高中数学三角函数诱导 推理公式 习题大全

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot （π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot （π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2〒α及3π/2〒α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k 〒α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）例如：sin（2π－α）＝sin（4〃π/2－α），k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）＜0，符号为“－”。

所以sin（2π－α）＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k〃360°+α（k∈Z），-α、180°〒α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。

两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cos αsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1-tanαtanβ）tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα〃tanβ）二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2 cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2 tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα）另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）三角函数的和差化积公式sinα＋sinβ＝2sin[（α＋β）/2]〃cos[（α－β）/2]sinα－sinβ＝2cos[（α＋β）/2]〃sin[（α－β）/2]cosα＋cosβ＝2cos[（α＋β）/2]〃cos[（α－β）/2]cosα－cosβ＝－2sin[（α＋β）/2]〃sin[（α－β）/2]积化和差公式三角函数的积化和差公式sinα〃cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα〃sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα〃cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα〃sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]和差化积公式推导附推导：首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb 所以我们就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2 cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2cosa*cosb=（cos （a+b ）+cos （a-b ））/2 sina*sinb=-（cos （a+b ）-cos （a-b ））/2有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

我们把上述四个公式中的a+b 设为x ，a-b 设为y ，那么a=（x+y ）/2，b=（x-y ）/2把a ，b 分别用x ，y 表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin （（x+y ）/2）*cos （（x-y ）/2） sinx-siny=2cos （（x+y ）/2）*sin （（x-y ）/2）cosx+cosy=2cos （（x+y ）/2）*cos （（x-y ）/2） cosx-cosy=-2sin （（x+y ）/2）*sin （（x-y ）/2） 四．【典例解析】 题型1：象限角例1．已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x M ,451802|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x N ,451804|那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k解得 36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或1-=k代回︒-=675β或︒-=315β（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N Ø。

点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。

例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：答案：B ；∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号。

当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B 。

例3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B 。

例4．已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角?解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322，∴()Z k k k ∈+<<+2323332ππαππ，∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α为第一象限角；当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α为第三象限角，当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3α为第四象限角，故3α为第一、三、四象限角。

解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3α的终边所在的区域。

由图可知，3α是第一、三、四象限角点评：已知角α的范围或所在的象限，求nα所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为nα(n ∈N *)的终边所在的区域。

题型2：三角函数定义例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解析：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5||r a =，,2x a y a ==。

当22250sin 55||5y a a a r a aα>====时，； 5c o s 55x a ar aα===，2tan =α。

当22250sin 55||5y a a a r a aα<====--时，，5cos 55x a a r a α===--；2tan =α。

例6．已知角α的终边上一点(3,)P m -，且2sin 4mα=，求cos ,sin αα的值。

解析：由题设知3x =-，y m =，所以2222||(3)r OP m ==-+， 得23r m =+， 从而2sin 4m α=23mm r m==+， 解得0m =或216625m m =+⇒=±。

当0m =时，3,3r x ==-， cos 1,tan 0x yr xαα==-==； 当5m =时，22,3r x ==-， 615cos ,tan 43x y r x αα==-==-；当5m =-时，22,3r x ==-， 615cos ,tan 43x y r x αα==-==。