排列与排列数公式18875
排列数计算公式
排列数计算公式排列数计算公式是组合数学中的重要内容之一，用来计算从n个不同元素中取出m个元素进行排列的方法数。
排列数计算公式可以根据具体情况有多种不同的表达方式，下面将介绍几种常用的排列数计算公式及其应用。
1. **排列数计算公式**：排列数计算公式通常用P(n, m)来表示，表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数。
排列数计算公式可以表示为P(n, m) = n! / (n - m)!，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1。
排列数计算公式的应用范围非常广泛，比如排列组合、概率统计、密码学等领域都会用到排列数计算公式。
2. **排列数计算公式的推导**：排列数计算公式的推导可以从数学定义出发。
当我们从n个元素中取出第一个元素时，有n种选择；取出第二个元素时，有n-1种选择；以此类推，取出第m个元素时，有n-m+1种选择。
根据乘法原理，从n 个元素中取出m个元素进行排列的方法数为n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-m+1) = n! / (n-m)!。
3. **排列数计算公式的应用**：排列数计算公式在实际应用中有很多用途。
比如在密码学中，排列数计算公式可以用来计算密码的破解难度；在排列组合中，排列数计算公式可以用来计算不同排列的方法数；在概率统计中，排列数计算公式可以用来计算事件的排列可能性等。
4. **排列数计算公式的例题**：举个例子来说明排列数计算公式的应用。
假设有5个不同的字母，要从中取出3个字母进行排列，那么排列数计算公式可以表示为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 * 4 * 3 = 60。
即从5个不同的字母中取出3个字母进行排列的方法数为60种。
5. **排列数计算公式的注意事项**：在使用排列数计算公式时，需要注意元素的个数和排列的个数不能为负数，否则排列数计算公式会失效。
此外，排列数计算公式的计算结果通常为整数，可以用来计算排列的方法数，但不能用来计算排列的具体排列方式，如果要计算排列的具体排列方式，需要进一步进行排列组合的计算。
排列与排列数公式
实质是：从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.
定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.
基本概念 一、排列概念：
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列.
ab, ba, ac, ca, bc， cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
百
１
２
３
４
十２３４ １３４ １２４ １２３
个 ３４ ２４２３ ３４ １４１３ ２４ １４１２ ２３ １３１２
树形图
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432.
An2
An3 n(n 1)(n 2)
合作交流 互动探究
问题5 从n个不同元素中取出m个元素，排
成一列，共有多少种排列方法？
……
n种 (n-1)种 (n-2)种
(n-m+1)种
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
问题1
问题2
从甲、乙、丙3名同学中选出 从1，2，3，4这4个数
2名参加某天的一项活动，其 中，每次取出3个排成一
中1名同学参加上午的活动， 个三位数，共可得到多少
1名同学参加下午的活动，有 个不同的三位数？
多少种不同的方法？
排列与排列数公式
考点二：排列数的应用
例1：计算 (1) A53
(2)
2
A85 A88
7 A84 A95
总结：排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个 因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．
A 例2：用 m 表示下列式子 n
（1）19×18×17×…×10×9等于( )
特殊情况
Ann＝__n_！_，1！＝__1 ,0！＝_1_
思考：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A
m n
只表示排列数，
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
练习
1.判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来 回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)同宿舍4人，每两人互通一封信， (7)同宿舍4人，每两人通一次电话，
全排列的概念
n个不同元素__全_部__取__出____的一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
排列数公式
n！ 阶乘式Anm＝__n_－__m__！___ (n，m∈N*，m≤n)
练习
而不表示具体的排列．
高三数学排列和组合知识点
高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。
本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。
一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。
在排列中，对象的顺序是重要的。
下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。
2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。
排列数为1。
5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。
二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。
在组合中，对象的顺序不重要。
下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。
2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。
组合数为1。
5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。
三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。
2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。
四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。
高中数学 排列计算公式(二)
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出的元素各不相同的 情况），按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 m 元素的排列数，用符号 n 表示。
解法一：对排列方法分步思考。
百位
1 1
十位
1
个位
9 9 8 648 A9 A9 A8
9 9 8 648 A9 A9
1 2
解法二：对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类：
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
0
A
3 9
A
3
2 9
A
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
n
n ( n 1 ) ( n 2 ) • ···•3 •2 •1 An
n An ！
n
变式题：
m 1 、如果An 17 16 5 4
则n ,m 2、若n N , 则 (55 n)(56 n) (68 n)(69 n) 用排列数符号表示为
( 2) A A A
m n k n
mk nk
(k m n)
(n 1)! n! (n k 1) n! (3) k! (k 1)! k!
练习：
求解下列各式的值或解方程。
(1) A
4 2 n 1 4 8 8 8
140 A
5 8
3 n
(完整word版)排列组合公式(全)(word文档良心出品)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列与排列数公式
13
134
142
14
143
312
31
314
213 21
214
231
2
23
234
241
24
243
412 41
413
321
421
3
32 324
4
42
423
341 34
342
431
43
432
排列与排列数
一、排列
定义 从 n个不同的元素中取出 m (m n) 个元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列。
9.穿有1 ~ 8 号运动衣的 8 位运动员排成一排，其中 4 号运动员 必须排在号码比他大的运动员左边，共有几种排法？
解：设有 x 种排法， 把 4 号分别与 5, 6, 7, 8 号运动员互换位置，仍然分别得到 x 种排法。
5x P88 8! x 8064
10. 2 名教师，5 名学生排二排照相，前排 3 人，后排 4 人。 (1) 共有几种排法？ (2) 两教师在前排？ (3) 两教师相邻且在前排？ (4) 教师甲在前排，乙在后排？
n2
1! 2! 3! 2! 3! 4!
n! (n 1)! (n 2)!
解：原式 1 1 1 1 1 1
2! 3! 3! 4!
(n 1)! (n 2)!
1 1 2 (n 2)!
例2 用1, 2, , 9 中任意 3 个不同数字构成三位数，共有几个 不同三位数？
16. 有8名划船手共划一条船参加比赛，其中2人只能左，3人 只能右。现要使两边各有 4 人，分别负责不同岗位，问： 有多少种安排方式？
1.2.1排列与排列数公式
栏目 导引
第一章
计数原理
[解 ] (1)∵ n· n！＝ [(n＋ 1)－ 1]n! ＝ (n＋ 1)！－ n！ ， ∴原式＝ (2！－ 1！)＋(3！－ 2！)＋ (4！－3！)＋„＋[(n＋1)！ － n！] ＝ (n＋ 1)！－ 1. n－ 1 n 1 1 1 (2)证明：∵ ＝ － ＝ － ， n！ n！ n！ n－ 1！ n！ n－ 1 1 2 3 ∴ ＋ ＋ ＋„＋ 2！ 3！ 4！ n！ 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ － ＋ － ＋ － ＋„＋ － 1！ 2！ 2！ 3！ 3！ 4！ n－ 1！ n！ 1 ＝ 1－ <1. n！ ∴原式得证．
方法归纳 对简单的排列问题， 即对所排列的元素或所排列的位置没有特 别的限制，这类问题相对简单，分清元素和位置即可．
栏目 导引
第一章
计数原理
3．沿途有4个车站，求这四个车站之间需要准备不同车票
的种数．
解：要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车 站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种不 同的排法，即共有 A2 4种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝ 4× 3＝ 12.
栏目 导引
第一章
计数原理
2．2 000×2 001×2 002×„× 2 014 可表示为 ( B )
14 A． A2 014 16 C． A2 014 15 B．A2 014 17 D．A2 014
15 解析：由排列数公式知 2 000×2 001ׄ×2 014＝A2 014.
栏目 导引
第一章
栏目 导引
第一章
计数原理
[解 ]
(1)中票价只有三种， 虽然机票是不同的， 但票价是一
样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不 同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问 题，属于排列问题． 所以在上述各题中 (2)(5)(6)属于排列问题．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 计数原理
方法归纳 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
栏目 导引
第一章 计数原理
1.给出下列问题． (1)从0到9这十个数字中任取两个数，组成点的坐 标，可得到 多少个不同的点的坐标？ (2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动． (3)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母． (4)从a，b，c，d四个字母中取出2个 字母，然 后按顺 序排成 一列． 其中是排列问题的序号是__(_1_)(_4_)__．
栏目 导引
第一章 计数原理
排列数的计算与化简
(1)下列66； 6
② A55 ＝ A33 · A22； ③ A55 ＝ A35 · A53； ④ A55 ＝ A25 · A33. (2)计算 ：① A31 6＝ __3_3_6_0___． ②8A！82－＋AA41066＝－ __5_6_12_33_0__．
栏目 导引
第一章 计数原理
[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票 价是一 样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)中植树和种菜是不同的，存在顺序问题,属于排列问题． (3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委 员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在 顺序 问题，属 于排列问题． 所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．
n！ Amn ＝___（__n_－__m__）__！__________
Ann＝n！；A0n＝_____1_________；0！＝1 n，m∈N＋且 m≤n
栏目 导引
第一章 计数原理
1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ABC 叫做从 A，B，C，D 中取出三个字母排成一排的 一个排列数．( × ) (2)A25表示从 5 个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同 排列的个数．( × ) (3)若 Amn ＝10×9×8×7×6，则 n＝10，m＝5.( √ )
栏目 导引
第一章 计数原理
2．下列选项中，不属于排列问题的是( B ) A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛， 共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少 种分组方案 C．从3，5，7，9中任取两个数做指数运算，可以得到多少 个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多 少个点 解析：选项A，C，D都与顺序有关，而选项B与顺序无关．
2.排列数与排列数公式
排列数 定义
排列数 表示法
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的__所__有__排__列___的__个__数____，叫作从 n 个不
同元素中取出 m 个元素的排列数
Amn
栏目 导引
第一章 计数原理
排列数 公式
规定
乘积 形式 阶乘 形式
Amn ＝n__·(_n_－__1_)_·(_n_－__2_)_·_…__·(_n_－__m__＋_ 1)
栏目 导引
第一章 计数原理
1.排列及排列问题 (1)排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 __一__定__顺__序___排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个 元素的一个排列． (2)排列问题：把有关求_排__列__的__个__数__的问题叫作排列问题．
栏目 导引
第一章 计数原理
栏目 导引
第一章 计数原理
解析：(1)是排列问题，因为取出 的两个 数不同，则 点的 坐标不同，与顺序有关，故是 排 列问 题．(2)不是排列问 题．因为取出的两名同学参加 的 活动 与顺序无关．(3)不 是排列问题，因为 取 出的 两个字母与顺序无关．(4)是排 列问题，因为取出的两个字母还需要按顺序排成一列．
第一章 计数原理
§2 排 列
第一课时 排列与排列数公式
第一章 计数原理
学习导航
1.理解排列的意义，能正确写 出 一个排列问 题的所有排列．(难点) 学习目标 2．掌握排列数公式，能用排列数公式进行求 值和证明．(重点)
第一章 计数原理
1.排列的定义包含两个基本内容，一是“取出 元素”,二是“按照一定的顺序排成一列”. 注意理解不同顺序属于不同的排列，两个排 列相同当且仅当两个排列的元素完全相同， 学法指导 两个排列的顺序也完全相同． 2．排列是分步乘法计数原理的一个重要应用, 学习中要理解排列数公式的 推 导 过程，从中 体会“化归”的数学思想.
4．方程A5xA＋3x Ax4＝4 的解 x＝___5_____．
解析：A5xA＋3x Ax4＝ x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）＋x（x－1）（x－2）（x－3）
x（x－1）（x－2） ＝(x－3)(x－4)＋(x－3)＝x2－6x＋9＝4， 所以 x2－6x＋5＝0，解得 x＝5 或 x＝1(舍)．
栏目 导引
第一章 计数原理
(链接教材P9例1)
[解析]
(1)①右边＝6· 6
A55＝
A55＝左边
．
②左边＝5×4×3×2×1，
右边＝3×2×1×2×1，所以左边≠右边．
③右边 A53是错误的． ④右边＝ 5× 4× 3× 2× 1＝ A55＝左边．
栏目 导引
第一章 计数原理
(2)①A316＝16×15×14＝3 360. ②8A！82－＋AA41066 ＝8×7×6×5×84××73－×120××19＋×68××57×4×3×2×1 ＝57×6×5×4×3×2
栏目 导引
第一章 计数原理
3．乘积 5×6×7×…×20 等于( B )
A． A2107 C． A2105
B． A12 60 D． A2104
解析：根据题意，由于乘积 5×6×7×…×20 表示的是从 20 到 5 的连续 16 个自然数的乘积，则可知表示的为 A2106.
栏目 导引
第一章 计数原理
栏目 导引
第一章 计数原理
排列的概念
判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的 价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信．