴∠=∠=， 190BEB ︒∴∠=，即1B E BE ⊥.又AB ⊥Q 平面11BB C C ，1EB Q 平面11BB C C 1AB EB ∴⊥.BE AB B ⋂=Q ，1EB ∴⊥平面ABE,EA ⊂ 平面ABE ，1EA EB ⊥.（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =， 1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q ,连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，则//OG AE ，且1112OG AE AE EB OG EB =⊥∴⊥Q ， OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角.111111,22222OG AE FG A B OF BE ======Q ，45OGF ︒∴∠=， ∴二面角11A EB A --的大小为45°.另解：以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C .（Ⅰ）1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r.设1C B 与面ABC 所成角为θ，则1111sin BB C B BB C B θ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r tan 2θ∴=.（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，得1y =，所以E 为1CC 的中点.（Ⅲ）由AB =1(0,0,2),A A ，又(1,1,0)E ,可求得面1AEB的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,设二面角11A EB A --的大小为θ，则1212|cos |2n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r . ∴二面角11A EB A --的大小为45°. 【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.18．已知点A （12的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值（3）△ABD 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（1）22124x y +=．（2）见解析（3． 【解析】（1）由已知解方程组222222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）设出直线BD 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决； （3）将△ABD 面积表示成12ABD S BD d ==V ，再利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）∵点A （1）是离心率为2的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一点，∴22222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a＝2，b =c = ∴椭圆C 的方程为22124x y +=．（2）证明：设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线BD 的方程为y t =+，直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD+kAB 121212121111y y t t x x x x -+-+=+=+---- ()12121221x x t x x x x ⎡⎤+-=+⎢⎥-++⎣⎦，（）联立222244024y t x t x y ⎧=+⎪++-=⎨+=⎪⎩，得，∴△＝﹣8t 2+64＞0，解得﹣22＜t ＜22，1222x x t +=-，﹣﹣﹣﹣①，21244t x x -=-----②，将①、②式代入式整理得()1212122221x x t x x x x ⎡⎤+-+=⎢⎥-++⎣⎦0，∴k AD +k AB ＝0，∴直线AB ，AD 的斜率之和为定值．（3）|BD |21(2)=+|x 1﹣x 2|226486382t t -=⨯=-，设d 为点A 到直线BD ：2y x t =+的距离，∴3t d =，∴()22128224ABD S BD d t t==-≤V ，当且仅当t ＝±2时取等号， ∵±2()2222∈-，，∴当t ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为2．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.19．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若0λ>，且对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2nn a =,21n b n =+；（2）()12122n n +-⋅+；（3）(),2-∞.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据条件2432a a a =-可求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n a ，再由对数的运算可求出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和为n S ； （3）利用数列单调性的定义求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最大项的值为32，由题意得出关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，然后利用参变量分离法得出122k λλ<+，并利用基本不等式求出122λλ+在0λ>时的最小值，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得22222a a q a q =-，20a ≠Q ，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >Q ，解得2q =，112n n n a a q -∴==. 2212log 12log 221n n n b a n =+=+=+；（2）由（1）可得()212nn n n c a b n =⋅=+⋅，()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，可得()()23123252212212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ，上式-下式，得()123132222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L ()()()()1111181262126228212221212n n n n n n n n -++++-=+-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，因此，()12122n n S n +=-⋅+；（3）212n n n b n a +=Q，()()1111123422321122222n n n n n n n n n n b b n n na a ++++++-+++-∴-=-==， n N *∈Q ，120n ∴-<，即1111202n n n n n b b n a a +++--=<，则有11n n n nb ba a ++<.所以，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1132b a =.由题意可知，关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，122k λλ∴<+.由基本不等式可得1222λλ+≥=，当且仅当12λ=时，等号成立，则122λλ+在0λ>时的最小值为2，2k ∴<， 因此，实数k 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）92ln 2(1,]10+. 【解析】（1）求()f x '，当0a =时，求出0f x f x '()>0,'()<的解，进而得到单调区间，求出极小值，最小值；（2）求出()0f x '=的根，对a 分类讨论，求出0f x f x '()>0,'()<的解，即可得出结论；（3）求出(),()g x g x '，得到()g x 在1[,)2+∞单调区间，求出()g x 在[,]m n 的最值，转化为()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根,m n ，分离参数得到()22g x k x +=+，求出y k =与函数()21()22g x y x x +=≥+图象至少有两交点时，k 的取值范围.【详解】（1）1()1f x ax a x'=-++-， 当0a =时，11()1x f x x x-'=-=， ()0,01,()0,1f x x f x x '<<<'>>，()f x ∴单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，1x ∴=时，()f x 取得极小值，也是最小值， ()f x ∴的最小值为(1)1f =；（2）当0a >时，1(1)(1)()1x ax f x ax a x x--'=-++-=-， 令()0,1f x x '==或1x a=， 若1a =时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 单调递减区间是(0,)+∞，若1a >时，11a <，当10x a<<或1x >时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,),(1,)a+∞，递增区间是1(,1)a ，若01a <<时，11a >，当01x <<或1x a>时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a， 综上，若1a =时，函数()f x 的递减区间是(0,)+∞，无递增区间 若1a >时，函数()f x 的递减区间是1(0,),(1,)a +∞，递增区间是1(,1)a， 若01a <<时，函数()f x 的递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a；（3）当0a =时，设函数2()()ln g x xf x x x x ==-，则()2ln 1g x x x '=--，设1()(),()2(0)h x g x h x x x=''=->， 当12x ≥时，()0,()h x g x '≥'为增函数，1()()ln 20,()2g x g g x ∴'≥'=>∴在1[,)2+∞为增函数，()g x ∴在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，Q 函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，()(2)2,()(2)2g m k m g n k n ∴=+-=+-，()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根1,,()2m n m n >≥， 即()22g x k x +=+，令2ln 21()()22x x x F x x x -+=≥+，2232ln 4()(2)x x x F x x +--'=+，令21()32ln 4()2G x x x x x =+--≥， 则2(21)(2)1()230,()2x x G x x x x x -+'=+-=≥≥恒成立， ()G x ∴在1[,)2+∞递增，1()0,(1)02G G <=，当1)[1,2x ∈时，()0,()0G x F x <∴'<，当(1,)x ∈+∞时，()0,()0G x F x >'>，所以()F x 在1[,1)2单调递减，在(1,)+∞单调递增，当,()x F x →+∞→+∞，192ln 2(1)(),1210F k F k +∴<≤<≤，即实数k 的取值范围是92ln 2(1,]10+【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，零点，构造函数是解题的关键，考查了分类讨思想及逻辑推理、运算求解能力，属于较难题.。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
天津市红桥区2020届高三下学期高考第一次模拟考试数学试题 Word版含解析
【答案】
【解析】
【分析】
求 的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.
【详解】
如图所示,设 ，
由题，得 ,
又 ，所以 ，则点C在以AB为直径的圆上,
取AB的中点为M，则 ，
设以AB为直径 圆与线段OM的交点为E，则 的最小值是 ，
因为 ，
又 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量 综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想。
三、解答题：本大题共5个小题，共75分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16。在 中，内角 ， , 所对的边分别是 ， ， , ， ， ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
13。曲线 在点 处的切线方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.
【详解】因为 ,所以 ，从而切线的斜率 ,
所以切线方程为 ,即 。
8.已知数列 满足 ，且 ,则数列 的通项公式为（ ）
A。 B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ,所以 ,即 ，所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列，所以 ，即 ，所以数列 的通项公式是 ，故选D．
考点：数列的通项公式．
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ )
A. B.
（Ⅰ)求 的值;
天津市河北区2020届高三高考数学一模试卷 Word版含解析
2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6}，则集合∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{5}B ．{1，5}C ．{2，4}D ．{1，2，3，4，6}2．已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√34．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ） A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cos ωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二.填空题10．已知复数z =1−i1+i（i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．在（2x √x）5的展开式中，x 2的系数为 ． 12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X ，则P （X ＝2）＝ ．数学期望E （X ）＝ ．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O，则OA→•OB→=．15．某同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√1010？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈R ）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值； （Ⅲ）求证：当x ＞0时，e x ﹣xlnx +2x 3﹣x 2+x ﹣1＞0．参考答案一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4，6}【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，所以A∪B＝{1，2，3，4，6}；又集合U＝{1，2，3，4，5，6}，所以集合∁U（A∪B）＝{5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解a2＞4，得出a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．解：∵a2＞4，∴a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可． 3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√3【分析】利用弦长公式表示出|MN |，求出a 的值即可． 解：易得直线斜率存在且不为0， 则圆心到直线l 的距离d =√a +3，则弦长|MN |＝2√r 2−d 2=2√4−4a 2+3=2√3，解得a ＝±1，则斜率k ＝±√3=±√33， 故选：B ．【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．4．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a ，然后求出b ．可得双曲线C 的方程与渐近线方程．解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0） 根据定义有2a ＝|√(2−2)2+(3−0)2−√(2+2)2+(3−0)2|． ∴a ＝1由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3． ∴所求双曲线C 的渐近线方程为：y ＝±√3x ．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力． 5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f （0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除选项A ，B ，D ，由此得出正确选项C ．解：由函数图象可知，f （x ）为偶函数，故可排除选项A ； f （0）＞0，故可排除选项B ；又当x ＞0时，函数图象与x 轴有两个交点，而方程e x ＝x 无解，故可排除D ． 故选：C ．【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，则有c ＜a ＜b ， 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ）A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π【分析】由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥F ﹣DCE 的外接球半径，从而得到三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积．解：由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，则正四面体所在的正方体的棱长为√22， 所以外接球的半径为12×√3×√22=√64，所以外接球体积为：43×π×(√64)3=√6π8，故选：D ．【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cosωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sin ωx 2−2√3cosωx 2）+√3=sin ωx −√3cos ωx ＝2sin（ωx −π3），（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）＝2sin ωx 的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω•π4≤π2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x ＝1是函数g （x ）的一个零点，等价于当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可． 解：由g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ＝0得f （x ）＝a （x ﹣1）， ∵f （1）＝1﹣3+2＝0，∴g （1）＝f （1）﹣a +a ＝0，即x ＝1是g （x ）的一个零点， 若g （x ）恰有1个零点，则当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，即a =f(x)x−1，没有根，当x＜1时，设h（x）=f(x)x−1=x2−3x+2x−1=(x−1)(x−2)x−1=x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x）=f(x)x−1=lnxx−1，h′（x）=1x⋅(x−1)−lnx(x−1)2＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a=f(x)x−1，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.填空题10．已知复数z=1−i1+i（i为虚数单位），则|z|＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，∴|z|＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11．在（2x 1√x）5的展开式中，x2的系数为80．【分析】利用通项公式即可得出．解：（2x 1√x）5的展开式中，通项公式T r+1=∁5r（2x）5﹣r1√x)r=（﹣1）r25﹣r∁5r x5−32r，令5−32r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23∁52=80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝15．数学期望E（X）＝1．【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．解：所选3人中女生人数为X，X＝2，就是所选3人中女生人数为2，则P（X＝2）=C41C22C63=15；随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X＝0）=C43C20C63=15，P（X＝1）=C42C21C63=35；P（X＝2）=C41C22C63=15；所有随机变量ξ的分布列为：X 012P15 3515所以ξ的期望E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1． 故答案为：15；1．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为√23 ． 【分析】由a ，b 为正实数，且a +b ＝2，变形可得a 2+2a+b 2b+1=2a+a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a+1＝f （a ），0＜a ＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 解：∵a ，b 为正实数，且a +b ＝2，∴a 2+2a+b 2b+1=a +2a +b 2−1+1b+1=2a +a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a +1＝f （a ），0＜a ＜2． f ′（a ）=−2a 2+1(a−3)2=−(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a 2−3a)2， 令f ′（a ）＞0，解得6−3√2＜a ＜2，此时函数f （a ）单调递增；令f ′（a ）＜0，解得0＜a ＜6−3√2，此时函数f （a ）单调递减．∴当且仅当a ＝6﹣3√2时函数f （a ）取得极小值即最小值， f(6−3√2)=6+2√23． 故答案为：6+2√23． 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ，则OA →•OB →=34．【分析】作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；根据已知条件得到OB →=−34BE →以及OA →=−12AD →；再代入数量积即可求解结论．解：△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ， 作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；∵GE DC=AE AC =13=OE OB；∴OB →=−34BE →；∵DF ∥BE ，D 为中点，故DC BD=EF FC=1；又因为AE →=12EC →，∴AO OD=AE EF =1；∴OA →=−12AD →；∴OA →•OB →=−12AD →•（−34BE →）=38AD →•BE →=38×12（AB →+AC →）•（BA →+AE →） =316（AB →+AC →）•（−AB →+13AC →）=316（−AB →2−23AB →•AC →+13AC →2）=316（﹣22−23×2×2×12+13×22）=34． 故答案为：34．【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．15．某同学在研究函数f （x ）=x1+|x|（x ∈R ）时，分别给出下面几个结论： ①f （﹣x ）+f （x ）＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ④函数g （x ）＝f （x ）﹣x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ①②③ ．【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确． 解：①f(−x)=−x1+|x|=−f(x)∴正确 ②当x ＞0时，f （x ）=11+1x∈（0，1） 由①知当x ＜0时，f （x ）∈（﹣1，0） x ＝0时，f （x ）＝0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）=11+1x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cos B与B的值；（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值．解：（Ⅰ）△ABC中，2c=√3a+2b cos A，由正弦定理得2sin C=√3sin A+2sin B cos A；又C＝π﹣（A+B），所以2（sin A cos B+cos A sin B）=√3sin A+2sin B cos A，所以2sin A cos B=√3sin A；又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以cos B=√32；又B∈（0，π），所以B=π6；（Ⅱ）若cos A=14，A∈（0，π），所以sin A=√1−cos2A=√154，所以sin2A＝2sin A cos A＝2×√154×14=√158，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×116−1=−78，所以sin（2A+B）＝sin2A cos B+cos2A sin B =√158×√32−78×12=3√5−716；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，由bsinB =asinA，得a sin B＝b sin A=√3，所以a=√3sinB=√312=2√3；所以b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝49+12﹣2×7×2√3×√32=19，解得b=√19．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．10【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB ∥面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量m→=（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量10n→=（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，又∵E为PD的中点，∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，∴PB∥面AEC．（Ⅱ）证明：∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，且PA ＝AB ＝3，AC ＝2，E 是棱PD 的中点． ∴以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P （0，0，3），C （2，0，0），A （0，0，0），D （2，﹣3，0），E （1，−32，32），AE →=（1，−32，32），AC →=（2，0，0），PC →=（2，0，﹣3）， 设平面AEC 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{AE →⋅m →=x −32y +32z =0AC →⋅m →=2x =0，取y ＝1，得m →=（0，1，1），设直线PC 与平面AEC 所成角为θ， 则直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为：sin θ=|PC →⋅m →||PC →|⋅|m →|=13⋅2=3√2626．（Ⅲ）假设在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010， 设M （a ，b ，c ），PM →=λPB →，B （0，3，0），则（a ，b ，c ﹣3）＝λ（0，3，﹣3）， 解得a ＝0，b ＝3λ，c ＝3﹣3λ，M （0，3λ，3﹣3λ），AC →=（2，0，0），AM →=（0，3λ，3﹣3λ）， 设平面ACM 的法向量n →=（p ，q ，t ），则{n →⋅AC →=2p =0n →⋅AM →=3λq +(3−3λ)t =0，取q ＝1，得n →=（0，1，λλ−1），∵二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010．∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1010，解得λ=13或λ=23．∴在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010，且PM →=13PB →或PM →=23PB →．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（I ）由a 2+1是a 1，a 3的等差中项，可得2（a 2+1）＝a 1+a 3，又a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14，联立解得，即可得出． （II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．利用错位相减法即可得出． 解：（I ）∵a 2+1是a 1，a 3的等差中项，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3，∴a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14， 化为2q 2﹣5q +2＝0，q ＞1，解得q ＝2，∴a 1＝2． ∴a n ＝2n ．（II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2+2•22+3•23+……+n •2n ． 2T n ＝2×2+2•23+……+（n ﹣1）•2n +n •2n +1． ∴﹣T n ＝2+22+23+ (2)﹣n •2n +1=2(2n−1)2−1−n •2n +1． 解得：T n ＝（n ﹣1）•2n +1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b 的值，再结合离心率，求出a 的值，从而可得出椭圆的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段AB 的中点Q 的坐标，并写出线段AB 中垂线l ′的方程，然后求出直线l '与y 轴的交点坐标，列关于k 的方程，求出k 的值，即可得出直线l 的方程．解：（1）由题意得e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14，即a 2=43b 2，由x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b 2相切得b =√6√2=√3，∴a ＝2．因此，椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）由题意知，直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），k ≠0，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），设线段AB 的中点为Q （x 0，y 0），联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，消去y 并整理得（4k 2+3）x 2﹣32k 2x +64k 2﹣12＝0．由韦达定理得x 1+x 2=32k24k 2+3，又△＝（﹣32k 2）2﹣4（4k 2+3）（64k 2﹣12）＞0，解得−12＜k ＜12，且k ≠0．x 0=x 1+x 22=16k 24k 2+3，y 0=k(x 0−4)=−12k 4k 2+3，得Q(16k 24k 2+3，−12k 4k 2+3)． 由直线l ′的方程y −y 0=−1k (x −x 0)，即y +12k 4k 2+3=−1k (x −16k24k 2+3)，化简得y =−1kx +4k 4k 2+3．令x ＝0得4k4k +3=413，解得k =14或k ＝3．由于−12＜k ＜12，且k ≠0，所以，k =14．因此，直线l 的方程为y =14(x −4)，即x ﹣4y ﹣4＝0．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题． 20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈一、选择题）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），得若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（−1a）−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．得到a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），结合a∈Z，可知a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，f′（x）=1x+2ax+a+2=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），①若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，由f′（x）＞0，得0＜x＜−1a；由f′（x）＜0，得x＞−1a．∴函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减；（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减．∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a，又f（x）≤0恒成立，∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（12）=ln12+12＜0，∴存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．∴0＜−1a≤x0，解得a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），又a∈Z，∴a≤﹣2．则综上a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝e x﹣2x+2．记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴h(x)min=h(ln2)=e ln2−2ln2+2=4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x﹣1＞0．∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．。
天津市和平区耀华中学2020届高三高考一模数学试卷(解析版)
天津市和平区耀华中学2020届高三高考一模数学试卷一、选择题：本大题共9小题，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4『答案』C『解析』由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C.2.设等比数列{}n a 中，每项均是正数，5681a a =，则1112110333log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A. 20B. 20-C. 4-D. 5-『答案』B 『解析』1112110333log log log a a a ++⋅⋅⋅+=112103log ()a a a ⋅⋅⋅52011331log 81log ()203-===-.故选：B.3.已知α∈R ，则“cos 2α=-”是“52,6k k Z παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』B 『解析』cosα=，解得α＝2k π±56π，k ∈Z ，∴“cosα=”是“α＝2k π56π+，k ∈Z ”的必要但非充分条件．故选B ．4.已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A.B.C. D.『答案』D『解析』正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：3,2sin 60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒= 外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ===+=解得1,2OM MN h ===故棱柱的体积为：13322V Sh ==⨯⨯= 故答案为D.5.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在『20,45』岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁『答案』C『解析』在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，数据位于[)25,30的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 前两个矩形的面积之和为0.0150.20.25⨯+=， 前三个矩形的面积之和为0.050.20.0750.6++⨯=， 所以，中位数位于区间[)30,35，设中位数为a ，则有()0.050.2300.070.5a ++-⨯=，解得33.6a ≈（岁），故选C ．『点睛』本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题． 6.已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B.a b c <<C. c b a <<D. c a b <<『答案』A『解析』画出57log ,log y x y x ==的图象如下所示：由图可知a b >，又因为5550log 1log 2log 51=<<=77701log 2log 71log =<<=故可得20a -<，则20.51a ->. 综上所述：b a c <<. 故选：A.7.将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移2πϕϕπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 的最大负零点在区间45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A. 23,34ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦『答案』A『解析』由题1()sin()22f x x ϕ=-，令()0f x =，得122x ϕ-,k k Z π=∈， 得2x k πϕ=+，k Z ∈，当1k =-时，函数()f x 的最大负零点为2πϕ-+，则45234πππϕ-<-+<-，得2334ππϕ<<. 故选：A.8.已知双曲线()2224:103x C b y b -=>的右焦点到其中一条新近线的距离等于12，抛物线()2:20E y px p =>的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』双曲线()2224:103x C b y b -=>的渐近线方程3y b=±，右焦点⎫⎪⎪⎝⎭12⋅=，解得2b =，所以双曲线的焦点坐标()1,0，所以抛物线焦点坐标()1,0， 即抛物线方程24y x =，作示意图如图所示：过点M 作1MA l ⊥，垂足为A ，作准线的垂线MC ，垂足为C ，连接MF ， 根据抛物线定义有：MA MC MA MF +=+，即动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和等于MA MF +， 当,,A M F 三点共线时，距离之和最小， 即点F 到直线1:4360l x y -+=2=.故选：B.9.已知函数()12log ,0115,024x x f x a x x >⎧⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩，函数()2g x x =，若函数()()y f x g x =-有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ()5,+∞ B. 155,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 195,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 195,2⎛⎤ ⎥⎝⎦『答案』B『解析』如图当0x >时，12()log f x x =与2()g x x =有1个交点.要使()()y f x g x =-有3个零点，则当0x ≤时，115()24f x a x =+-与2()g x x =有两个交点即可， 若0,0a x ≤≤，15()4f x ≤-，两函数没有交点，所以0a >， 画出(),()f x g x 图象，如下图所示， 根据图象(),()f x g x 的图象在102x -<<内至多有一个交点.当(),()f x g x 的图象在1(,)2-∞-上有两交点，则在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上没有交点. 即直线11524y ax a =---与2y x 在1(,)2-∞-有两交点，且(),()f x g x 的图象在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上没有交点. 即2115024x ax a +++=在1(,)2-∞-有两个解，且()()f x g x =在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上没有解. 设2115()24h x x ax a =+++，需201221154()0241()402a aa a h >⎧⎪⎪-<-⎪⎪⎨∆=-+>⎪⎪⎪-=>⎪⎩，且11500,24a ⋅+-< 解得5a >或3a <-（舍去），且152a < 所以此时1552a << 若在102x -<<上(),()f x g x 的图象有1个交点，则在 1(,)2-∞-上(),()f x g x 的图象有1个交点 即2115024x ax a +++=在1(,)2-∞-有1个解，且()()f x g x =在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上有1个解. 则21154()024a a ∆=-+=且1150024a ⋅+-≥，此时无解.要使(),()f x g x 在(,0)-∞只有两交点，则1552a <<. 故选：B二、填空题：本大题共6小题.10.设1z i =-（i 是虚数单位），2z z+=______. 『答案』2 『解析』由题，()()()212211112111i z i i i i z i i i ++=+-=+-=++-=--+. 故答案为：2.11.523x⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为____.（用数字作答）『答案』270『解析』因为7102552155(3)((3)(1)r rrrr rrr T C x C x---+==-，所以由71032r-=得2r ，因此3x 的系数为25225(3)(1)=270.C --12.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否之间互不影响，若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =______. 『答案』427『解析』A 队总得分为2分，即事件M 为A 队三人有一人答错，其余两人答对，其概率()2232241339P M C ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， “B 队得1分，即事件N 即为B 队三人2人答错，其余一人答对， 则()22122221111111133333331333P N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯+-⨯⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A 队得2分B 队得一分，即事件,M N 同时发生，则()()()7491432P MN P M P N ==⨯=. 故答案为：427. 13.已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB =______.『答案』6『解析』圆22:4210C x y x y +-++=即22(2)(1)4x y -++=，圆心为(2,1)-，半径为2r ，由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心(2,1)-， 则210a --=，解得1a =，点A 的坐标为(4,1)-， 作示意图如图所示：2AC BC r ====，切点为B ，则AB BC ⊥，6AB ==.故答案为：614.已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为______．『答案』1『解析』由23x y +=得：32x y =-，由0x >得：320y -> 302y ∴<<()()()222222223239323349939232323223y y y y y x y y y y xy y y y y y y y y ---+-++-+-====-+----∴ 令39y t -=，由302y <<得：99392y -<-<-，即99,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭93t y +∴=2223992228122781992272333x ytt xyt t t t t t+=-+=-+=-+++++⎛⎫++⨯-⨯ ⎪⎝⎭∴ 当99,2t ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，818122t t t t ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭ 当且仅当812t t -=-，即2t =-时取等号8122727t t∴++≤-922181227t t∴-+≥-=++即231x yxy +≥+2min31x y xy ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭本题正确结果：115.已知平行四边形ABCD的面积为，23πBAD ∠=，6AD =，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则λ=________；AF AE ⋅的值为______. 『答案』 (1).13(2). 9 『解析』因为平行四边形ABCD的面积为，所以2sin3AB AD π⋅=18AB AD ⋅=， 又6AD =，所以3AB =,所以2cos93AD AB AD AB AD AB π⋅=⋅=⋅=-， 如图，连接AE ，则11,22BE AD AE AB AD ==+,由56AF AB AD λ=+， 所以1551()()2662AF AE AD AD AE AD λλλ=-+=+- 因为,,E F D 三点共线，所以51162λλ+-=，得13λ=， 所以1536AF AB AD =+，所以151362AF AE AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22512115993693312AB AB AD AD +⋅==⨯+=+-⨯ 故答案为：13；9三、解答题：本大题共5小题.16.在ABC 中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b .（Ⅰ）求cos B 及a 值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 解：（Ⅰ）ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin b a CB A C==， 得34sin sin B C=， 2C B =，34sin sin 2B B ∴=，即34sin 2sin cos B B B =， 解得2cos 3B =,在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，的得216703a a -+=，解得3a =或73a =． ∴ab ≠，73a ∴=．（Ⅱ）2cos ,sin 33B B ==， 41cos 22199B ∴=⨯-=-，2sin 223B =⨯=11cos 2329B π⎛⎫⎛⎫+=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=︒，3PA BC ==，2AD =，60ABC ∠=︒，E 为侧棱PA 包含端点上的动点.（1）当25AE AP =时，求证//PC 平面BDE ； （2）当直线BE 与平面CDE 所成角的正弦值为34时，求二面角B DE C --的余弦值. 解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，由题意//AD BC ，23AO AD OC BC == ∵25AE AP =，∴23AE AO EP OC ==，∴//OE PC ， 又OE ⊂面ADE ，PC ⊄面BDE ，∴//PC 面BDE .（2）过A 作AF BC ⊥于F ，则在Rt ABC 中，1BF =，tan AF BF ABF =⋅∠2AB =，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系A FDP -.设()03AE a a =≤≤，则()0,0,0A ，)1,0B -，)C，()0,2,0D，()0,0,E a，()BE a =-，()3,0,0DC =，()0,2,DE a =-，()=-BD设向量()111,,m x y z =为平面CDE 的一个法向量，则由m DC m DE ⎧⊥⎨⊥⎩，有111020y az =-+=⎪⎩，令1y a =，得()0,,2m a =；记直线BE 与平面CDE 所成的角为θ， 则233sin cos ,44a BE m a θ===+，解得2a =，此时()0,2,2m=； 设向量(),,n x y z =为平面BDE 的一个法向量则由n DE n BD⎧⊥⎨⊥⎩，有30220y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y=，得()3,1,1n =；cos ,522m n m n m n⋅===∴二面角B DE C -- 的18.已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率e =P ，1）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，E F ⊥DF ，E A 与椭圆C 交于点G ，若△AMG 的面积为，求直线AM 的方程.解：（1）由题意得e 2c a ==，22211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆的方程：22142x y +=.（2）由（1）得左焦点F （，0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意得D（0，﹣2k ），∴k DF==，∵E F ⊥DF ，∴k E F=，∴直线E F 的方程：x =-， 令x ＝0，则y 1k =，所以点E （0，1k），所以k E A 1122kk==--， 所以直线E A ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∴y 22842412k k k k ==++，x 222412k k -=+，所以点G （222412k k-+，2412k k +）； 联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2224212k k-=+，∴y 22412k k =-+，所以点M （224212k k-+，2412k k -+）， 所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，∴S △AMG 12OA =⋅⋅2|y M |22881221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k =+，解得：k 2=±， 由点M （s ，t ）（t ＞0）得，k 2=-，所以直线AM 为：y 2=-（x ﹣2）， 即直线AM ：x2y ﹣2＝0.19.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n N*∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=.335b a a =+，6112b S =-. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足122,2log log ,2,n n kn a b k n a n N n c n *⎧∈≠⎪=⎨⋅=⎪⎩且，其中k *∈N ，①求数列{}2n c 的通项公式： ②求21ni i c =∑.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，0q >，由23b b +=22212q q +=，即260q q +-=，解得2q =-或3.∵0q >，∴2q，∴2n n b =.有335482b a a a ==+=，∴44a =， 又有6112b S =-，即611264a -=，∴66a = 则6412a a d -==，则n a n =. 即n a n =，2nn b =.（2）①122,2log log 2,2k n k n n n c n n ⎧≠⎪=⎨⋅=⎪⎩，∴2kn =时，()1133log log 22k kn c n n n n k k =⋅=⋅=⋅-=-⋅，∴22k k c k =-⋅，即22n nc n =-⋅，②由①得,22,2kn k kn n c k n ⎧≠=⎨-⋅=⎩ 2211112(2)n nn niii i i i i c i i =====-+-⋅∑∑∑∑()()112122222n n nn i i i +=+=---⋅∑设21212222nin n i A i n ==⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅∑ ，则()22121222122nn n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，由此得()1122n n A n +=-⋅+∴得()221112412nn n ii cn --==--⋅∑20.已知函数()(),ln xf x eg x x ==．（1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 解：（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令21()20x x h x x x x⎛-+ ⎝⎭⎝⎭'=-=≥，解得0x ≤＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0，2』．（2）证明：设x 0＞1，1()g x x'=，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-． 假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ． 则k=1x e ，∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1． 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解． 令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．（3）证明：()111x f x e x x x----=， 令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增，∴v （x ）＞v （0）＝0．∴()1110x f x e x x x----=＞，∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0， 解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立．。
2020届天津市南开区高考一模数学试题(解析版)
（Ⅰ）若 ，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的大小；
（Ⅲ）若二面角 的大小为 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．
【解析】（Ⅰ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求 ．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列 的通项公式，再根据递推关系式求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）先根据 ，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，为增函数，
∴ 在R上为减函数，
， ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查指对数比较大小，利用函数的单调性和奇偶性，涉及了指数函数和对数函数的性质和图象．
7．已知函数 .的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先据图象的最高点与最低点求出 ，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出 ，进而求出 的值，最后利用对应的观点结合范围求出 的值．
解得： ；
②当 时，只需 有两个正根即可，
方程可化为 ，故两根为： 或 ，
由题意只需 且 ，
综合①②可知，当 时，方程 有4个不同的实数根．
所以实数 的取值范围是（0，1）.
故选：B．
【点睛】
本题考查已知函数零点个数求参数取值范围，涉及一元二次方程的性质的应用，注意方程与不等式的相互应用，同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想以及解题的能力．