排列数公式和组合数公式
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合算法基本概念从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m=n时所有的排列情况叫全排列。
P(n,m)=n(n-1).(n-m+1)=n!-(n-m)! 特别的，定义0!=1组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号c(n,m) 表示。
c(n,m)=p(n,m)-m!=n!-((n-m)!*m!)3、计算公式排列算法递归算法#include stdio.hvoid swap(int *a, int *b)void perm(int list[], int k, int m)for(i = 0; i = m; i++)printf("%d ", list[i]);printf("");for(i = k; i = m; i++)swap(list[k], list[i]);perm(list, k + 1, m);swap(list[k], list[i]);int main()int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(list, 0, 4);printf("total:%d", n);return 0;template typename Tinline void swap(T* array, unsigned int i, unsigned int j) T t = array[i];array[i] = array[j];array[j] = t;* 递归输出序列的全排列void FullArray(char* array, size_t array_size, unsigned int index)if(index = array_size)for(unsigned int i = 0; i array_size; ++i)cout array[i] ' ';for(unsigned int i = index; i array_size; ++i)swap(array, i, index);FullArray1(array, array_size, index + 1);swap(array, i, index);#include "iostream"using namespace std;void permutation(char* a,int k,int m)if(k == m)span style="white-space:pre"-spanfor(i=0;i=m;i++) span style="white-space:pre"-spancouta[i]; coutendl;for(j=k;j=m;j++)swap(a[j],a[k]);permutation(a,k+1,m);swap(a[j],a[k]);int main(void)char a[] = "abc";couta"所有全排列的结果为："endl;permutation(a,0,2);system("pause");return 0;}#include "iostream"#include "algorithm"using namespace std;void permutation(char* str,int length)sort(str,str+length);for(int i=0;ilength;i++)coutstr[i];coutendl;}while(next_permutation(str,str+length));int main(void)char str[] = "acb";coutstr"所有全排列的结果为："endl;permutation(str,3);system("pause");return 0;}--- 求从数组a[1.n]中任选m个元素的所有组合。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式排列组合的数学公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）.k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）（n-m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
排列和组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m) 或P(n,m)表示.A(n,m)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。
以上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
排列组合和排列组合计算公式.
排列组合公式/排列组合计算公式排列P——和顺序有关组合C——不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"把5本书分给3个人，有几种分法"组合"1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mcn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ......... (n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2 .组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数•用符号c(n ,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) ；c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的全排列数为n!/( n1!* n2!*…* nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=r K (n-1 ) .... (n-m+1 ) ; Pnm=n ! / (n-m )!(注:!是阶乘符号)；Pnn (两个n分别为上标和下标) =n ! ; 0! =1 ; Pn1 (n为下标1为上标)=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n ! /m ! （n-m ）!; Cnn （两个n分别为上标和下标）=1 ; Cn1 （n为下标1为上标）=n ；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30（“ J j1b上二闸T~ 7f ~ - rj rc>cz r公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列与组合定理和公式
排列与组合定理和公式定义: 1、从S中有序选取的r个元素称作S的⼀个r排列。
S的不同r排列总数记作P（n，r），r=n时，称为S的全排列。
2、从S中⽆序选取的r个元素称作S的⼀个r组合。
S的不同r组合总数记作C（n，r）。
推论 1、元素⼀次排成⼀个圆圈的排列称为环排列。
S的环排列数等于 P（n，r）/r，其实就是线性排列数的1/r。
推论 2、C（n，r）= C（n-1，r-1）+C（n-1，r）。
该公式就是杨辉三⾓形，也称作Pascal公式。
定义：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集，n=n1+n2+...+nk表⽰S中的元素总数。
（1）从S中有序选取的r个元素称为S的⼀个r排列。
r=n的排列称为S的全排列。
（2）从S中⽆序选取的r个元素称为S的⼀个r组合。
定理：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集（1）S的全排列数是n!/（n1! n2! n3!...nk!）.（2）若r<=ni, i=1，2，3，...，k,那么S的 r 排列数是k^r。
（3）若r<=ni, i=1,2,3,..k，那么S的 r 组合数是C（k+r-1 , r）.即T={R*1, (K-1)**},等于（k+r-1）!/（r! *（k-1）!）.格路径数：定理：从（r，s）到（p，q）的矩形格路径的条数等于⼆项式系数C（p-r+q-s, p-r）=C（p-1+q-s, q-s）.定理：令n为⾮负整数，则从（0，0）到（n，n）的下对⾓线矩形格路径的条数等于第n个Catalan数Cn=1/(n+1) *C(2n，n).定理：从（0，0）到（p，q）的下对⾓线矩形格路径的条数等于（q-p+1）/(q+1)*C（p+q。
q）。
前100个Catalan数：“1”“1”"2","5","14","42","132","429","1430","4862","16796","58786","208012","742900","2674440","9694845","35357670","129644790","477638700","1767263190","6564120420","24466267020","91482563640","343059613650","1289904147324","4861946401452","18367353072152","69533550916004","263747951750360","1002242216651368","3814986502092304","14544636039226909","55534064877048198","212336130412243110","812944042149730764","3116285494907301262","11959798385860453492","45950804324621742364","176733862787006701400","680425371729975800390","2622127042276492108820","10113918591637898134020", "39044429911904443959240", "150853479205085351660700", "583300119592996693088040", "2257117854077248073253720", "8740328711533173390046320", "33868773757191046886429490", "131327898242169365477991900", "509552245179617138054608572", "1978261657756160653623774456", "7684785670514316385230816156", "29869166945772625950142417512", "116157871455782434250553845880", "451959718027953471447609509424", "1759414616608818870992479875972", "6852456927844873497549658464312", "26700952856774851904245220912664", "104088460289122304033498318812080", "405944995127576985730643443367112", "1583850964596120042686772779038896", "6182127958584855650487080847216336", "24139737743045626825711458546273312", "94295850558771979787935384946380125", "368479169875816659479009042713546950", "1440418573150919668872489894243865350", "5632681584560312734993915705849145100", "22033725021956517463358552614056949950", "86218923998960285726185640663701108500", "337485502510215975556783793455058624700", "1321422108420282270489942177190229544600", "5175569924646105559418940193995065716350", "20276890389709399862928998568254641025700", "79463489365077377841208237632349268884500", "311496878311103321137536291518809134027240", "1221395654430378811828760722007962130791020", "4790408930363303911328386208394864461024520", "18793142726809884575211361279087545193250040", "73745243611532458459690151854647329239335600", "289450081175264899454283846029490767264392230", "1136359577947336271931632877004667456667613940", "4462290049988320482463241297506133183499654740", "17526585015616776834735140517915655636396234280", "68854441132780194707888052034668647142985206100", "270557451039395118028642463289168566420671280440", "1063353702922273835973036658043476458723103404520", "4180080073556524734514695828170907458428751314320", "16435314834665426797069144960762886143367590394940", "64633260585762914370496637486146181462681535261000", "254224158304000796523953440778841647086547372026600", "1000134600800354781929399250536541864362461089950800", "3935312233584004685417853572763349509774031680023800", "15487357822491889407128326963778343232013931127835600", "60960876535340415751462563580829648891969728907438000", "239993345518077005168915776623476723006280827488229600", "944973797977428207852605870454939596837230758234904050", "3721443204405954385563870541379246659709506697378694300", "14657929356129575437016877846657032761712954950899755100", "57743358069601357782187700608042856334020731624756611000", "227508830794229349661819540395688853956041682601541047340", "896519947090131496687170070074100632420837521538745909320"。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
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记
学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生思维情况学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
备
注
2.解方程：
（1）P ；（2）P
介绍
质疑
讲解
说明
了解
思考
启发
学生思考
教学
活
教学步骤与内容
教学
组织形式
教学方法
达成目标
【双基讲解】
二、组合数公式
从4个不同元素，，，中，任意取3个元素的所有组合是：
“，，”，“，，”，“，，”，“，，”，即组合数为4.
组合数：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数叫做从 个不同元素中任意取出 个元素的组合数.用符号C 表示.
这样，从4个不同元素中，每次取3个元素的所有排列数，记作 ，【示范例题】
例1计算
(1) P ；(2) .
解(1) P .
(2) .
例2解方程：P
解由P ，P ，得 ，
即 ，解得 或 .
因为 ，所以 .
课堂练习
1.计算：
（1）P ； （2）P ；
（3）P ； （4） .
教
学
要
求
知识&技能
重点
难点
教学目标
识记
理解
应用
分析
综合
排列数公式
√
√
组合数公式
√
√
教学方法设计
课堂演示
教学资源使用说明
多媒体，计算器
作
业
内
容
课本练习题P14 1.2.3 P17 1.2
教学
活动
流程
教学步骤与内容
教学
组织形式
教学方法
达成目标
【双基讲解】
一、排列数
一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中任意取出个元素的排列数.用符号 表示.
上海食品科技学校
《数学》教案
课次
3
课时
2
班级
1510
执教者
周次
2
课型
新课
日期
9.13
课题
排列数公式和组合数公式
教
学
目
标
知识
技能
态度
1.掌握排列数公式、组合数公式，并能进行相关计算.
2.会用函数型计算器求排列数、组合数.
通过具体的实例，导出排列数的计算公式；利用类比的方法，引导学生推导组合数公式.
用枚举法解决排列组合问题，让学生体会排列数公式与组合数公式的优势以及实用性，引发学生学习数学的兴趣.
这样，从4个不同元素中，任意取3个元素的所有组合数，记作：C ，即C
因此，从 个不同元素中，任意取出 个元素的组合数为
C .
这个公式叫做组合数公式.
我们规定：
【示范例题】
例3计算：
(1) C (2) .
解:(1) C .
(2) .
【巩固练习】
1.计算：
（1）C
（2）C
质疑
引导
分析
思考
启发
学生
思考
教
学