第五节 三角函数的图象和性质
⑤单调性：在每个闭区间_____π2__2_k_π_, π2___2_k_π__k__Z__ _上是
增函数；
在每个闭区间____π2__2_k_π_, 3_2π___2k_π___k__Z___上是减函数．
在每个闭区间__[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_](_k_∈__Z_)__上是减函数．
典例解析
【例1】 函数 y 2sin x 1 的定义域是( B )
A.
π 6
,
π 6
C.
π 3
,
π 3
B.
π 6
2kπ,
5π 6
2kπ
(k∈Z)
D.
π 3
2kπ,
π 3
2kπ(k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，则2sinx－1≥0，
【提示】 要使函数有意义，则1＋cosx≠0，∴cosx≠ －1，由余弦函数的图象可知x≠π＋2kπ，k∈Z，即函数 的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}．
同步精练
10．函数 y 1 的定义域是
1 2sin x
___ _π_6___2_kπ__, 76_π___2_k_π__(_k___Z_)__．
x
|
x
2
2k ,
k
Z.
同步精练
一、单项选择题 1．函数y＝4－2sin2x 的最大值、最小值和周期分别 为( A ) A．6，2，π B．3，2，π C．2，4，2π D．5，2，2π
【提示】 由正弦函数的图象和性质可知．
2．若sinx＝a－2，则实数a的取值范围是( A ) A．[1，3] B．[0，3] C．[－3，1] D．[1，4]
2
ymax＝5，此时x的取值集合为
x
|
x
2
2k,
k
Z;
当sinx＝1，即x＝
2
＋2kπ，k∈Z时，ymin＝1，此时x的取
值集合为
x
|
x
2
2k ,
k
Z.
典例解析
方法二：(换元法)y＝cos2x－2sinx＋3＝－sin2x－2sinx＋4， 令t＝sinx，t∈[－1，1]，则y＝－t2－2t＋4＝－(t＋1)2＋5，
第五节 三角函数的图象和性质
第五节 三角函数的图象和性质
知识梳理
1．正弦函数的图象和性质 (1)正弦函数的图象 如图所示，正弦函数__y_＝__s_in_x_，__x_∈__R___的图象叫做正弦 曲线．
知识梳理
(2)“五点法”作图 对于函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象： ①起关键作用的五个点：__(0_，__0_)__，____π2_,1___， __(π_，__0_)__，__3_2π_,__1_ _，__(π_，__0_)__. ②作图步骤：a.列表；b.建系、描点；c.平滑曲线成图； d.标识函数解析式． 注：在直角坐标系中，x轴、y轴和原点O，以及表示点 的横、纵坐标，函数的解析式都要标识清楚．
集合为
x
|
x
π 2
2kπ
Z，
当sinx＝1时，ymin＝3－1＝2，此时x的取值集合为
x
|
x
π 2
2kπ Z，
在区间
π 2
2kπ, 3π 2
2kπ
(k∈Z)上是增函数；在区间
π 2
2kπ,
π 2
2kπ
(k∈Z)上是减函数．
典例解析
T＝2π
ymax＝4，x
|
x
π 2
2kπ
Z
ymin＝2，x
∴－1＜5－2m＜0，解得 5 <m<3,
2
即m的取值集合为
m
|
5 2
<m<3.
同步精练
12．求函数 y 2cos2 x 2 3 sin x 2 的最大值和最小值，以 及取得最大值和最小值时x的取值集合．
解： y 2cos2 x+2 3sinx 2
2sin2x+2 3sinx
2
2 sin x
A．2π B．π C. π
2
D. π
4
【提示】 由函 数y＝|sinx|的图象
可知其周期为π.
5．函数f(x)＝2sin2x＋4sinx＋2的最大值和最小值分别
为( C )
A．6，0 B．6，－1 C．8，0 D．8，－1
【提示】 f(x)＝2sin2x＋4sinx＋2＝2(sin2x＋2sinx＋1)＝
知识梳理
(3)正弦函数的性质
①定义域：____R____.
②值域：__[_－__1_，__1_] _.
当
x
π 2
2kπ
，k∈Z时，ymax＝__1__；当x＝
π 2
2kπ
k
Z
____________时，ymin＝－1.
③周期性：T＝___2_π____.
注：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
【提示】 要使函数有意义，需满足条件1＋2sinx＞
0，即sinx＞ 1 ,
2
由正弦函数的图象可知
π
2kπ
x
7π
2kπ(k
Z).
6
6
∴函数的定义域为
π
6
2kπ,
7π 6
2kπ
(k
Z).
同步精练
三、解答题 11．已知角α是第三象限角，且sinα＝5－2m，求m的取 值集合．
解：∵角α是第三象限角， ∴sinα＜0，即5－2m＜0， 又∵sinα∈[－1，1]，
2．余弦函数的图象和性质
知识梳理
(1)余弦函数的图象 如图所示，把正弦函数y＝sinx的图象沿x轴向左平移
π
____2____个单位就是余弦函数y＝cosx，x∈R的图象，即余 弦曲线．
注：根据单位圆中三角形的全等，可得公式cos x sin
把正弦曲线沿x轴向左平移
π 2
个单位就得到余弦曲线．
,
3π 2
(k∈Z)
D.
π 2
kπ, 3π 2
kπ
(k∈Z)
【提示】 由函数y＝ 2sinx－3图象可知答案．
同步精练
7．下列关于函数y＝2sinx＋3x的奇偶性的说法中，正
确的是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数
【提示】 ∵∀x∈R， 都有f(－x)＝－f(x)，∴函 数为奇函数，故选A.
【提示】 ∵sinx∈[－1，1]，即a－2∈[－1， 1]，∴a∈[1，3]，故选A. 3．函数y＝1－cosx的值域是( D ) A．[－1，1] B．[0，1] C．[－1，0] D．[0，2] 【提示】 ∵cosx∈[－1，1]，∴1－cosx∈[0，2]，故选D.
同步精练
4．函数y＝|sinx|的最小正周期为( B )
|
x
π 2
2kπ
Z
单调增区间
π 2
2kπ, 3π 2
2kπ
(k∈Z)
单调减区间
π 2
2kπ,
π 2
2kπ
(k∈Z)
典例解析
【举一反三3】 若y＝asinx－2有最大值是0，则实数a 的值等于___±__2___．
【提示】 若a＞0，则当sinx＝1时，ymax＝a －2＝0，∴a＝2；若a＜0，则当sinx＝－1时， ymax＝－a－2＝0，∴a＝－2.
3 2
3 2
当sin x
3 2
时，ymax
3 ,此时 2
同步精练
x
x
|
x
π
3
2kπ,k
Z
x
|
x
2π 3
2kπ,k
Z;
当sin x 1时，ymin 2 2 3,
此时x
x
|
x
π
2
2kπ,k
Z.
【提示】 判断函数奇偶性的两种方法结合 使用．
【思路点拨】 本题考查函数奇偶性的判 断．方法一：定义法；方法二：图象法．
典例解析
【例3】 求函数y＝3－sinx的周期、最大值、最小值以 及取得最大、最小值时x的取值集合、单调区间．
【解析】 函数的周期T＝2π；
当sinx＝－1时，ymax＝3－(－1)＝4，此时x的取值
【思路点拨】 需使函数有意 义，则要求cosx－1≥0.
典例解析
【例2】 断正确的是(
关于函数f(x)＝cos A)
2
x
＋2x3的奇偶性，判
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【解析】
因为函数f(x)＝cos
2
x
＋2x3的定
义域为R，关于原点对称．
由诱导公式知f(x)＝cos
2
x
＋2x3＝sinx＋2x3，
而f(－x)＝sin(－x)＋2(－x)3＝－sinx－2x3＝－f(x)，
故函数f(x)＝cos
2
x
＋2x3是奇函数．故选A.
典例解析
【举一反三2】 A．y＝sinx＋2 C．y＝|sinx|
下列函数是偶函数的是( C )
B．y＝cos
2
x
D．y＝xcosx
x
π 2
.
知识梳理
(2)余弦函数的性质 ①定义域：____R____. ②值域：__[_－__1_，__1_]__. 当x＝__2_k_π_(k_∈__Z_)__时，ymax＝1；当x＝_(_2_k_＋__1_)π_(_k_∈__Z_)_ 时，ymin＝－1. ③周期性：T＝____2_π___. ④奇偶性：余弦函数y＝cosx，x∈R是____偶____函数， 函数图象关于___y_轴____对称． 注：由余弦曲线可知图象关于y轴对称可判断为偶函数； 也可根据诱导公式cos(－x)＝cosx判断． ⑤单调性：在每个闭区间__[_(2_k_－__1_)_π_，__2_k_π_]_(k_∈__Z_)__上是 增函数；
三角函数的图像与性质(5)—正切函数的图象和性质(1)
1.3.2 三角函数的图像与性质(5)一、课题：正切函数的图象和性质（1）二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；3．掌握正切函数的性质。
三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。
四、教学过程：（一）复习：问题：正弦曲线是怎样画的？（二）新课讲解：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎫ ⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
思考：例：求函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域。
高中数学学案43第五章三角函数的图象与性质
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )(3)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3【经典例题】题型一 用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式 点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集．例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题 点拨：方程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． 例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．【当堂达标】1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．6.求下列函数的定义域．(1)y ＝ sin x －12＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时：三角函数的周期性性质。
4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时：三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
第5讲 三角函数的图象与性质
第5讲三角函数的图象与性质1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，0)，□1(π2，1)，□2(π，0)，□3(3π2，－1)，□4(2π，0).(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，1)，□5(π2，0)，□6(π，－1)，□7(3π2，0)，□8(2π，1).2.三角函数的图象与性质(表中k ∈Z )π区间对称中心□22(k π，0)□23(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程□24x ＝k π＋π2□25x ＝k π无常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期.2.奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z ).(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.()(2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.()(3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.()(4)y ＝sin|x |是偶函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)函数y ＝2sin(x －π3)(x ∈[－π，0])的单调递增区间是()A.[－π，－5π6] B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析：D 令－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .由于x ∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为[－π6，0].(2)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是.解析：由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠12k π＋π6，k ∈Z .答案：{x |x ≠12k π＋π6，k ∈Z }(3)函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈[0，π2]的值域是.解析：由x ∈[0，π2]得x ＋π3∈[π3，5π6]，所以y ＝cos(x ＋π3)∈[－32，12].答案：[－32，12]三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.[－π6，π6]B.[k π－π6，k π＋π6](k ∈Z )C.[2k π－π6，2k π＋π6](k ∈Z )D.R解析：C由cos x－32≥0，得cos x≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为.解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，∴sin x cos x＝1－t2 2，且－2≤t≤ 2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2].当t＝1时，y max＝1；当t＝－2时，y min＝－1＋22 2.∴函数y的值域为[－1＋22 2，1].答案：[－1＋22 2，1]反思感悟1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练1(1)函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为.解析：要使函数有意义，x＞0，x－12≥0，x＞0，x≥12，kπ＜x＜π＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}.答案：{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)函数f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x的最小值为.解析：∵f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x＝－cos2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－2(cos x＋34)2＋178，－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－4三角函数的周期性、奇偶性与对称性例2(1)(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝sin(π2x) B.f(x)＝cos(π2x)C.f(x)＝sin(π4x) D.f(x)＝cos(π4x)解析：B由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T＝2ππ2＝4，B选项中T＝2ππ2＝4，C选项中T＝2ππ4＝8，D选项中T ＝2ππ4＝8，排除选项CD，对于A选项，当x＝2时，函数值sin(π2×2)＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当x＝2时，函数值cos(π2×2)＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴.故选B.(2)(2024·贵阳联考)使函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为偶函数，则θ的一个值可以是()A.π3B.π6C.－π3D.7π6解析：A由f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π6 )，因为f(x)为偶函数，可得θ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以θ＝kπ＋π3，k∈Z，令k＝0，可得θ＝π3 .反思感悟有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解.(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.训练2(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于直线x＝π对称，则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是(－2π，0)D.f(x)的一个递增区间是(2，3)解析：BD B项，f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π，B正确；A 项，由于f (x )的图象关于直线x ＝π对称，且最小正周期是π，因此f (x )的图象也关于直线x ＝0对称，故f (x )是偶函数，A 错误；C 项，因为是偶函数，且最小正周期是π，则f (x )＝2cos 2x 或f (x )＝－2cos 2x ，根据0＜φ＜π可得解析式为前者，f (x )的对称中心为(k π2－π4，0)(k ∈Z )，C 错误；D 项，由于(2，3)⊆(π2，π)，f (x )在(π2，π)单调递增，D 正确.(2)(2024·遂宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋cos ωx (ω＞0)，f (x 1)＝0，f (x 2)＝3，且|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为()A.23B.12C.1D.2解析：Bf (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin(ωx ＋π3)，3是函数的最大值，由题意可知，|x 1－x 2|的最小值是14个周期，所以14×2πω＝π，得ω＝12.三角函数的单调性求三角函数的单调区间例3已知函数f (x )＝2cos(π4－3x )，x ∈[－π2，π2]，则f (x )的单调递增区间是()A.[－π2，0]B.[－π4，π12]C.[－π2，－π4]，[π12，5π12]D.[－π4，π12]，[5π12，π2]解析：Df (x )＝2cos(π4－3x )可化为f (x )＝2cos(3x －π4)，故单调增区间：2k π－π≤3x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得23k π－π4≤x ≤23k π＋π12，k ∈Z .令k ＝0，－π4≤x ≤π12，令k ＝1，512π≤x ≤34π.∵x ∈[－π2，π2]，所以f (x )的单调递增区间是[－π4，π12]，[5π12，π2].根据函数的单调性求参数例4(1)(2024·绵阳模拟)若函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，则实数a 的取值范围是()A.(0，π6]B.(0，π3]C.[π6，π3] D.[π6，5π6]解析：A 因为x ∈(－a ，a )，所以有a ＞0，且0∈(－a ，a )，因为函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，＋π3≤π2，a ＋π3≥－π2⇒a ≤π6，∴0＜a ≤π6.(2)(2024·长沙长郡中学模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω＞0)恒有f (x )≤f (2π)，且f (x )在[－π6，π3]上单调递增，则ω的值为()A.56B.16C.76D.16或76解析：B因为恒有f (x )≤f (2π)，所以当x ＝2π时f (x )取得最大值，所以2πω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，得ω＝16＋k，k∈Z.因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以π3－(－π6)≤T2，即2πω≥π，得0＜ω≤2.因为x∈[－π6，π3]，所以ωx＋π6∈[－π6ω＋π6，π3ω＋π6].因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以－π6ω＋π6≥－π2＋2kπ，＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得≤4－12k，≤1＋6k，k∈Z.所以4－12k＞0，且1＋6k＞0，k∈Z，解得－16＜k＜13，k∈Z.故k＝0，ω＝16.反思感悟1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练3(1)(2024·西安模拟)下列区间中，函数f(x)＝3sin x－cos x单调递增的区间是()A.(0，π2)B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析：A 由题意得，f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π3≤x ≤23π，当k ＝1时，53π≤x ≤83π，因为(0，π2)⊆[－π3，23π]，所以(0，π2)是一个单调递增的区间.故选A.(2)已知a ＝sin 1，b ＝sin 32，c ＝sin 2，则()A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：D 由三角函数的诱导公式，可得sin 2＝sin(π－2)，因为0＜1＜π－2＜32＜π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，所以sin 1＜sin(π－2)＜sin 32，即a ＜c ＜b .(3)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π解析：A f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，由题意得a ＞0，因为f (x )＝2cos(x ＋π4)在[－a ，a ]上是减函数，a ＋π4≥0，＋π4≤π，＞0，解得0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4.限时规范训练(二十八)A 级基础落实练1.(2024·湖南联考)函数f (x )＝6sin x 4cos x4－2的最小正周期和最小值分别是()A.π和－5 B.π和－3C.4π和－5 D.4π和－3解析：Cf (x )＝6sin x 4cos x 4－2＝3sin x2－2，则f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π，当x 2＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，f (x )取到最小值为－5.2.函数y ＝16－x 2lg （sin x ）的定义域是()A.[－4，4]B.[－4，π2)∪(π2，4]C.[－4，－π)∪(0，π)D.[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π)解析：D y＝16－x2lg（sin x）有意义满足－x2≥0，x＞0，（sin x）≠0，即4≤x≤4，kπ＜x＜π＋2kπ，≠π2＋2kπ(k∈Z)，解得x∈[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π).故选D.3.已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为()A.(－∞，32] B.[1，32]C.(1，32] D.(－3，2]解析：B由f(x)＝cos2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x，设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0，1]，∴g(t)＝－2(t－12)2＋32，∴g(t)∈[1，32]，即f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为[1，32].4.下列不等式中不成立的是()A.cos(－3π10)＞cos(－4π9)B.sin507°＜sin145°C.tan(－π5)＜tan(－3π7)D.sin4＜cos4解析：C因为余弦函数y＝cos x是偶函数，比较cos310π与cos49π即可，因为0＜3π10＜4π9＜π2，所以cos3π10＞cos4π9，即cos(－3π10)＞cos(－4π9)，A 正确；sin 507°＝sin 147°，正弦函数y ＝sin x 在(90°，180°)上单调递减，且90°＜145°＜147°＜180°，所以sin 147°＜sin 145°，即sin 507°＜sin 145°，B 正确；因为－π2＜－3π7＜－π5＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)内单调递增，所以tan(－3π7)＜tan(－π5)，C 错误；因为5π4＜4＜3π2，则sin 4＜cos 4＜0，D 正确.5.(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，直线x＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则f (－5π12)＝()A.－32B.－12C.12 D.32解析：D 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，所以T 2＝2π3－π6＝π2，且ω＞0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝sin(2x －5π6)，则f (－5π12＝sin(－5π3)＝32.故选D.6.(多选)已知函数f (x )＝tan(2x －π4)，下列结论正确的是()A.函数f (x )的最小正周期为π2B.函数f (x )的定义域为{x )x ≠k π2＋π8，k ∈Z }C.函数f (x )图象的对称中心为(k π4＋π8，0)，k ∈ZD.函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z解析：ACD对于A ，函数f (x )＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2，所以A 正确；对于B ，令2x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π8＋k π2，k ∈Z ，即函数f (x )的定义|x ≠3π8＋k π2，k ∈B 错误；对于C ，令2x －π4＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的图象关于点(k π4＋π8，0)，k ∈Z 对称，所以C 正确；对于D ，令k π－π2＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－π8＜x ＜k π2＋3π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z ，所以D 正确.故选ACD.7.设φ＞0，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)为偶函数，则φ的最小值为.解析：f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2[12sin(2x ＋φ)－32cos(2x ＋φ)]＝2[sin(2x ＋φ)cos π3－cos(2x ＋φ)sin π3]＝2sin(2x ＋φ－π3)，∵f (x )为偶函数，所以φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6，又φ＞0，∴当k ＝0时，φ的最小值为5π6.答案：5π68.已知直线x ＝π3和x ＝5π6是曲线y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是.解析：由条件可知πω＝5π6－π3＝π2，得ω＝2，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝1时，φ＝5π6.故答案为5π6(答案不唯一).答案：5π6(答案不唯一)9.设函数f (x )＝sin(ωx －π6)＋k (ω＞0)，若f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值等于.解析：f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，∴sin(ωx －π6)＋k ≤sin(ωπ3－π6)＋k ，∴sin(ωπ3－π6)＝1，∴ωπ3－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又ω＞0，∴ωmin ＝2.答案：210.已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域.解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以f (x )最小正周期为π，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得单调递减区间是[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z ).(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π3∈[π3，4π3]，则2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )有最小值为－3，2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )有最大值为2，所以此时f (x )的值域为[－3，2].11.(2024·南京模拟)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0.(1)若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；(2)若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值.解：(1)因为f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)，因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π3)，所以f (3π2)＝2sin(2×3π2－π3)＝2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝2sin(ωx －π3)，函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈[0，π4]，ω＞0，则ωx －π3∈[－π3，πω4－π3]，又函数f (x )在[0，π4]上单调，－π3≤π2，0，解得0＜ω≤103，所以当k ＝0时ω＝1.B 级能力提升练12.(2023·镇江二模)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)在(0，π3)上存在零点，且在(π2，3π4)上单调，则ω的取值范围为()A.(2，4)B.[2，72]C.[73，269]D.[73，4]解析：C化简f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，在x ∈(0，π3)时，ωx ＋π3∈(π3，π3ω＋π3)，该区间上有零点，故π3ω＋π3＞π⇒ω＞2，又x ∈(π2，3π4)时f (x )单调，则T ＝2πω≥2(3π4－π2)⇒ω≤4，即ω∈(2，4]，＜ωπ2＋π3≤7π3，＜3ωπ4＋π3≤10π3ωπ2＋π3，＋π3≤5π2⇒ω∈[73，269].13.(多选)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，则下列结论正确的是()A.点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心B.直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在[0，π]上有两个零点D.函数f (x )在[0，π]上有三个极值点解析：AC对于函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，当x ＝3π8时，f (x )＝1，结合正弦函数图象的对称性，可得点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心，故A 正确，B 错误；当x ∈[0，π]时，2x ＋π4∈[π4，9π4]，故当2x ＋π4＝7π6或11π6时，f (x )＝0，故函数f (x )在[0，π]上有两个零点，C 正确；当2x ＋π4＝π2或3π2时，函数f (x )取得极值，故函数f (x )在[0，π]上有两个极值点，D 错误.故选AC.14.(2024·盐城模拟)已知函数f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b (a ＞0)的值域为[－1，3].(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，求ω的取值范围.解：(1)f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b＝2a sin ax ＋a (22cos ax －22sin ax )＋b ＝22a sin ax ＋22a cos ax ＋b ＝a sin(ax ＋π4)＋b ，因为a ＞0，且函数f (x )的值域为[－1，3]，a ＋b ＝－1，＋b ＝3，＝2，＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )可得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，因此，函数f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z ).(2)因为f (ωx )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，由于0≤x ≤π6，则π4≤2ωx ＋π4≤πω3＋π4，由f (ωx )＝0可得sin(2ωx ＋π4)＝－12，因为f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，则7π6≤πω3＋π4＜11π6，解得114≤ω＜194.因此，ω的取值范围是[114，194).。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:(1) 函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; (2) 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; (3) 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; (4) 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）; 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）. 三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求下列函数的最值： (1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin 2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π).[题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2. (3)y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2; 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π], ∴当x-3π=0 即x=3π时 y max =2; 当x-3π=3π 即x=32π时 y min =1. [例2] 求下列函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3-- ; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x . [题解] (1)∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π] (k ∈Z). (2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 , ∴x ∈R , 1cos ≤y ≤1.[例3] 已知函数f(x)=2asin 2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。
第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质
第五章三角函数5.4.3 正切函数的图像与性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的图像与性质。
本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。
是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。
因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。
发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。
并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝A tan(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：函数图像与函数性质相对应；e.数学建模：正切函数的性质及应用；教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
多媒体当x ∈[0,π2) 时，随狓x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于π2时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y =tan x, x ∈[0,π2)的 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线π2+kπ， k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． ３.单调性观察正切曲线可知，正切函数在区间(-π2, π2)上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-π2+k π, π2 +k π),k ∈Z,上都单调递增． ４.值域当x ∈(-π2, π2)时，tan x 在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R ．典例解析例６. 求函数y =tan (π2x +π3)的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量x 的取值应满足;π2x +π3 ≠π2+kπ,k ∈Z ；即;x ≠13+2k,k ∈Z 所以，函数的定义域是{x|x ≠13+2k,k ∈Z }设z=π2x +π3，又tan (z +π)=tanz ， 所以tan[(π2x +π3)+π]=tan (π2x +π3)即; tan[π2(x +2)+π3]=tan (π2x +π3) 因为∀x ∈{x|x ≠13+2k,k ∈Z },都有tan[π2(x +2)+π3]=tan (π2x +π3) 所以，函数的周期为２．由−π2+kπ<π2x +π3 < π2+kπ,k ∈Z 解得；−53+2k <x < 13+2k,k ∈Z因此，函数在区间(−53+2k , 13+2k ), k ∈Z , 上单调递增．归纳总结 1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．3．求y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间时，由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z 求得x 的范围；当ω<0时，可先用诱导公式把ω化为正值．。
高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质
2
突破点二 三角函数的性质
3
课时跟踪检测
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突破点一 三角函数的定义域和值域
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
三角
余弦函数 y＝
正弦函数 y＝sin x
正切函数 y＝tan x
函数
cos x
图象
定义 R
域
{ x| x∈R ，且 x
R
≠
kπ＋π2
，k∈Z
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三角 函数 值域
正弦函数 y＝sin x
()
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二、填空题
1．y＝ 2sin x－ 2的定义域为________________________．
解析：要使函数式有意义，需2sin
x－
2≥0，即sin
x≥
2 ，借 2
助正弦函数的图象(图略)，可得 π4 ＋2kπ≤x≤34π ＋2kπ，k∈Z，所
以该函数的定义域是π4＋2kπ，34π＋2kπ(k∈Z)．
换元法 asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
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[集训冲关]
1.[考法一]函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34＝－cos2x＋ 3cos x
＋14＝－cos x－ 232＋1， 因为 x∈0，π2，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 23时，f(x)max＝1.
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(3)设t＝sin x－cos x， 则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝1－2 t2，且－1≤t≤ 2. ∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1]
2021届 与名师对话 高三理科数学第一轮 第四章 三角函数、解三角形 第五节 三角函数的图象与性质
故当 t＝－ 22，即 x＝－π4时，ymax＝－－ 22＋12＋2＝
课 后 跟
点 突
2 2＋1
踪 训
破
2.
练
第22页
第4章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
(1)三角函数定义域的求法
名
础 知
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式
师 微
识
课
回 顾
(组)，常借助三角函数图象来求解．
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
4．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝
π 4
，x2＝
3π 4
是函数f(x)＝
基 础
sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )
知
名 师 微
识
回 顾
A．2
B．32
课 导 学
C.1
D．12
核
课
心 考 点
[解析] 依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2ωπ＝
后 跟
点 突
号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝
破
踪 训 练
sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
第8页
第4章 第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
名
础
师
知
微
识 回
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
课 导
顾 “×”)
学
(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．( × )
回
导
顾
学
[解析] 因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]．由f(x)＝cos2x