人教A版高中数学选修2-3同步练习-第一章排列与排列数公式
【精品习题】高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.1.1 排列与排列数公式 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【解析】根据排列的概念知①④是排列问题．【答案】 A2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A．6个B．10个C．12个D．16个【解析】符合题意的商有A24＝4×3＝12.【答案】 C3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) 【导学号：97270010】A．8 B．12C．16 D．24【解析】设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】 B4．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！n －m＋1B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A mn－1 n－m＋1D．A1n A m－1n－1【解析】A m n＝n！n －m，而A1n A m－1n－1＝n×n－1n －m＝n！n－m，∴A1n A m－1n－1＝A m n.【答案】 D5．不等式A2n－1－n<7的解集为( )A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}【解析】由A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.【答案】 C二、填空题6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．【解析】因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．【答案】 37．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【解析】这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．【答案】③8．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.【答案】15 6三、解答题9．下列问题中哪些是排列问题？(1)5名学生中抽2名学生开会；(2)5名学生中选2名做正、副组长；(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；(5)6位同学互通一次电话；(6)6位同学互通一封信；(7)以圆上的10个点为端点作弦；(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．【解】(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．10．证明：A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.【解】左边＝n！n －k＋kn！n－k＋1＝n！ [n－k＋1k]n －k＋1＝n＋1n！n －k＋1＝n＋1n－k＋1，右边＝A k n＋1＝n＋1n －k＋1，所以A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.[能力提升]1．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0【解析】因为当n≥5时，A n n的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A11＋A22＋A33＋A44＝33.【答案】 C2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )A．A827－a B．A27－a34－aC．A734－aD．A834－a【解析】A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．【答案】 D3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种. 【导学号：97270011】【解析】司机、售票员各有A44种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A4 4A44种不同的安排方法．【答案】5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？【解】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．。
人教版高中数学选修2-3练习：第一章1.2-1.2.1第1课时排列的简单应用 Word版含解析
357577 答案：12 6 三、解答题 9．求下列各式中 n 的值： (1)90A2n＝An4； (2)A4nAn－4＝42An－2. 解：(1)因为 90A2n＝A4n，
所以 90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．
所以 n2－5n＋6＝90.
数位都有 4 种排法，则共有 4×4×4＝64(项)．
A－A 2．计算 ＝( )
A A．12 B．24 C．30 D．36
A－A 36A 解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以 ＝ ＝36.
AA 答案：D 3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送 给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有 ( ) A．6 种 B．9 种 C．11 种 D．23 种 解析：将 4 张贺卡分别记为 A，B，C，D，且按题意进行排列， 用树状图表示为：
答案：A 二、填空题 6．若 A1m0＝10×9×…×5，则 m＝_________________________. 解析：由 10－(m－1)＝5，得 m＝6. 答案：6 7．现有 8 种不同的菜种，任选 4 种种在不同土质的 4 块地上， 有________种不同的种法(用数字作答)． 解析：将 4 块不同土质的地看作 4 个不同的位置，从 8 种不同的 菜种中任选 4 种种在 4 块不同土质的地上，则本题即为从 8 个不同元 素 中 任 选 4 个 元 素 的 排 列 问 题 ． 所 以 不 同 的 种 法 共 有 A48＝ 8×7×6×5＝1 680(种)． 答案：1 680 8．从 2，3，5，7 中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分 母 ， 则 可 产 生 不 同 的 分 数 的 个 数 是 ______， 其 中 真 分 数 的 个 数 是 ____． 解析：第一步：选分子，可从 4 个数字中任选一个作分子，共有 4 种不同选法；第二步：选分母，从剩下的 3 个数字中任选一个作分 母，有 3 种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有 4×3＝
数学人教A版高中选修2-3排列与排列数公式
定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.
1、排列：
基本概念
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列.
说明： 1、元素不能重复. （互异性）
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最
多可确定多少条射线？可确定多少条直线？
是排列
不是排列
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列
（从中归纳这几类问题的区别）
练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、
副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能 的选举结果． 分析：先画“树形图”，再由此写出所有的排列．
小结：
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
几种阶乘变形.
n!+n n!=(n+1)! 1- 1 = n n! (n+1)! (n+1)!
问题1
问题2
现有甲、乙、丙3个足球队， 从1，2，3，4这4个数
进行主客场双循环比赛，共 中，每次取出3个排成一
需比赛多少场？
个三位数，共可得到多少
个不同的三位数？
实质是：从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法？
实质是：从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
[类题通法] 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的 元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无 序是判断是否是排列问题的关键．
[活学活用] 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价 格(假设来回的票价相同)； (2)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班 40 名学生在假期相互通信．
1.2
1.2.1
第 第一 一 课时 章
排列 与排 列数 公式
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
题型三
随堂即时演练 课时达标检测
1.2 排列与组合 1．2.1 排列
第一课时 排列与排列数公式
排列的定义 [提出问题] 1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖 学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中 间．
[解] (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43， 共有 12 个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为： 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143，2 314，2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321，共 24 个没有重复数字的四位数．
因此，共计有 12 个不同的排列，它们是 ab，ac，ad，ba，bc， bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
人教版高中数学选修2-3练习：第一章1.21.2.1排列
[ 课时作业 ][A 组基础稳固 ] 1．已知 A n2＝ 7A n2－4，则 n 的值为 ()A ． 6B ． 7 C． 8 D ．2分析：由摆列数公式得：n(n－ 1)＝ 7(n－ 4)( n－ 5)，∴3n2－ 31n＋ 70＝ 0，解得 n＝ 7 或103(舍去 )．答案： B2．有 4 名司机、 4 名售票员分派到 4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分派方案种数为()A．A88B．A 84C． A 44A 44 D ．2A 44分析：安排 4 名司机，有A 44种方案，安排 4 名售票员，有 A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算达成，由分步乘法计数原理知共有 A 44A 44种方案．应选 C.答案： C3．有 3 名男生和 5 名女生站成一排照相，假如男生不排在最左侧且两两不相邻，则不一样的排法有 ()3553A．A3·A 8种 B ．A 5·A 4种5353C． A 5·A5种 D ．A 5·A6种分析：插空法，注意考虑最左侧地点 .5名女生先排，有A55种排法，除掉最左侧的空共有5个空位供男生选，有 A 53种排法，故共有 A 55·A 53种不一样的排法．应选 C.答案： C4．一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A ． 3×3!B ． 3×(3！ )3C． (3！ )4 D ．9!分析：把一家三口看作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以有 (3！ )4种．答案： C5．一个长椅上共有10 个座位，现有 4人去坐，此中恰有 5 个连续空位的坐法共有() A．240 种B．600 种C． 408 种 D ．480 种分析：将四人排成一排共有 A 44种排法；产生 5 个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有 A 25种方法；由分步乘法计数原理，知足条件的坐法共有 A 44·A 25＝ 480 种．答案：D6．在书厨的某一层上本来共有 5 本不一样的书，假如保持原有书的相对次序不变，再插进去3 本不一样的书，那么共有 ________种不一样的插入法． (用数字回答 )分析：试想本来的 5 本书与新插入的 3 本书已经放好，则这 3 本新书必定是这 8 本书中的某3 本，所以“在 5 本书中插入 3 本书”就与“从 8 本书中抽出 3 本书”对应，故切合题意的插法共有 A 83＝336 种．答案： 3367．把 5 件不一样产品摆成一排．若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 ________种．分析：记 5 件产品为 A 、 B、 C、D 、 E， A 、 B 相邻视为一个元素，先与 D 、E 进行摆列，23个空位可选，共有 A 23有 A 2A 3种方法；再将 C 插入，仅有32A 3×3＝2×6×3＝36种不一样的摆法．答案： 368．从会合 {0,1,2,5,7,9,11} 中任取 3 个元素分别作为直线方程Ax＋ By＋ C＝ 0 中的系数 A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．分析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则 C＝ 0，再从会合中任取两个非零元素作为系数 A、B，有 A 62种，并且此中没有同样的直线，所以切合条件的直线有 A 62＝ 30(条 )．答案： 309．用 0,1,2,3,4,5 这六个数字能够构成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数．分析： (1)解法一 (从特别地点下手 )分三步达成，第一步先填个位，有 A 13种填法，第二步再填十万位，有 A 14种填法，第三步填其余位，有 A 44种填法，故共有A 13A 14A 44＝ 288 个六位奇数．解法二(从特别元素下手 )0 不在两头有 A 41种排法，从 1,3,5中任选一个排在个位有A31种排法，其余各位上用剩下的元素做全摆列有 A 44种排法，故共有 A 41A 31A 44＝288 个六位奇数．解法三(清除法 )6 个数字的全摆列有 A 66个，0,2,4在个位上的摆列数为3A 55个， 1,3,5 在个位上， 0 在十万位上的摆列数有 3A 44个，故对应的六位奇数的摆列数为 A 66－ 3A55－3A44＝ 288 个．(2)解法一 (清除法 )0 在十万位和 5 在个位的摆列都不对应切合题意的六位数．故切合题意的六位数共有 A 66－ 2A55＋A 44＝ 504 个．解法二(直接法)个位不排5，有 A 15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0 与不排0 而有所不一样．所以需分两类．第一类：当个位排0 时，有 A 55个．第二类：当个位不排0114时，有 A 4A 4A 4个．故共有切合题意的六位数5114个．A5＋ A4A4A 4＝ 50410．某次文艺晚会上共演出8 个节目，此中 2 个歌曲， 3 个舞蹈， 3 个曲艺节目，求分别满足以下条件的节目编排方法有多少种？(1)一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个歌曲节目互不相邻；(3)2 个歌曲节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻．2分析： (1)先排歌曲节目有 A 2种排法，再排其余节目有 A 66种排法，所以共有 A 22A 66＝1 440种排法．(2)先排 3 个舞蹈节目， 3 个曲艺节目有 A 66种排法，再从此中 7 个空 (包含两头 )中选 2 个排歌曲节目，有 A 72种插入方法，所以共有 A 66A 72＝30 240 种排法．(3) 把 2 个相邻的歌曲节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目摆列共有 A 44种排法，再将3 个舞蹈节目插入，共有 A 3种插入方法，最后将 2 个歌曲节目交换地点，有A2种排法，故所求排52432法共有 A 4A 5A 2＝2 880 种排法．[B 组能力提高 ]1．某台小型晚会由 6 个节目构成，演出次序有以下要求：节目甲一定排在前两位，节目乙不可以排在第一位，节目丙一定排在最后一位．该台晚会节目演出次序的编排方案共有() A．36 种B．42 种C．48 种D．54 种分析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝ 24 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 A 31·A 33＝ 18 种排法，所以共有编排方案24＋ 18＝ 42 种，应选 B.答案： B2．取1,2,3,4,5 这五个数字中的两个分别作为一个对数的底数和真数，则所得的不一样值有()A．12 个B．13 个C． 16个D．20 个分析：分二类：两个数中有 1 时，值为0.两个数中无1时，有 A2＝ 12个，共有 A2＋1＝ 1344个，应选 B.答案： B3．用数字1,2,3,4,5,6 构成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是________．分析：第一步，将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝ 8(种 )排法；第二步，再将1,2 捆绑插入 4 个数字产生的 5 个空位中，共有 A 15＝5( 种) 插法，插入时需知足条件相邻数字的奇偶性不一样， 1,2 的排法由已排 4 个数的奇偶性确立．∴不一样的排法有8×5＝ 40(种 )，即的六位数有40 个．答案： 404．(2016 年高考全国甲卷)有三卡片，分写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了乙的卡片后：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙：“我的卡片上的数字之和不是5”，甲的卡片上的数字是________．分析：由意得：丙不拿(2,3)，若丙 (1,2)，乙 (2,3)，甲 (1,3)足，若丙 (1,3)，乙 (2,3)，甲 (1,2)不足，故甲 (1,3)．答案： (1,3)5．三名男歌唱家和两名女歌唱家合行一音会，演出出序要求两名女歌唱家之恰有一名男歌唱家，共有多少种出方案．6A 33＝6×3×2＝分析：将“女男女”当整体对待，有 6 种状况，每一种状况有 A 33种，所以共有36(种)．6．在会合 {1,2,3 ，⋯， 20} 中拿出三个数排成一列，使它构成等差数列，一共能够构成多少个等差数列？分析：先出两个数a，c 作等差数列的首和末，中一个数a＋ c，使 a＋ c在22会合中，故分两：(1)a，c 同奇数， N ＝ A2， (2)a， c 同偶数， N ＝ A 2，故足条件110210的等差数列共有N＝ N1＋ N2＝ A 210＋ A 210＝ 180 个 .。
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件
课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
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弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)． 例4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类： 第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)； 第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)； 第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)； 第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)； 所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.
人教A版选修2-3排列问题
排列问题一．要点精讲1、排列的概念：从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、排列数：从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数叫做排列数，用A mn 表示.3、排列数公式：m n A =()()()n m m n n n m n n ≤+--=-11)!(! . 4、全排列：!n A n n =；规定: 0！=15、记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；6、附有限制条件的排列⑴ 对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.⑵ 对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：特殊元素或特殊位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；定序问题缩倍法，比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.⑶ 对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.二、课前热身1、5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A. A 55·A 24种 B. A 55·A 25种 C. A 55·A 26种 D. A 77－4A 66种解：先排大人，有A 55种排法，再排小孩，有A 24种排法（插空法）.故有A 24·A 55种不同的排法. 2、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！解：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C3、在数字1,2,3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A.6B.12C.18D.244.（15广东理科）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．5、高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A.1800B.3600C.4320D.5040三、典例精析考点1：数字问题1. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．⑴ 可组成多少个不同的四位数？ ⑵ 可组成多少个不同的四位偶数？2、用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种.法一（间接法）：五个数三位数的全排列有35A 个，0排在首位有24A 个 ，1排在末尾的有24A 个，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数13A （为什么？）故共有392132435=+-A A A 种.组成 法二（直接法）：有1的和没有1的，392313131324=+⋅+A A A A A3、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个, 4、⑴用0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？3251231234134512=+⋅+⋅+A A A A A A⑵31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）2753254515=-⋅A A 方法二：（直接法）27512212233445=+⋅+++A A A A数字排列问题是一类较常见的排列问题，也是高考题中的常见排列间题，解决这类问题除正确运用排列知识外，还要正确运用一些整教的教字特征．如奇数、偶数，被5整除的数、被3整除的数等．5.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144解：先选一个偶数字排个位，有3种选法， ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24 ，②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个6、用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位； (2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位； (6)偶数数字从左向右从小到大排列．解 (1)A 25A 44＝480； (2)A 22A 14A 44＝192； (3)A 15A 55－A 22A 14A 44＝408，（元素多，取出的情况也多种，可按结果要求(4)A 24A 12A 22＋A 24A 33＝120； (5)A 66－2A 55＋A 44＝504； (6)A 36－A 35＝60. 分成不相容的几类情况分别计数再相加）7、用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）解：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有333248A ⋅=种，再将７、８插入4个空位中的两个有2412A =种，故有4812576⨯=种．考点2：特殊元素与特殊位置问题8、6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？解：先安排甲，分两类：1）若甲在排尾 ， 则剩下的5人可自由安排，有55A 种方法.2）若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有14A 种，乙位的排法有14A 种, 第2、3、6、7位的排法有44A 种，根据分步计数原理，不同的站法有14A 14A 44A 种。
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第一章 计数原理 1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少
个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是( )
A ．①②③④
B ．②④
C ．②③
D ．①④
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足
交换律，如53≠35
，所以②是排列问题． 若方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④
是排列问题．
答案：B
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为()
A．6 B．4 C．8 D．10
解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A22种方法，
所以由分步乘法原理，不同的排列为2A22＝4(种)．
答案：B
3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为A2n
－A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，
＋1
整理得2n＝10，所以n＝5.
答案：B
4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()
A．180种B．360种
C．15种D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()
A．24个B．30个C．40个D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24个，另一类是4作个位数，也有A24个．因此符合条件的偶数共有A24＋A24＝24(个)．
答案：A 二、填空题
6．计算A67－A56
A45＝________．
解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，
所以A67－A56
A45＝
36A45
A45＝36.
答案：36
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．
答案：1 680
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种．
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：9
三、解答题
9．解关于x的方程：A7x－A5x
A5x＝89.
解：法一 因为A 7x ＝(x －5)(x －6)A 5x ，
所以（x －5）（x －6）A 5x －A 5x A 5x
＝89. 因为A 5x >0，所以(x －5)(x －6)＝90.
故x ＝－4(舍去)，或x ＝15.
法二 由A 7x －A 5x A 5x
＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！（x －7）！＝90·x ！（x －5）！
. 因为x ！≠0，所以1（x －7）！＝90（x －5）（x －6）·（x －7）！， 所以(x －5)(x －6)＝90.解得x ＝－4(舍去)，或x ＝15.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶
数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，
由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．
B 级 能力提升
1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．
解析：lg a －lg b ＝lg a b
，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93
，故其可得到18种结果．
答案：18
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A26种．
所以符合条件的直线有A26＝30(条)．
答案：30
3．编号为1，2，3，4的四位同学，参加4×100米的接力赛，有多少种不同的安排方法？列出所有排列．
解：安排4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步安排跑第一棒的运动员，有4种方法；第二步安排跑第二棒的运动员，有3种方法；第三步安排跑第三棒的运动员，有2种方法；第四步安排跑第四棒的运动员，有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1＝24种不同的安排方法．如图所示，我们可以用树形图写出所有的安排方法．
上述每一个安排可以看作是从4个不同的元素中取出4个元素排成一列，其排法共有24个，它们是
1234，1243，1324，1342，1423，1432
2134，2143，2314，2341，2413，2431
3124，3142，3214，3241，3412，3421
4123，4132，4213，4231，4312，4321.。