量子力学讲义及资料第四章：力学量用算符表示
量子化学课件--第四章算符
（2）(Dˆ xˆ)2 (Dˆ xˆ)(Dˆ xˆ) Dˆ (Dˆ xˆ) xˆ(Dˆ xˆ) Dˆ 2 Dˆ xˆ xˆDˆ xˆ2 Dˆ 2 xˆDˆ 1 xˆDˆ xˆ2 Dˆ 2 2xˆDˆ xˆ2 1
4.2 本征函数与本征值
定义：若用算符Â作用于某一函数f(x)的结果为某一常
df (x) kf (x) dx
f e常数 ekx cekx
（1）对于每一个不同的本征值k，得到一个不同的本征函数。 （2）即使本征值k相同，若常数c不同，仍有不同的本征函数 。 （3）具有同一k值但不同c值的本征函数不是线性独立的。
df (x) kf (x) dx
当x趋向±∞时上式的解保持有限的边界条件？
xˆDˆ f (x) xˆ d [ f (x)] xf (x) dx
所以，这里 Aˆ Bˆ和 BˆAˆ 是不同的算符。
（3）相等算符
若Aˆ 和 Bˆ 是两个算符，对于所有的函数f，都有：
Aˆ f Bˆf ，则两个算符相等，即：Aˆ Bˆ
（4）单位算符（乘以1）1ˆ 和0算符（乘以0）0ˆ
例如： Dˆ xˆ 1ˆ xˆDˆ
Dˆ 2
d2 dx2
一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。
➢一个算符的n次方等于此算符连续运算n次。
Dˆ n
dn dxn
（8）线性算符
只有具有下列两个性质时才是线性算符：
Aˆ[ f (x) g(x)] Aˆ f (x) Aˆ g(x)
Aˆ[cf (x)] cAˆ f (x)
如：xˆ2 ,
d, dx
d2 dx2
是线性算符，而平方根算符是非线性的。
公它线设们性：线算若性符组中1合，两个所2有得，用的…的恒也n等为是式某该：一体微系观可体能系存的在可的能状状态态。，由
量子力学_3.1力学量用算符表达
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足
或
ˆA 0 A
第四章 量子力学中的力学量范文
第四章 量子力学中的力学量§4.1 算符的运算规则4.1.1、算符的定义：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：ˆ()()Fux v x =。
ˆ/, ()/()F d dx du x dx v x ==其作用是对函数u 微商，故称为微商算符；ˆ, ()() Fx xu x v x ==它对u 作用是使u 变成v 。
量子力学中表示力学量的算符的规则的基本假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符ˆF由经典表示式(,)F r p 将p 换为算符ˆp 得到ˆˆ(,)Fr p 。
如角动量算符ˆˆ=⨯Lr p 。
4.1.2、算符的一般特性 （1）线性算符满足如下运算规律的算符ˆO称为线性算符 ()11221122ˆˆˆc +c c +c O O O ψψψψ= 其中12c , c 是任意复常数，12, ψψ是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆi =-∇P和单位算符I 都是线形算符。
而开方算符、取复共轭就不是线性算符。
描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等若两个算符ˆO、ˆU 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆOU ψψ=，则算符ˆO 和算符ˆU 相等记为ˆˆO U =。
（3）算符之和若两个算符ˆO、ˆU 对体系的任何波函数ψ有()ˆˆˆˆˆOU O U E ψψψψ+=+=，则ˆˆˆO U E +=称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符ˆˆˆHT V =+表明Hamilton 算符ˆH 等于体系动能算符ˆT 和势能算符ˆV 之和。
显然，算符求和满足交换率和结合率。
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积若ˆˆˆˆˆO(U) = (OU) =E ψψψ，则ˆˆˆOU E =称为算符的乘积，其中ψ是任意波函数。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学讲义4-1(最新版-010)
ψ * (r )ψ (r )d r ∫ 如 ψ (r ) 是归一的，则为
Aψ =
ˆ ψ (r ) Aψ (r )d r ∫
除第一公设之外，这是又一个直接将量子 力学对力学量的理论计算与实际观测联系起来 的公设。它和波函数公设共同构成了量子力学 关于实验观测的理论基础。下面指出几点:
ˆ Aψ = ∫ψ * (r ) Aψ (r )d r
*
= ∫ drψ (r , t)(−i ∇)ψ (r , t)
*
(9)
这样我们就找到了一个用波函数 ψ (r , t )直接 计算动量平均值的公式 ，即只需以微分算 ψ * (r , t ) 符 −i ∇作用在 ψ (r , t )之上，然后乘以 ， 再对全空间积分就可以了。记动量算符为：
ˆ = −i ∇ p
= ∫ drψ (r , t )∫ dr′ψ (r′, t )[
1 (2π )
3
∫ pe
i
p⋅( r −r ′)
dp]
= ∫ drψ (r , t)∫ dr′ψ (r′, t)[
*
1 (2π )
3
∫ (−i ∇)e
3
i
p⋅(r −r′)
dp]
′ψ * (r , t)ψ (r′, t)(−i ∇)δ 3 (r − r′) = ∫ drdr = ∫ drψ (r , t)(−i ∇)[∫ dr′ψ (r′, t)δ (r − r′)]
第二公设 —— 算符公设 任一可观测的力学量 A可以用相应的线性 ˆ Hermite算符 A 来表示，这些算符作用于态的波 函数。 第三公设 —— 测量公设（或平均值公设） 一个微观粒子体系处于波函数 ψ ( x) 的状态， ˆ 若对它测量可以观测力学量 A 的数值，则所得
第四章 力学量用算符表达 new
单位算符Î 动量算符 均可观测量的力学量算符都是线性算符，这 是态叠加原理的反映。
第4章 力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
例子
粒子状态满足薛定谔方程
若ψ1, ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。事实上
第4章 力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第2页
1. 统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量ξ，得到相应的 值为A1,A2,…,As，在总的实验次数N中，则得到这些值的次数分别 是N1,N2,…, Ns，则ξ的（算术）平均值为
当总的实验次数N→∞时，量ξ的平均值的极限是ξ的统计平均值
由于在任意状态下<A>都为实，所以 (Ψ1,AΨ1)=(AΨ1,Ψ1),有
( 2 , A 1 ) ( 1 , A 2 ) ( A 2 , 1 ) ( A 1, 2 )
* *
^
^
^
^
( 1 , A 2 ) ( A 1 , 2 ) ( A 2 , 1 ) ( 2 , A 1 )
Fang Jun 第14页
算符相等
ˆ ˆ 设算符 A 和B 对体系的任何波函数Ψ 的运算所得结果都相
同 算符之积
ˆ ˆ A B
则称两个算符相等，记做
ˆ ˆ A B
ˆˆ ˆ ˆ 算符 A 与 B 之积 AB ，定义为
( AB) A( B )
且满足
A( B C ) AB AC
精确的动量。一般地，对于Ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子 的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
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三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
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定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
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T
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量子力学 第四章 态和力学量的表象
b 1 (t ) F11 F12 F1m a 1 (t ) a (t ) 2 b 2 (t ) F21 b n (t ) Fn1 Fn 2 Fnm a m (t )
矩阵 和 分别是 波函数 ( x, t ) 和 ( x, t ) 在Q 表象中 的形式。
F
an ( t )an ( t ) a ( t )a ( t )d 1 n
几种表象中态的表示的对比
坐标表象 描述态的变量 波函数 波函数模平方意 义 动量表象 Q表象
r
{ ( r , t ) }
表示粒子在某个 位置的概率
p { c(p, t ) }
q
{a n ( t ) }
px 1 p (x) e 2 i
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称
c 动量表象中坐标算符的本征函数 坐标表象坐标算符的本征函数 (x, t ) x (x) (x x) 该处的x是变量，x‘为本征值
该本征函数在动量表象中的波函数
(r , t )
对于 (r , t ) 与 (q, t ) ，知道其一就可求得另一， 描述粒子同一状态。 因而 (q, t ) 与 (r , t ) (q, t ) 是以
力学量Q为变量的波函数，即粒子状态波函数在 Q 表象 2 中的表示，称为 Q 表象波函数， n (t ) 给出在 (r , t ) 态 a 中测量粒子的力学量qn(t) 取值的几率
1/ 2
e
1 ( x) C(p) p (x )dp
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第四章：力学量用算符表示[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[].2)(,2hipf q f p q =（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q[]qf p f qp fq p f qpf p q 22222,-=-=f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（证明）同前一论题)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=（3）ihfp p q f q 2])(,[2=[证明]同前一题论据：fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=（4）if p ih q f p p 22)](,[=[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式i f i h q f p =)](,[ dqdf f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=物83-309蒋~80~if p ih f p p 22],[== （5）p pf ih p q pf p i=])(,[ （证明）论据同（4）：p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=p pf ih i= （6）22])(,[p f ih p q f p i =（证明）论据同（4）：22222)(],[p f ih p fp pf fp pfp fp p i =-=-=(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。
以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。
~81~(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。
(3)注意 与x 没有共同坐标。
(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故)()(2222z y x x z y l l p p l l A +-+=zz x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---= })(){(x x p l l p hi *-*=(3) l为粒子角动量。
F 为另一力学量，证明：)(],[pF p r F r hi F l ∂∂*+∂∂*-=其中r ∂∂表示空间坐标的梯度，p∂∂表示动量空间的梯度。
[证明]按照题意zk y j x ir ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ zy x p k p j p i r ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂又F 可看作坐标r ，动量p的函数，它一般可以表示成n i nini p r C p r F F )(),( ∑==),,,3,2,1,0(z y x i n ==为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设)(r ψ为任意波函数ψ∂∂=ψ∂∂-ψ∂∂=ψx Fi h x F F x i h F p x })({],[xFi h F p x ∂∂=],[)(],[ψ-ψ=ψ∑∑X p C P XC F X nin i ni nin i ni在前式的最后一项中，当I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：ψ∂∂+ψ=∂ψ∂+∂ψ∂=ψ∂∂=ψ--nx xn x n n n n n n nxP P i h XP x n x X i h X x i h X P )()()()()(11当ψ=ψψ=ψ=nz n z n y n y XP X P XP X P z y i )(;)(:,因此：∑∑∑ψ∂∂-ψ-ψ=ψnin ini xnin i ni nin i ni P XCP i h P XC P XC F x ],[ψ∂∂=xP F hixP FhiF X ∂∂=],[ 现在利用前二式来证明题给一式的x 分量的关系成立，该式左方：x x x x Fl F l F l F l -==],[],[3)()(y z y z zp yp F F zp yp ---= F FyP F yP z z +-=yy z z y y y z z z p F z F p Z p F y F p y p Fz zF Fp F p z P Fy yF FP F P y ],[],[],[],[)()()()(--+=-----+-=86-87利用（1）和（2）得同理可得综合3式得[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。
证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有现在计算有:利用前述的假设但又按题目假设用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。
但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意A，=B，-[A]B[]88-89将第一式对易式中两算符对易得再将文字A，B对易得（5）证明（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有(6)证明 是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式： 前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕτψτϕτψd P A d P F n nˆ)ˆ(∑∙≡∙⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∙∑=>ττϕψd PA n nn n ˆ0⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P PA n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P PA n n )ˆ()ˆ(1 ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P P A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd P P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-∙∑= ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32 τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-∙∑= ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰∙=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
（8）证明2ˆn m m n nm n m p x x pA +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明pˆ,x ˆ都是厄密算符，即： τϕψτϕψd p d p⎰⎰⎰⎰⎰⎰∙=∙)ˆ(ˆ τϕψτϕψd x d x⎰⎰⎰⎰⎰⎰∙=∙)(ˆ 又按题意得证算符是一维的。
dx x p p dx x p mn mn ⎰⎰-∙=∙)ˆˆ(ˆˆˆ1ϕψϕψ ~90~ 物83-309蒋dx x p pm n )ˆˆ()ˆ(1ϕψ-∙=⎰ dx x p x dx x pm n m n ϕψϕψ1ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆ(-∙=∙=⎰⎰ dx p xn m ϕψ∙=⎰)ˆˆ( 这证明m m x pˆˆ不是厄密算符，但满足 dx px dx x p n m m n ⎰⎰∙=∙ϕψϕψ)ˆˆ()ˆˆ( 同理可证明dx x p dx pxm n n m⎰⎰∙=∙ϕψϕψ)ˆˆ()ˆˆ( 将前二式相加除2，得dx x p p xdx p x x p m n n m n m m n ⎰⎰∙+=+∙ϕψϕψ)2ˆˆˆˆ(2ˆˆˆˆ 因此2ˆˆˆˆn m m n p x x p+是厄密算符。
因此∑-+nm n m m n nmp x x pA 2ˆˆˆˆ也是。
又假定用0ˆ0ˆ=*作为厄密算符0ˆ的定义，并设=∙*)ˆˆ( B A )ˆˆ(**∙A B则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p pˆˆ *=x x ˆˆ 所以有 n n p p)ˆ(ˆ*= m m x x )ˆ(ˆ*= n m n m m n m n p x p x x p x pˆˆ)ˆ()ˆ()}ˆ()ˆ{()ˆˆ(==∙=**** 同理有m n m n n m n m x p x p p x p xˆˆ)ˆ()ˆ()}ˆ()ˆ{()ˆˆ(==∙=**** 相加除2，得：这证明右方一式是厄密算符。
（9）证明，若当大时并不趋于0，则不一定是厄密算符。
~91~（证明）设, 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：由此计算可知若大括号里总和为0，则算符符合厄密算符定义，但按题意时，不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0[10]证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。
{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3......i 自由度（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定的函数形式如下：式中是指两组已知的复数，若不能用的形式表示，则下面的证法无效，按此假设，可进行下述的变形运算：I ≡[A,B]=最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以[]lm p q ,的简化为例：[]m l l m l mq p p q p q-≡,试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：()[]qfhi q f p ∂∂-=,（4） ()1-∙=l m l m p p q p q（5）利用（4）式，令()mq q f =则有以下诸式：或： 1-+=m m m h i m q pq p q（6） 同理有 ()2111----+=m m m q m hi pq p q（7）依次类推…………………………………… 将（6）式代入（5）有：()11--+=l m m l m p himq pq p q112---+=l m l m p himq p pq（8）将最后一式第一项分解，重复应用（6）：()112---+=l m l m l m p himq p p q p p q()1121----++=l m l m mp himq phimq pq p112122-----++=l m l m l m p himq p himpq p q p运用式（7）于前式中的1-m pq:()[]121221------+=l m m l m l m p q m hi p q him p q p p q11--+l m p himq11222---+=l m l m p himq p q p ()2221---+l m p q m m h（9）与（8）式比较，增加2h 的高阶次。