专题(13)动能定理(解析版)

2021年（新高考）物理一轮复习考点强化全突破专题（13）动能定理（解析版）动能 动能定理1．动能(1)定义：物体由于运动而具有的能叫动能．(2)公式：E k ＝12mv 2. (3)标矢性：动能是标量，只有正值．(4)状态量：动能是状态量，因为v 是瞬时速度．2．动能定理(1)内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．(2)表达式：W ＝12mv 22－12mv 12＝E k2－E k1. (3)适用条件：①既适用于直线运动，也适用于曲线运动．①既适用于恒力做功，也适用于变力做功．①力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．(4)应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．【自测1】 关于动能定理的表述式W ＝E k2－E k1，下列说法正确的是( )A ．公式中的W 为不包含重力的其他力做的总功B ．公式中的W 为包含重力在内的所有力做的功，只能先求合外力再求合外力的功C ．公式中的E k2－E k1为动能的增量，当W >0时动能增加，当W <0时，动能减少D ．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功【答案】C【自测2】 一个质量为25 kg 的小孩从高度为3.0 m 的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.g 取10 m/s 2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )A ．合外力做功50 JB ．阻力做功500 JC ．重力做功500 JD ．支持力做功50 J【答案】A命题热点一 对动能定理的理解1．动能定理表明了“三个关系”(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功．(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因．(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳．2．标量性动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题．当然动能定理也就不存在分量的表达式．3．定理中“外力”的两点理解(1)可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用．(2)既可以是恒力，也可以是变力．例1(多选)如图1所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中()图1A．外力F做的功等于A和B动能的增量B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和【答案】BD【解析】A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B正确．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B相对地面的位移不相等，故二者做功不相等，C错误．对B应用动能定理W F－W f＝ΔE k B，W F＝ΔE k B＋W f，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D正确．根据功能关系可知，外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A错误．变式1(多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则()A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍【答案】AB命题热点二动能定理的基本应用1．应用流程2．应用动能定理的优越性(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．例2 如图2所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险．质量m ＝2.0×103 kg 的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v 1＝36 km/h ，汽车继续沿下坡匀加速直行l ＝350 m 、下降高度h ＝50 m 时到达“避险车道”，此时速度表示数v 2＝72 km/h.(g ＝10 m/s 2)图2(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量；(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin 17°≈0.3)．【答案】(1)3.0×105 J (2)2.0×103 N (3)33.3 m【解析】(1)由ΔE k ＝12mv 22－12mv 12得ΔE k ＝3.0×105 J (2)由动能定理有mgh －F f l ＝12mv 22－12mv 12 得F f ＝12mv 12－12mv 22＋mgh l＝2.0×103 N (3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是x ，由动能定理有－(mg sin 17°＋3F f )x ＝0－12mv 22 得x ＝12mv 22mg sin 17°＋3F f≈33.3 m. 变式2 如图3所示，与水平面夹角θ＝60°的斜面和半径R ＝0.4 m 的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块(可视为质点)从斜面上的A 点由静止释放，经B 点后沿圆轨道运动，通过最高点C 时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝34，g 取10 m/s 2，求：图3 (1)滑块在C 点的速度大小v C ；(2)滑块在B 点的速度大小v B ；(3)A 、B 两点间的高度差h .【答案】(1)2 m/s (2)4 m/s (3)1615m 【解析】(1)通过最高点C 时轨道对滑块的弹力为零，对滑块，在C 点由牛顿第二定律可得：mg ＝m v C 2R ，所以v C ＝gR ＝10×0.4 m/s ＝2 m/s ；(2)滑块在光滑圆轨道上运动时机械能守恒，故有：12mv B 2＝12mv C 2＋mgR (1＋cos 60°) 解得：v B ＝4 m/s ；(3)滑块从A 到B 只有重力、摩擦力做功，由动能定理可得：mgh －μmg cos 60°·h sin 60°＝12mv B 2 解得：h ＝1615m. 命题热点三 动能定理与图象问题的结合1．解决物理图象问题的基本步骤(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．2．图象所围“面积”的意义(1)v －t 图象：由公式x ＝vt 可知，v －t 图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移．(2)a －t 图象：由公式Δv ＝at 可知，a －t 图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．(3)F －x 图象：由公式W ＝Fx 可知，F －x 图线与横轴围成的面积表示力所做的功．(4)P －t 图象：由公式W ＝Pt 可知，P －t 图线与横轴围成的面积表示力所做的功．例3 质量为1 kg 的物体，放置在动摩擦因数为0.2的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W 和物体发生的位移x 之间的关系如图4所示，重力加速度为10 m/s 2，则下列说法正确的是( )图4A ．x ＝3 m 时速度大小为2 2 m/sB ．x ＝9 m 时速度大小为4 2 m/sC ．OA 段加速度大小为3 m/s 2D ．AB 段加速度大小为3 m/s 2【答案】C【解析】对于前3 m 过程，根据动能定理有W 1－μmgx ＝12mv A 2，解得v A ＝3 2 m/s ，根据速度位移公式有2a 1x ＝v A 2，解得a 1＝3 m/s 2，故A 错误，C 正确；对于前9 m 过程，根据动能定理有W 2－μmgx ′＝12mv B 2，解得v B ＝3 2 m/s ，故B 错误；AB 段受力恒定，故加速度恒定，而初、末速度相等，故AB 段的加速度为零，故D 错误．变式3 (多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v max 后，立即关闭发动机直至静止，v －t 图象如图5所示，设汽车的牵引力为F ，受到的摩擦力为F f ，全程中牵引力做功为W 1，克服摩擦力做功为W 2，则( )图5A ．F ①F f ＝1①3B ．W 1①W 2＝1①1C ．F ①F f ＝4①1D ．W 1①W 2＝1①3【答案】BC【解析】对汽车运动的全过程，由动能定理得：W 1－W 2＝ΔE k ＝0，所以W 1＝W 2，选项B 正确，D 错误；由v －t 图象知x 1①x 2＝1①4.由动能定理得Fx 1－F f x 2＝0，所以F ①F f ＝4①1，选项A 错误，C 正确． 命题热点四 用动能定理解决多过程问题1．解决多过程问题的两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式．2．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．(3)弹簧弹力做功与路径无关．类型1 直线运动与圆周运动的结合例4 如图6甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙所示的模型．倾角为45°的直轨道AB 、半径R ＝10 m 的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF .分别通过水平光滑衔接轨道BC 、C ′E 平滑连接，另有水平减速直轨道FG 与EF 平滑连接，EG 间的水平距离l ＝40 m ．现有质量m ＝500 kg 的过山车，从高h ＝40 m 处的A 点由静止下滑，经BCDC ′EF 最终停在G 点．过山车与轨道AB 、EF 间的动摩擦因数均为μ1＝0.2，与减速直轨道FG 间的动摩擦因数μ2＝0.75.过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，g 取10 m/s 2.求：图6 (1)过山车运动至圆轨道最低点C 时的速度大小；(2)过山车运动至圆轨道最高点D 时对轨道的作用力大小；(3)减速直轨道FG 的长度x .(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)【答案】(1)810 m/s (2)7×103 N (3)30 m【解析】(1)设过山车在C 点的速度大小为v C ，由动能定理得mgh －μ1mg cos 45°·h sin 45°＝12mv C 2 代入数据得v C ＝810 m/s(2)设过山车在D 点速度大小为v D ，由动能定理得mg (h －2R )－μ1mg cos 45°·h sin 45°＝12mv D 2 F ＋mg ＝m v D 2R，解得F ＝7×103 N 由牛顿第三定律知，过山车在D 点对轨道的作用力大小为7×103 N(3)全程应用动能定理mg [h －(l －x )tan 37°]－μ1mg cos 45°·h sin 45°－μ1mg cos 37°·l －x cos 37°－μ2mgx ＝0 解得x ＝30 m.类型2 直线运动与平抛运动的结合例5 如图7所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，用质量为m ＝1 kg 的小物块压紧弹簧，从A 处由静止释放物块，在弹簧弹力的作用下沿水平桌面向右运动，物块离开弹簧后继续运动，离开桌面边缘B 后，落在水平地面C 点，C 点与B 点的水平距离x ＝1 m ，桌面高度为h ＝1.25 m ，AB 长度为s ＝1.5 m ，物块与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.4，小物块可看成质点，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求：图7(1)物块在水平桌面上运动到桌面边缘B 处的速度大小．(2)物块落地时速度大小及速度与水平方向夹角的正切值．(3)弹簧弹力对物块做的功．【答案】(1)2 m/s (2)29 m/s 2.5 (3)8 J【解析】(1)物块离开桌面边缘后做平抛运动，竖直方向上有h ＝12gt 2，解得t ＝0.5 s ， 水平方向上有x ＝v B t ，解得v B ＝2 m/s.(2)对平抛过程运用动能定理：mgh ＝12mv C 2－12mv B 2，解得v C ＝29 m/s ， 物块落地时水平方向v x ＝v B ＝2 m/s ，竖直方向v y ＝gt ＝5 m/s ，则tan θ＝v y v x＝2.5. (3)从A 到B 的过程中，运用动能定理有W 弹－μmgs ＝12mv B 2－0，解得W 弹＝8 J. 类型3 直线运动、平抛运动与圆周运动的结合例6 如图8所示为一遥控电动赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图．假设在某次演示中，赛车从A 位置由静止开始运动，经2 s 后关闭电动机，赛车继续前进至B 点后水平飞出，赛车能从C 点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D 点和E 点分别为圆形轨道的最高点和最低点．已知赛车在水平轨道AB 段运动时受到的恒定阻力为0.4 N ，赛车质量为0.4 kg ，通电时赛车电动机的输出功率恒为2 W ，B 、C 两点间高度差为0.45 m ，C 与圆心O 的连线和竖直方向的夹角α＝37°，空气阻力忽略不计，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：图8(1)赛车通过C 点时的速度大小；(2)赛道AB 的长度；(3)要使赛车能通过圆轨道最高点D 后回到水平赛道EG ，其半径需要满足什么条件．【答案】 (1)5 m/s (2)2 m (3)0＜R ≤2546m 【解析】(1)赛车在BC 间做平抛运动，则竖直方向v y ＝2gh ＝3 m/s.由图可知：v C ＝v y sin 37°＝5 m/s(2)赛车在B 点的速度v 0＝v C cos 37°＝4 m/s则根据动能定理：Pt －F f l AB ＝12mv 02，得l AB ＝2 m. (3)当赛车恰好通过最高点D 时，有：mg ＝m v D 2R从C 到D ，由动能定理：－mgR (1＋cos 37°)＝12mv D 2－12mv C 2，解得R ＝2546m ， 所以轨道半径需满足0＜R ≤2546m(可以不写0).。