水力计算 学习单元2 静水压强与静水压力计算

学习单元二 静水压强与静水压力计算

【教学基本要求】

1．正确理解静水压强的两个重要特性和等压面的性质。

2．掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算。

3．掌握静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义。

4．掌握静水压强的测量方法和计算。

5．会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。

6．会正确绘制压力体剖面图，掌握曲面上静水总压力的计算。

【学习重点】

1．静水压强的两个特性及有关基本概念。

2．重力作用下静水压强基本公式和物理意义。

3．静水压强的表示和计算。

4．静水压强分布图和平面上的静水总压力的计算。

5．压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。

【内容提要和学习指导】

本章研究处于静止和相对平衡状态下液体的力学规律。

2.1 静水压强及其特性

静止液体作用在每单位受压面积上的压力称为静水压强，单位为（N/ m 2），也称为帕斯卡（P a ）。某点的静水压强p 可表示为：

（2—1） 静水压强有两个重要特性：

（1）静水压强的方向垂直并且指向受压面；

（2）静止液体内任一点沿各方向上静水压强的大小都相等，或者说每一点的静水压强仅是该点坐标的函数，与受压面的方向无关，可表示为p = p (x ，y ，z )。这两个特性是计算任意点静水压强、绘制静水压强分布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。

2.2 等压面

液体中由压强相等的各点所构成的面（可以是平面或曲面）称为等压面，静止液体的自由表面就是等压面。

对静止液体进行受力分析，导出液体平衡微分方程和压强全微方程，根据等压面定义，可得到等压面方程式：

X d x+Y d y+Z d z = 0 （2—2） A

P p A ??=→?0lim

式中：X 、Y 、Z 是作用在液体上的单位质量力在x 、y 、z 坐标轴上的分量，并且

（2—3） 其中：U 是力势函数。

等压面有两个特性：（1）等压面就是等势面；（2）等压面与质量力正交。

2.3重力作用下的静水压强基本公式

重力作用下的静水压强基本公式（水静力学基本公式）为

p = p 0+γh （2—4） 式中：p 0—液体自由表面上的压强；h —测压点在自由面以下的淹没深度；γ—液体的容重。 该式表明：静止液体内任一点的静水压强由两部分组成，一部分是液体表面压强p 0 ，它将等值地传递到液体内每一点；另一部分是高度为h 的液柱产生的压强γh 。该式还表明，静水压强p 沿水深呈线性分布。对于连通器，水深相同的点组成的面是等压面；当自由表面是水平面时，等压面也是水平面。

2.4绝对压强、相对压强和真空度

以设想完全没有大气存在的绝对真空为零计量的压强称为绝对压强p ＇；以当地大气压作为零点计量的压强是相对压强p ，若当地大气压强用绝对压强表示为p a ，则相对压强与绝对压强的关系为：

p= p ＇- p a （2—5）

当液面与大气相连通时，根据相对压强的定义，液面压强可表示为p 0 = 0 ，根据式 （2—4），静止液体中某点的相对压强为：

p=γh （2—6）

这是用相对压强表示的静水压强基本公式，该式也可表示为：

（2—7）

即用液柱的高度表示某点的压强，这是压强表示的另一种方法，也是用测压管量测某点压强的依据。

当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，该点的相对压强为负值，则称该点存在真空。负压的绝对值称为真空压强h υ，即 （2—8） 请注意：绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强（真空度）不能为负值。最小的真空压强为零，这时相对压强也为0，而绝对压强p ＇= 1工程大气压= 98kN /m 2，用液柱高度表示绝对压强

m 水柱 z

U Z y U Y x U X ??=??=??=γp h =γ

γγυυ'p p p p h a -=-==10/8.9/98''32

===m KN m KN p h γ

压强的计量单位表示有三种：

（1）用应力单位表示：N /m 2（P a ）或kN /m 2（kP a ）；

（2）用大气压的倍数表示：即p a =98kN /m 2，用p a 的倍数表示；

（3）用液柱高度：米水柱高度（mH 2O ）或毫米水银柱高度（mmHg ）。它们之间的关系为：

1p a = 98kN /m 2， mH 2O ， mmHg 2.5水头和单位势能 重力作用下静水压强基本公式可表示为：

p = p 0+γ(z 0 - z) 或 z + = c (2—9)

式中：z 0和z 分别是液面和液体内某点相对于某个基准面的位置高程，常数c = z 0 + 。该式表示：重力作用下静止液体内任一点的γp

z +都相等。z 和γ

p 都是长度量，而且都具有能量的含义，z 是单位重量液体所具有的位能，γ

p 是单位重量液体具有的压能。水力学中习惯用“水头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z 称为位置水头（即单位重量液体具有的位置势能），γ

p 称为压强水头（单位重量液体具有的压强势能），而（γp z +）称为测压管水头（表示单位重量液体具有的总势能）。

因此，水静力学基本方程也可表述为：静止液体中各点的测压管水头是常数。该方程反映了静止液体中的能量分布规律。

2.6压强的测量和计算

测量液体的压强，可以用压力表（机械式压强量测仪表）、压力传感器（电测方法）等量测仪器，也可以用水静力学原理设计的测压管、比压计、U 型水银测压计等量测仪器和方法。

静水压强的量测和计算的理论依据是水静力学基本公式和连通器中等压面关系，具体应用见【解题指导】

2.7静水压强分布图

静水压强分布图可以形象地反映受压面平上的压强分布情况，并能据此计算矩形平面上的静水总压力。用比例线段表示压强的大小，根据静水压强特性，用垂直受压面的箭头表示静水压强的方向，根据静水压静沿水深是线性分布的规律，绘出平面上两点的压强并把其端线相连，即可确定平面上静水压强分布，这样绘制的图形就是静水压强分布图。静水压强分布图参见教材。

101=w a

p γ7361=Hg a

p γγp 00γp

需要指出的是：当受压面两侧均有液体作用或者一侧与大气相接触，这时可以用受压面两侧静水压强分布图进行合成，得到相对压强分布图。在相对压强分布图中，当表示压强方向的箭头背向受压面时，说明它代表受压面两侧合压强的方向；当外侧是大气压强时，这时说明受压面上的相对压强是负压或存在真空。

2.8作用在平面上静水总压力

（1）对于矩形平面，应用静水压强分布图可以求出作用在平面上静水总压力的大小为 P=Ωb （2—10） 式中： 是静水压强分布图的面积，b 和L 分别是矩形平面的水平宽度和长度，h 1和h 2分别是矩形平面上边和底边处的水深。

静水总压力是平行力系的合成，根据静水压强的特性，静水总压力的方向垂直指向该平面。静水总压力的作用点D （又称压力中心）位于纵向对称轴上，D 到底边的距离e 为

（2—11）

这样作用在平面上静水总压力的三个要素——大小、方向、作用点都可以确定了。在应用式（2—11）进行计算时需要注意h 1和h 2的含义。

（2）用解析法求作用在任意形状平面上的静水总压力

作用在任意形状平面上总压力的大小等于该平面面积与其形心处点的静水压强的乘积，即

P =p c A =γh c A （2—12） 总压力的作用点（压力中心）D 点的坐标为

（2—13） 或者 （2—14）

式中：p c 是平面形心处的静水压强；h c 是平面形心C 在液面下的淹没深度；y D 是压力中心D 距ox 轴的距离；y c 为形心距ox 轴的距离；I c 为面积A 对过形心C 的水平轴的惯性矩，矩形平面的I C =bh 3/12 ，圆形断面的I C =πd 4/64；e 1为偏心矩，即压力中心D 到形心C 的距离。

2.9作用在曲面上的静水总压力

求作用在曲面上的静水总压力P ，可先求出其水平分力P x 和铅垂分力P z ，然后合成为总压力P 。

（1）静水总压力的水平分力P x 等于作用在该曲面的铅垂投影面A x 上的静水总压力，即 P x = p c A x = γh c A x （2—15） 式中h c 是投影面A x 的形心点水深。P x 的方向垂直于投影面A x ，作用点位于A x 压力中心。

（2）静水总压力的铅垂分力P z 等于曲面所托压力体的水重。压力体是由三部分表面围()

2121h h L +=Ωγ2

12123h h h h L e ++=A

y I y y c c c D +=A

y I y y e c c c D =-=1

成的体积V ：即受压的曲面、通过曲面的边缘向液面或液面的延长面作的铅垂平面和自由液面或自由液面的延长面。这时静水总压力的铅垂分力P z 为

P z =γV （2—16）

铅垂分力P z 的方向按如下原则确定：当压力体与液体在受压曲面的同侧，P z 的方向向下；当压力体与液体在受压曲面的两侧，则P z 的方向向上，并且P z 的作用线通过压力体的形心。

（3）作用在曲面上的静水总压力P 为

（2—17）

总压力与水平方向的夹角α为

（2—18） 请注意：在许多工程问题中，如重力坝的稳定分析，通常不需要计算总压力，而是直接用水平分力和铅垂分力来分析的。对于三维曲面，除了有x 方向水平分力P x ，还有y 方向水平分力P y ，P y 的计算方法同 P x 。

根据作用在曲面上静水总压力的计算原理可以证明：浸没在水中的物体受到静水压力的合力F 等于物体在水中所排开水体的重量，即F =γV ，V 是物体的体积，而且合力的方向向上。F 也称为物体受到水的浮力，浮力的作用线通过物体所排开水体的形心，这就是著名的阿基米德定律。根据物体受到的重力G 和浮力F 间大小的对比，可以确定物体是处在沉浮或随遇平衡状态。

【思 考 题】

2—1什么是静水压强？静水压强有什么特性？

2—2什么是等压面？等压面有什么性质？

2—3水静力学基本方程的形式和表示的物理意义是什么？

2—4静止液体中沿水平方向和垂直方向的静水压强是否变化？怎么变化？

2—5在什么条件下“静止液体内任何一个水平面都是等压面”的说法是正确的？ 2—6图示为复式比压计，请判断图中A —

A 、

B —B 、

C —C 、

D —D 、C —

E 中哪些是

等压面？为什么？

2—7请解释下列名词的物理意义：绝对压

强，相对压强，真空和真空度，水头，位

置水头，压强水头和测压管水头，并说明水头与

能量的关系。

2—8表示静水压强的单位有哪三种？写出

它们之间的转换关系。 22z x P P P +=x

z P P arctg =α 思2—6图

2—9什么是静水压强分布图？它绘制的原理和方法是什么？为什么在工程中通常只 需要计算相对压强和绘制相对压强分布图？

2—10请叙述并写出计算平面上静水总压力大小和作用点位置的方法和公式，并说 明其应用条件。

2—11如图所示，平板

闸门AB 倾斜放置在水

中，试分析当上下游水

位都上升1米

（图中虚线的位置）

时，（a ）、（b ）两图中

闸门AB 上所受到的静

水总压力的大小及作

用点的位置是否改变。

2—12压力中心D 和受压平面形心C 的位置之间有什么关系？什么情况下D 点与C 点重合？

2—13请叙述压力体的构成和判断铅垂方向作用力P z 方向的方法。

2—14如何确定作用在曲面上静水总压力水平分力与铅垂分力的大小、方向和作用 线的位置。

2—15如图所示为混凝土重力坝断面的两种设计方案，已知混凝土的比重为2.5，试 根据受力分析从抗滑移稳定和抗倾翻稳定两方面判断哪种设计方案更为合理。

思2—15图 思2—16图

2—16如图所示，在盛满水的容器侧壁上放一个半径为a 的均质圆柱，圆柱的左半

思2—11图

部完全浸没在水中。根据阿基米德原理，左半个圆柱体始终受到一个向上的浮力，并且浮力的大小等于它所排开水体的重量，浮力的作用线通过左半个圆柱体的形心。这个浮力将对圆柱体产生旋转力矩，使它绕O轴不停地旋转。这种说法是否正确？为什么？

【解题指导】

思2-5 解答：必须是相连通的静止液体，它的任何一个水平面都是等压面。

思2-6 解答：B－Ｂ，Ｃ—Ｅ是等压面。

思２-11解答：可以分别画出（a），（b）图上平板闸门AB两侧的静水压强图，合成后可以发现（b）图的合静水压强图图形不变，因此，（b）图闸门AB上静水总压力和作用点不变；而（a）图发生了改变。

思2-12 解答：作用于平面上的压力中心D一般都位于形心C点以下，当平面水平放置时，压力中心D与形心C重合。

思2-15 解答：无论从抗滑移和抗倾翻方面分析，（b）更安全。因为（b）增加向下的水压力，既增加了抗滑移摩擦力，也增加了抗倾翻力矩。

思2-16 解答：这种说法不正确，因为半圆上各点的压力都垂直于曲面，即通过圆心，合力也必然通过圆心，对圆柱不产生旋转力矩。