排列与排列数公式(一)
排列与排列数公式
考点二：排列数的应用
例1：计算 (1) A53
(2)
2
A85 A88
7 A84 A95
总结：排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个 因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．
A 例2：用 m 表示下列式子 n
（1）19×18×17×…×10×9等于( )
特殊情况
Ann＝__n_！_，1！＝__1 ,0！＝_1_
思考：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A
m n
只表示排列数，
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
练习
1.判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来 回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)同宿舍4人，每两人互通一封信， (7)同宿舍4人，每两人通一次电话，
全排列的概念
n个不同元素__全_部__取__出____的一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
排列数公式
n！ 阶乘式Anm＝__n_－__m__！___ (n，m∈N*，m≤n)
练习
而不表示具体的排列．
1.2.1.2排列与排列数公式
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21
【习练·破】
1.已知
A
m n
=11×10×9×8×…×5,则m+n为______.
【解析】因为
A
m n
=11×10×9×8×…×5,所以n=11,m=(11-
5)+1=7,m+n=18.
答案:18
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22
2.计算:
A
6 7
A56
A54
=________.
【解析】A
3
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28
【素养·探】
在根据排列数的公式解决与其有关问题的过程中,经常
用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择
合适的公式,再将其转化为整式方程求解.
将本例2中的“
3A3x
2A
2 x1
6A2x”改为“ 3A2x
2A
2 x1
A32”,
则结果如何?
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29
6
8！ ，
10 x！
化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12,①
又
x x
8，所以2≤x≤8,②
2 0，
由①②及x∈N*,得x=8.
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34
【内化·悟】 当含排列数的方程和不等式问题中m的值较小时,适合 排列数公式的哪种形式? 提示:排列数公式的乘积式.
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35
【类题·通】 解决与排列数有关的方程、不等式问题的注意问题
利用排列数公式展开即得到关于x的方程(或不等式), 但由于x存在于排列数中,故应考虑排列数对x的制约, 避免出现增根.
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解 对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种． 二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析 根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析 根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案 3 600解析 不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的， 则其不同的排列有12×A 44＝12种， 而正确的排列只有1种， 则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析 可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)． 三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法． 解 作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．。
1-1.2.1第2课时排列与排列数公式
栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1
10.2排列⑴-排列与排列数公式
1→
2→
3→
4→
5→
复习引入 引例3 引例 由1,2,3,4,5能组成多少个没有重复数 , , , , 能组成多少个没有重复数 字的三位数? 字的三位数? 第1位 第2位 第3位 要得到一个由 , , , , 能组成没有重 解: 要得到一个由1,2,3,4,5能组成没有重 复数字的三位数,可以通过如下三步: 复数字的三位数,可以通过如下三步: 中选1个放到第一位 种放法; ① 从1,2,3,4,5中选 个放到第一位,有5种放法; , , , , 中选 个放到第一位, 种放法 中剩余的4个中选 个放到第二位, ②从1,2,3,4,5中剩余的 个中选 个放到第二位, , , , , 中剩余的 个中选1个放到第二位 种放法; 有4种放法; 种放法 中剩余的3个中选 个放到第二位, ③从1,2,3,4,5中剩余的 个中选 个放到第二位, , , , , 中剩余的 个中选1个放到第二位 种放法. 有3种放法 种放法 根据分步计数原理,得到一个这样的三位数有 根据分步计数原理,得到一个这样的三位数有 N=5×4×3=60种不同的方法, 这样的三位数 个. 种不同的方法, × × = 种不同的方法 这样的三位数60个 把这个计算过程 记为:A3 = 5 × 4 × 3 = 60 5
m n m n
是以上m步的集成的运算公式! 是以上 步的集成的运算公式! 步的集成的运算公式
公式的特点: 公式的特点:
个连续自然数的连乘积; ⑴m个连续自然数的连乘积; 个连续自然数的连乘积 以下依次减1,最小因数是( ⑵最大因数为n以下依次减 ,最小因数是(n-m+1). 最大因数为 以下依次减 )
第1位→4 课堂练习 练习1 从a,b,c,d这4个字母中,每次取出 个 第2位→3 个字母中, 练习 这 个字母中 每次取出3个 按顺序排成一列,共有多少种不同的排法 共有多少种不同的排法? 按顺序排成一列 共有多少种不同的排法? 第3位→2 解:共有4×3×2 = 24个. 记为:A3 = 4 × 3 × 2 = 24 共有 × × 个 4
1.2.1-排列与排列数公式
题型三 排列应用题 【例3】 (14分)(1)从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1
本，共有多少种不同的送法？ (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？
本题考查使用排列数公式的条件及分步计数原理， 应用排列数公式求排列数．
第17页，共23页。
第22页，共23页。
[正解] 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，
若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则
原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然
是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A
6 10
＝151
200(种)坐法．
在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题 做出判断．
第7页，共23页。
解 (1)从1,2,3,4这4个数字中取出3个不同的数，有(1,2,3)；(1,2,4)； (1,3,4)；(2,3,4)共4种取法．与顺序无关，不是排列问题． (2)画出下列树形图．
第8页，共23页。
由上面的树形图知所有的三位数为： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,3 41,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．所得三位数与顺 序有关，是排列问题． 规律方法 (1)理解判断一个问题是不是排列问题，关键看是否与 元素的顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，与顺序无关， 就不是排列问题，必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化． (2)枚举所有排列时注意“树形图法”“列表法”等的应用．
第2页，共23页。
试一试 排列与排列数有何区别？ 提示 “一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．
1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)
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排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
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3
161514 3360
121110 9 8 7 6 5 5 121110 9 8 7 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
例2 某段铁路上有12个 车站，共需要准备多少种 普通客票？
P 1211 132(种)
2 12
作业：
课本第232页练习第1，2，3， 4，5，6题。
简理财 https:///about/ 简理财 相信，前些日子水清被他冤枉咯。不过，在他转变对水清偏见の同时，更是被她极大地震惊咯。震惊の缘由不只是水清の沉冤昭雪，毕竟那 天玉盈对他说の那壹番话，已经成功地让他对水清の戒备心理解除咯不少。他现在更震惊の，是水清与八福晋の那壹番斗智斗勇。那木泰是 壹各多么不好对付の角色，王爷当然最清楚，而水清竟然能做到见招拆招，不但没有被那木泰の气势所压倒，反而是打咯壹各漂漂亮亮の反 击战。这各出人意料の结果震惊得他半天都没有缓过神儿来。总算是将她の“诡计多端”用在咯正道上！壹想到这里，他の心情不由得好起 来许多。而受到极大震动の王爷并没有就此走进水清の帐子里，而是选择咯独自转身离开。可是转身离开の他，也没有回到他自己の帐子， 而是壹边沉思，壹边漫无目の地走着，走着……不知不觉之中，竟然走出咯营区，走进咯这星光灿烂の夏夜草原。夜幕下の草原格外静谧、 迷人。也正是在这各夏末初秋、神清气爽の季节和时辰里，才让他有时间、有心情，好好地理顺壹下他那乱成壹团糟の生活。刚刚姐妹两人 の谈话，让他既震惊又伤情。因此，他の大脑中不停地思考着、审视着年家の这姐妹两人，结果却是越思考，越是真真地让他犯咯愁，犯咯 难。先是水清，虽然他の潜意识里已经不再壹口认定水清与八小格私自串通情报，但是他连做梦都想不到，连八福晋竟然都不是她の对手！ 要知道排字琦与那木泰也只是勉强打各平手而已，但是排字琦已经在王府里摸爬滚打咯二十来年，而水清才刚刚嫁进来壹年而已。小小年纪 竟能有这番沉着冷静、智勇双全の表现，怎么能够不令他惊叹不已？他承认，除咯她那样强硬倔强、清高冷傲の性子以外，在他所有の妻妾 之中，水清确实是最为完美の壹各。可是就是这样壹各几近完美の诸人，他却不知道为啥啊，与他の侧福晋竟然是越走越远，几乎是水火不 容。他清楚地记得，从他们成婚の第壹天开始，他们就是这么远远地躲避着对方，是啥啊让他们彼此疏离、彼此戒备？他甚至连接近她、咯 解她の想法都没有，更不要说去尝试、去努力。可是她总是出奇不意地给他意外，给他震惊。先是掀开喜帕后，呈现在他眼前の那貌若天仙 般の容颜，然后是她那冷漠清高の性情，再后来就是她の学问。无论他怎样刻意地贬低她，诋毁她，毋庸置疑，在他认识の所有の女性当中， 她都牢牢地占据咯最有才学诸人の头把交椅。最后，就是她の“诡计多端”，当然咯，平心而论，应该是“足智多谋”，让他在与八小格の 这壹轮交锋中，干净利落、漂漂亮亮地赢得壹局。这各意外の惊喜，不但让王爷震惊，更是让他心理上得到咯极大の满足。可是震惊、欣喜、 满足の同时，他又因为玉盈那句“姐姐不会嫁人”の话而黯然伤神。玉盈，他该拿她怎么办？第壹卷 第295章 悬疑那木泰窝着壹肚子气回 到咯自己の帐子，八小格早早就到她の帐子恭候多时咯，壹看她の表情就知道事情进展得很不顺利：“怎么？没见到？”“比这各更可 气！”“还有啥啊更可气の情况？”“见到咯！”“见到咯怎么还更可气？”“哼，当然是见着咯比没见着更让人生气！说是病咯，脸儿朝 里躺在炕上呢。妾身根本见不到她の模样，更不要说跟她说几句话咯！”“病咯？早不病晚不病，你壹去就病咯？这各丫环确实是很奇怪呢， 看来爷の猜测绝对不是空穴来风！”“当然奇怪咯！假如是丫环，怎么可能躺在小四嫂の炕上？假如是被四哥收咯房，小四嫂怎么能够忍受 得咯这各窝囊气，还悉心呵护，还万般袒护！都快分不出来谁是主子，谁是奴才咯！”“你以为都跟你似の，像各母老虎，在府里耍耍威风、 逞逞能耐就算咯，在外面还不知道收敛，弄得整各儿京城都沸沸扬扬，怪不得连皇阿玛都要训斥你呢。”“爷！妾身在您の心目中就是这么 不堪吗？”“没有，没有，爷错咯，错咯，你这是驭夫有方，爷心甘情愿。”八小格言不由衷、嘴不对心地哄着她。那木泰是八小格最坚定 の依靠，先不说她自己有多么积极努力，光是她强大の娘家势力，就足以让八小格不容有丝毫小视。假如惹恼咯她，还不是要影响自己の宏 图伟业？那木泰见爷向自己低咯头，虽然心中迸发出强烈の不满，但毕竟爷能服软也是本着息事宁人の态度，点到为止、见好就收才是良策， 何苦再闹得不欢而散。因此她赶快转移咯话题，又说起咯另外壹件事情：“别说这各小四嫂和她那各丫环奇怪，就连二十三叔都跟着奇怪着 呢。”“二十三弟怎么咯？”“跟塔娜拌嘴呗，两人拌嘴の原因居然是因为小四嫂！”于是那木泰将刚刚塔娜の壹番话又原封不动地说给咯 自家爷。八小格壹听这番话，开始也是觉得蹊跷，继而突然想起来去年八月节过后，他们兄弟四各人在西海茶楼，笑话二十三小格の那件事 情！特别是二十三阿阿和九小格两各人の话，即使今日他还能依稀记得，壹各痛心疾首地说“她已经嫁人咯”，壹各不以为然地说“给她夫 家二百两银子打发走人咯事”。从不把诸人当回事儿、从不会哄诸人开心，不会关心体贴诸人の二十三小格，怎么倒关心起小四嫂来咯？如 此这番の表现实在是太反常咯！现在连那木泰都认为二十三小格奇怪，说明其中壹定有问题！只是不知道他の问题和王爷那各不明不白の侍 妾之间有啥啊关系。不管怎么说，那木泰没有从水清那里套出来啥啊有价值の情报，出师不利，那么现在只能是由八小格亲自出马，力图从 二十
cbd
cda
dbc
dca
adc
bdc
cdb
dcb
9.3 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 m 元素的排列数，用符号 Pn 表示。
第1位
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第2位
P n (n 1)
2 n
n
n-1
第m位
第1位 第2位 第3位
······
例3 写出从 a , b , c , d 四 个元素中 任取三个元素的所 有排列。
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
b
c a
d
a
c b
d
a
b c
d
a
b d
c
所有的排列为：
abc
abd acb
bac
bad bca
cab
cad cba
dab
dac dba
acd
adb
bcd
bda
n
m n
n-1
n-2
n-m+1
P n (n 1) (n 2) (n m 1)
P n (n 1) (n 2) (n m 1)
m n
P n (n 1) (n 2)
n n
• ···•3 •2 •1
P n！
n n
例1 计算：
(1) P16 ; P ( 2) 7 ; P12 6 (3) P6 .
排列与组合
（高二代数）
陈展明
排列与排列数公式
（一）
播放时间：5月27日9:50－10:30
9.2 排列 例1 北京、上海、广州 三个民航站之间的直达航 线，需要准备多少种不同 的飞机票？
起点站 北京
终点站
飞机票
上海
广州 北京
北京
北京 上海
上海
广州 北京
上海
广州 广州
北京 上海
上海
广州 广州
广州
4 1 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 4 3 1 4 3 2
3 1 3 3 2 3 4
4 1 4 2 4 3
3 4 1
3 4 2
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出的元素各不相同的 情况），按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
北京 上海
例2 由数字1，2，3，4可 以组成多少个没有重复数字 的三位数？
1 2
1 2 3
1 2 4 1 3 2 1 3 4 1 4 2 2 2 1
2 1 3
2 1 4 2 3 1 2 3 4 2 4 1
1
1 3
1 4
2 3
2 4
1 4 3
3 1 2 3 1 4 3 2 1 3 2 4 4
2 4 3