三拱桥计算
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（一）圆弧线
线形最简单，施工最方便。但圆弧拱轴线一般与恒载压力线 偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m以下 的小跨径拱桥。园弧线的拱轴方程为：
x 2 y12 2 Ry1 0
x R sin y1 R(1 cos )
R 1 ( 1 f / l) 2 4f /l
（二）抛物线拱
其中： m g j gd
称为拱轴系数。
这样gx可变换为：
(m 1)gd / f
g j gd f mg d
gx
gd
y1
gd
1
(m
1)
y1 f
（3－4－8）
将上式代入式（3－4－3）并引参数:
x l1 则： dx l1d
可得：
d 2 y1
d 2
l12 Hg gd
1 (m 1)
一、概述
拱轴线的选择与确定
恒载内力
拱 桥
成桥状态的内力分析和
活载内力 温度、收缩徐变
的 强度、刚度、稳定验算
计 算
拱脚变位 内力调整
拱上建筑的计算
施工阶段的内力分析和定验算
二、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线 的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是 与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力， 而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料 的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收 缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压 力线作为设计拱轴线。
其中
2kf
l(m 1)
k可由式（3－4－12）计算
代=1，如上式，即可求得：
tg j shk
c)根据计算出的 j 计算出gj后，即可求得mi+1
d)比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大， 则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等
（2）空腹式拱拱轴系数的确定
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。
•对拱脚取距，由 MA 0 有：
标取 确于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
1
2
时， y1 y1/ 4
；代
1
2
到悬链线方程（3－4－11）有：
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k chk 1 m 1
2
2
2
y1/ 4
m 1 1
2
1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
•空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其 恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最 普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、 跨径的四分之一点和拱脚处与压力线重合。
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线）
如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于 恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混 凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往 可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
y1
4f l2
x2
（三）、悬链线桥
•实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬 链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（3－4－1）
对任意截面取矩，有：
y1
Mx Hg
（3－4－2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标；
M x 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
对式（3－4－2）两边对x取两次导数，可得：
d 2 y1 dx2
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部 分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布 力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如 左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为 在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设 计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故 多用悬链线作为拱轴线。
为了使悬链线与其恒载压力线重合， 一般采用“五点重合法”确定悬链线的m值。 即要求拱轴线在全拱（拱定、两1/4l点和两 拱脚）与其三铰拱的压力线重合。其相应 的拱轴系数确定如下：
（3－4－3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载 的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
（3－4－4）
拱上材料的容重。
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
g j gd f mg d
（3－4－5）
y1 f
令
k 2 l12 gd (m 1)
Hg f
（3－4－9）
则
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
k 2 y1
（3－4－10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1
f m 1
(chk
ຫໍສະໝຸດ Baidu1)
（3－4－11）
上式为悬链线方程。
其中ch k为双曲余弦函数： chk ek ek
h f d d
2 2 cos j
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用试算法，具体做法如下：
a) 先假设mi b)根据悬链线方程（3－4－11）求 j ；
将式（3－4－11）两边取导数，有:
dy1 fk shk d m 1
tg dy1 dy1 2dy1 2 fkshk shk dx l1d ld l(m 1)
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（3－4－11）可得：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
（3－4－12）
反双曲余弦函数对数表示
•当m=1时 gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛
物线，其方程变为：
y1 f 2
•由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降低）。
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
m gj gd
•拱顶恒载分布集度 gd
gd 1hd 2d
•拱脚恒载分布集度 gj
gj
1hd
2
d
cos j
3h
其中 1, 2 , 3 hd
d
j
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 拱顶填料厚度 拱圈厚度 拱脚处拱轴线的水平倾角
线形最简单，施工最方便。但圆弧拱轴线一般与恒载压力线 偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m以下 的小跨径拱桥。园弧线的拱轴方程为：
x 2 y12 2 Ry1 0
x R sin y1 R(1 cos )
R 1 ( 1 f / l) 2 4f /l
（二）抛物线拱
其中： m g j gd
称为拱轴系数。
这样gx可变换为：
(m 1)gd / f
g j gd f mg d
gx
gd
y1
gd
1
(m
1)
y1 f
（3－4－8）
将上式代入式（3－4－3）并引参数:
x l1 则： dx l1d
可得：
d 2 y1
d 2
l12 Hg gd
1 (m 1)
一、概述
拱轴线的选择与确定
恒载内力
拱 桥
成桥状态的内力分析和
活载内力 温度、收缩徐变
的 强度、刚度、稳定验算
计 算
拱脚变位 内力调整
拱上建筑的计算
施工阶段的内力分析和定验算
二、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线 的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是 与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力， 而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料 的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收 缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压 力线作为设计拱轴线。
其中
2kf
l(m 1)
k可由式（3－4－12）计算
代=1，如上式，即可求得：
tg j shk
c)根据计算出的 j 计算出gj后，即可求得mi+1
d)比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大， 则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等
（2）空腹式拱拱轴系数的确定
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。
•对拱脚取距，由 MA 0 有：
标取 确于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
1
2
时， y1 y1/ 4
；代
1
2
到悬链线方程（3－4－11）有：
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k chk 1 m 1
2
2
2
y1/ 4
m 1 1
2
1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
•空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其 恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最 普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、 跨径的四分之一点和拱脚处与压力线重合。
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线）
如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于 恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混 凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往 可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
y1
4f l2
x2
（三）、悬链线桥
•实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬 链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（3－4－1）
对任意截面取矩，有：
y1
Mx Hg
（3－4－2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标；
M x 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
对式（3－4－2）两边对x取两次导数，可得：
d 2 y1 dx2
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部 分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布 力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如 左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为 在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设 计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故 多用悬链线作为拱轴线。
为了使悬链线与其恒载压力线重合， 一般采用“五点重合法”确定悬链线的m值。 即要求拱轴线在全拱（拱定、两1/4l点和两 拱脚）与其三铰拱的压力线重合。其相应 的拱轴系数确定如下：
（3－4－3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载 的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
（3－4－4）
拱上材料的容重。
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
g j gd f mg d
（3－4－5）
y1 f
令
k 2 l12 gd (m 1)
Hg f
（3－4－9）
则
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
k 2 y1
（3－4－10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1
f m 1
(chk
ຫໍສະໝຸດ Baidu1)
（3－4－11）
上式为悬链线方程。
其中ch k为双曲余弦函数： chk ek ek
h f d d
2 2 cos j
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用试算法，具体做法如下：
a) 先假设mi b)根据悬链线方程（3－4－11）求 j ；
将式（3－4－11）两边取导数，有:
dy1 fk shk d m 1
tg dy1 dy1 2dy1 2 fkshk shk dx l1d ld l(m 1)
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（3－4－11）可得：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
（3－4－12）
反双曲余弦函数对数表示
•当m=1时 gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛
物线，其方程变为：
y1 f 2
•由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降低）。
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
m gj gd
•拱顶恒载分布集度 gd
gd 1hd 2d
•拱脚恒载分布集度 gj
gj
1hd
2
d
cos j
3h
其中 1, 2 , 3 hd
d
j
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 拱顶填料厚度 拱圈厚度 拱脚处拱轴线的水平倾角