2021-2022年高三高考模拟题(四) 数学 含答案
2021年高三高考模拟题（四）数学含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合，为整数集，则集合中所有元素的和为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（）
A． B. C． D．
3.若框图所给的程序运行结果为S =90．那么判断框中应填人后的条件是 ( )
A.k=9 B．k≤8 C．k<8 D．k>8
4. 圆上到直线的距离为的点
的个数为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
5.给出下面四个结论：
①命题“若，则”的逆否命题为真命题；
②把化为八进制数为；
③命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
④“平面//平面”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的个数是（）
A.1 B．2 C．3 D．4
6. 在等差数列中，，设，
则数列的前n项和为（）
A． B． C． D．
7.设函数,其中,,则的展开式中的系数为( )
A． B．C． D．
8. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面则该球的体积为（）
正视图侧视图
俯视图2
2
1
1
1P
A. B. C. D.
9.假如今年省运会给岭师附中高中三个年级7个自主推荐的志愿者名额，则每个年级至少分到一个名额的方法数为( ) A ．10 B ．35 C ．21 D ．3010.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 A.
B. C.
D.
11.在中，E 为AC 上一点，且，P 为BE 上一点，且，则取最小值时，向量的模为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2 12.若函数满足，存在，，使，则叫做函数
的“基点”，已知函数存在“基点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知，则=
14.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱 的棱长为
15.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函 数的最大值为
16. 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，
，若函数在区间内恰有三个不同零 点，则实数的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17(1).已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为, 若△ABC 的外接圆的半径为 2 ，且
（1）求∠C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值． 17(2).数列的前n 项和
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和。
18. (本小题满分12分)
如图：四棱锥中， ,
（1）证明：平面
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由. 19. (本小题满分12分)
在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.
（I ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（II ）X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分12分)
设椭圆C 1：的左、右焦点分别是F 1、F 2，
下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图． 若抛物线C 2：与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （1）求椭圆C 1的方程；
（2）设M （0，），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作 抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求面积的最大值．
21. (本小题满分12分) 已知函数.
（1）若对都成立，求的取值范围； （2）已知为自然对数的底数，证明：N ，.
22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点 的平分线分别交于点、. (1)证明：(2)若，求的值.
23. 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为为参数），且曲线上的点 对应的参数 .
以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点
（1）求曲线的普通方程，的极坐标方程；
（2）若是曲线上的两点，求的值。
24.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
设=.
（1）求的解集;
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
铁人中学模拟训练(四)
一、选择题：
1.C
2.B
3.D
4.B
5.A
6.C
7.D
8.B
9.B 10.C 11.C 12.
A．B. C. D.
二、填空题：
13. 14.15.1016.5
三、解答题：
17（1）, (2)
17（2）
18.
19.
20. （1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C1的方程为：．…………2分
（2）设N（），由于知直线PQ的方程为：．即．……………………………4分
代入椭圆方程整理得：,
=,
, ,
故12PQ x =-= 设点M 到直线PQ 的距离为d ，则．所以，的面积S
当时取到“=”，经检验此时，满足题意． 综上可知，的面积的最大值为． 21. （1）；（2）证明见解析.
试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而对的取值范围讨论确定函数在上的单调性，即可得的取值范围；（2）先结合（1），可知当时，对都成立，进而可证
222222
1212ln 1ln 1ln 1n n
n n n n n
n ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫++++++<++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，即可证，再结合（1），可知当时，对都成立，进而可证
2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n n
n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭，化简，
即可证.
试题解析：（1）解：∵，其定义域为, ∴. …………………………1分 ① 当时，，当时，，
则在区间上单调递减，此时，，不符合题意. …2分 ② 当时，令，得，，
当时，，则在区间上单调递减，
此时，，不符合题意. ③ 当时，，当时，， 则在区间上单调递增，此时，，符合题意. ……4分 ④ 当时，令，得，，当时，，
则在区间上单调递增，此时，，符合题意.综上所述，的取值范围为. （2）证明：由（1）可知，当时，对都成立， 即对都成立. ∴222222
1212ln 1ln 1ln 1n n n n n n n
n ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
+++++<++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
即2222
121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+
++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 由于N ，则. ∴. ∴ . 由（1）可知，当时，对都成立， 即对都成立.
∴22222244422212
11212ln 1ln 1ln 12n n n n n
n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭.即
()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤
⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
由于N ，则()()322
3233336331643161
1212122
n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=.
∴.
∴ . ∴.
考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法. 22.
23
24. (1)由得： 或或………3分 解得
所以的解集为 ………5分
（2）|1||21|111112123||
a a a a
a
a
a
+--=+--≤++-=
当且仅当时，取等号. ………8分 由不等式对任意实数恒成立，可得
解得：或. 故实数的取值范围是。
2021-2022年高三4月月考数学试题 含答案
所以=n-2+3×()n(n∈N*),
所以Sn=-2n+3×=+3-.
由题意,记=.
要使数列{}为等差数列,只要- (n≥2)为常数.
===+(3-λ)×,
=+(3-λ)×,
则-=+(3-λ)×(-).
故当λ=2时,-=为常数,即数列{}为等差数列.
21
解：设B型号电视机的价值为万元（），农民得到的补贴为万元，
19. 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足=== (如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).
(1)求证:E⊥平面BEP;
(2)求直线E与平面BP所成角的大小.
20.已知数列{}中,=,点(n,2-)(n∈N*)在直线y=x上.
2021年高三4月月考数学试题 含答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.复数z=+,则等于( )
(A)i(B)-i(C)1+i(D)1-i
2.已知全集U=N*,集合P={1,2,3,4,5},Q={1,2,3,6,8},则P∩(∁UQ)等于( )
(A){1,2,3}(B){4,5}
8.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数y=f(x)的部分图象,则f(x)可能是( )
(A)xsin x(B)xcos x(C)cos x(D)sin x
9.函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为( )
2022版优化方案高考数学(浙江版·文科)二轮专题复习练习：专题4 立体几何第1讲 Word版含答案
[A卷]1．(2021·宁波市高三模拟) 用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B.由题意知，用平行于水平面的平面去截球所得的底面圆是看不见的，所以在俯视图中该部分应当是虚线圆，结合选项可知选B.2．下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的全部平行于底面的截面都是圆D．圆锥全部的轴截面都是全等的等腰三角形解析：选B.依据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．3．(2021·台州市高三调考)一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为()A．16B．32C．48 D．96解析：选A.由题意作出直观图P-ABCD如图所示，则该几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，其面积为12×(2＋4)×4＝12，高为4，因此其体积V＝13×12×4＝16.4．(2021·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，所以r2＝4，r＝2，故选B.5．如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A.依据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V＝3×2×1＋13×3×2×x＝10，解得x＝2.故选A.6. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为()A．2 3 B． 3C.32D．1解析：选C.由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为32，长为1的长方形，所以面积S＝32×1＝32.故选C.7．一平面截一球得到直径为2 5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是() A．12πcm3B．36πcm3C．646πcm3D．108πcm3解析：选B.由于球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理得，球半径R＝22＋（5）2＝3，故球的体积为43πR3＝36π(cm3)．8．(2021·石家庄市第一次模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．64B．72C．80D．112解析：选B.由三视图可知该几何体是一个组合体，下面是一个棱长为4的正方体；上面是一个三棱锥，三棱锥的高为3.故所求体积为43＋13×12×4×4×3＝72.9．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上)．解析：几何体由四棱锥与四棱柱组成时，得①正确；几何体由四棱锥与圆柱组成时，得②正确；几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确；几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正确．答案：①②③④10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为________ cm.解析：作出圆锥的轴截面如图，设SA＝y，O′A′＝x，利用平行线截线段成比例，得SA′∶SA＝O′A′∶OA，则(y－10)∶y＝x∶4x，解得y＝403.所以圆锥的母线长为403cm.答案：40311．(2022·高考课标全国卷Ⅱ改编)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 3，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为________．解析：由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2sin 60°＝3，所以V AB1DC1＝13AD·S△B1DC1＝13×3×12×2×3＝1，故选C.答案：112．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为________，体积为________．解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V＝13×22×2＝83.答案：458313．(2021·南昌市第一次模拟)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为________．解析：依据题意，三棱锥P -BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1. 答案：1∶114．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，所以长方体的体积为2×2×1＝4，半球的体积为12×43π×13＝2π3，所以该几何体的体积是4－2π3.答案：4－2π315．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF的体积为________．解析：由于B 1C ∥平面ADD 1A 1，所以F 到平面ADD 1A 1的距离d 为定值1，△D 1DE 的面积为12D 1D ·AD ＝12，所以V D 1EDF ＝V F D 1DE ＝13S △D 1DE ·d ＝13×12×1＝16.答案：16[B 卷]1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不行能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C.依据三视图中“正俯长一样，侧俯宽一样，正侧高一样”的规律，C 选项的侧视图宽为32，不符合题意，故选C.2．(2021·邢台市摸底考试)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则该几何体的体积为( )A.16 B.13 C.23D ．56解析：选D.依题意得，题中的几何体是从棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中截去三棱锥A ′ABD 后剩余的部分，因此该几何体的体积等于13－13×⎝⎛⎭⎫12×12×1＝56，故选D. 3．(2022·高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.4．(2021·高考山东卷)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B ．4π3 C.5π3D ．2π 解析：选C.过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.5．(2021·郑州市第一次质量猜测)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为( )A ．32B ．327C ．64D ．647解析：选C.依题意，题中的几何体是三棱锥P -ABC (如图所示)， 其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ， BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，因此xy ＝x 102－[x 2－（27）2]＝x128－x 2≤x 2＋（128－x 2）2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64，故选C.6．(2021·山西省第三次四校联考)在半径为10的球面上有A ，B ，C 三点，假如AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.设A ，B ，C 三点所在圆的半径为r ，圆心为P .由于∠ACB ＝60°，所以∠APB ＝120°.在等腰三角形ABP 中，AP ＝43sin 60°＝8，所以r ＝8，所以球心O 到平面ABC 的距离为102－82＝6，故选C.7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．5＋ 3B ．5＋2 3C ．4＋2 2D ．4＋2 3解析：选A.该几何体的直观图如图．表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，所以选A.8．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D -ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC ，且三棱锥D -ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D -ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC ，且三棱锥D -ABC 的体积为163解析：选C.由正视图可知，P A ＝AC ，且点D 为线段PC 的中点，所以AD ⊥PC .由侧视图可知，BC ＝4.由于P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC .又由于BC ⊥AC ，且AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥AD .又由于AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以可得AD ⊥平面PBC ，V D ABC ＝13×12×P A ×S △ABC ＝163.9．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为________．解析：侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.答案：15210．(2021·洛阳市高三班级统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )解析：由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去一个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π 11．(2021·绍兴市高三诊断性测试)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，最长的侧棱长为________．解析：依据三视图及有关数据还原该几何体，得该几何体是底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD ，如图，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，连接CH .底面面积S 1＝（1＋2）×12＝32，V ＝13×32×1＝12，最长的侧棱长为PB ＝ 3.答案：12312．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 解析：设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.答案：3213．(2021·洛阳市统考)已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝6，AC ＝23，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．解析：由题意可得，∠ABC ＝π2，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积最大时，V D ABC ＝13S △ABC ·h (h为D 到底面ABC 的距离)，即3＝13×12×6×6h ⇒h ＝3，即R ＋R 2－r 2＝3(R 为外接球半径)，解得R ＝2，所以球O 的表面积为4π×22＝16π.答案：16π 14．(2021·杭州市联谊学校高三其次次联考)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为________．解析：如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设DF 的长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，GH ⊥CC 1，EI ⊥CC 1，垂足分别为G ，H ，I ，则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI ＋EG＝2x 22－4.连接DH ，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋⎝⎛⎭⎫2x 22－42，解得x ＝23，即该三角形的斜边长为2 3.答案：2 3 15．(2021·浙江省名校新高考联盟第一次联考)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形，则BC ＝________，四棱锥F-OBED的体积为________．解析：取AO的中点M，连接CM，BM，由△OAB，△OAC是正三角形，OA＝1，可知CM⊥AO，BM⊥AO，且BM＝CM＝32，又平面ABED⊥平面ACFD，所以CM⊥平面ABED，所以CM⊥BM，故BC＝62.过点F作FQ⊥OD于点Q，由于平面ABED⊥平面ACFD，所以FQ⊥平面ABED，FQ就是四棱锥F-OBED的高．易知FQ＝3，又S△OBE＝12×1×2×32＝32，S△OED＝12×2×2×32＝3，所以S四边形OBED＝32＋3＝332，故V四棱锥F-OBED＝13×332×3＝32.答案：6232。
2022年清华大学中学高三下学期联考数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知整数x,y满足x2+y2≤10，记点M的坐标为(x,y)，则点M满足x+y≥A．5的概率为（）9 35B．635C．537D．7372．如图，在平面四边形ABCD中，满足AB=BC,CD=AD，且AB+AD=10,BD=8，沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC=2，则三棱锥P-BCD体积的最大值为（）A．12B．122C．1623D．163⎧y≤x⎪3．已知不等式组⎨y≥-x表示的平面区域的面积为9，若点⎪x≤a⎩A．3B．6C．9D．12，则的最大值为（）4．已知随机变量X的分布列如下表：X-1a 01P b c其中a，b，c>0.若X的方差D(X)≤A．b≤13B．b≤231对所有a∈(0,1-b)都成立，则（）312C．b≥D．b≥335．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.6．函数f (x )=x ln |x |的大致图象为（）e xA ．B ．C ．D ．7．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为x2+y 2列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为()3=x 2y 2.给出下1；41；8③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为④四叶草面积小于π.4其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④⎧x ≥0⎪8．已知a ，b ，c ∈R ，a >b >c ，a +b +c =0．若实数x ，y 满足不等式组⎨x +y ≤4，则目标函数z =2x +y ⎪bx +ay +c ≥0⎩（）A ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值B ．有最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值9．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）A ．甲7件，乙3件3B ．甲9件，乙2件2C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件10．若函数f (x )=x +ax +3x -9在x =-3时取得极值，则a =（）A ．211．中，如果B ．直角三角形B ．3C ．4，则C ．等腰三角形D ．5的形状是（）D ．等腰直角三角形A ．等边三角形12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省榆林市米脂中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题(含答案解析)
陕西省榆林市米脂中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，{2A =，4，5}，{3B =，5}，则()U A B =⋃ð（）A ．{3}B ．{2，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，4，5}2．命题p ：“x ∃∈R ，()214204x a x +-+≤”，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，()214204x a x +-+>B ．x ∀∈R ，()214204x a x +-+≤C ．x ∃∈R ，()214204x a x +-+≥D ．x ∃∈R ，()214204x a x +-+>3．下列四个函数中，在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数的是（）A ．sin y x =-B ．cos y x =C ．tan y x=D ．tan y x=-4．若函数()1,012,02x x f x x ⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f -=（）A ．－2B ．－1C ．0D ．15．已知函数()()1xf x a a a =->，则函数()f x 的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若命题p ：函数()()log 11a f x x =-+（0a >且1a ≠的图像过定点()2,1，命题q ：函数()2xg x =的值域为[)0,∞+，则下列命题是真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝7．函数()()sin x xf x e e x -=+的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知x∈R，则“x>”是“22x>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若0.70.5a=，0.50.7b=，0.11.1c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c>>B．c b a>>C．c a b>>D．a c b>>10．函数()()πsin0,2f x xωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，将函数()f x的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x的图象，则（）A．()sin2g x x=B．()cos2g x x=C．()2πsin23g x x⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()2πcos23g x x⎛⎫=+⎪⎝⎭11．给出定义：若函数()f x在区间D上可导，即()f x'存在，且导函数()f x'在D上也可导，则称()f x在D上存在二阶导函数.记()()()f x f x''''=，若()0f x''<在D上恒成立，则称()f x在D上为凸函数.若()2ln5axg x x=+在()0,1上是凸函数，则实数a可取的最大整数值为（）A．0B．1C．2D．312．已知定义在()0,+¥的函数()f x满足：()()()0,,0x f xx f x'+∞-∀∈<，其中()f x¢为()f x的导函数，则不等式()()()(231)123x f x x f x-+>+-的解集为（）A ．3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()4,+∞C ．()1,4-D ．(),4-∞二、填空题13．函数()()1lg 12f x x x =++-的定义域为______.14．若1tan 42⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πα，则tan 2α=______.15．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，则()21f -=______.16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．三、解答题17．设函数()()sin cos R f x x x x =∈.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标.18．已知函数()32f x ax bx =+在1x =时取得极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程.19．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 4550y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)．(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？20．已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，()sin 2b A a B =-.(1)求B ；(2)若D 为BC 边的中点AD =，BC =ABC 的面积.21．已知函数()232log f x x =-，()2log g x x =.(1)当[]2,8x ∈时，求函数()()()1h x f x g x =+⋅⎡⎤⎣⎦的值域(2)如果对任意的[]2,8x ∈，()()22f x fk gx ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数()e 1xf x ax =--，其中e 为自然对数的底数.(1)求()f x 的单调区间：(2)若函数()f x 在区间()0,1上存在零点，求实数a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】 全集{1U =，2，3，4，5}，{3B =，5}，{1U B ∴=ð，2，4}，{2A = ，4，5}，(){1U A B ∴=⋃ð，2，4，5}，故选：D 2．A【分析】根据命题的否定的定义，直接选出答案即可.【详解】写出命题的否定，则“x ∃∈R ，()214204x a x +-+≤”的否定为，p ⌝为：x ∀∈R ，()214204x a x +-+>故选：A 3．C【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可.【详解】对A ，因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以sin y x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；对B ，cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对C ，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D ，由C 知，tan y x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故答案为：C 4．C【分析】首先求()1f -，再代入求()()1f f -的值.【详解】()111212f --=+=，所以()()()1110f f f -===.故选：C 5．B【分析】根据函数()1xy a a =＞的单调性和函数平移规则分析.【详解】()1xy a a =＞是单调递增的函数，经过()0,1，渐近线为0y =，当0x =时，()000f a a =-＜，()10f a a =-=，渐近线为y a=-，所以图像如下图：故选：B.6．B【分析】根据函数过点可以判断命题p 的真假，由函数的值域可以判断命题q ，然后逐项判断命题的真假即可.【详解】命题p :当2x =时，()()2log 2111a f =-+=，函数过定点()2,1，所以p 为真命题；命题q ：由x ∈R ,所以()20xg x =>，所以值域为：()0,∞+，所以命题q 为假命题，选项A:p 为真命题，q 为假命题，故p q ∧为假命题，所以A 错误；选项B:p 为真命题，q 为假命题，故p q ∨为真命题，所以B 正确；选项C:p 为真命题，p ⌝为假命题，故()p q ⌝∧为假命题，所以C 错误；选项D:p 为真命题，q 为假命题，所以p ⌝为假命题，q ⌝为真命题故()()p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B.7．B【分析】分析函数()f x 的奇偶性及2f π⎛⎫⎪⎝⎭与2的大小关系，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()()sin x xf x e e x -=+的定义域为R ，()()()()()sin sin x x x x f x e e x e e x f x---=+-=-+=-，即函数()f x 为奇函数，排除CD 选项；2222f e e e πππ-⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，排除A 选项.故选：B.8．A【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由22x >解得x >或x <所以“x >是“22x >”的充分不必要条件，故选：A 9．B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，即可得出.【详解】解：0.5x y = 在R 上是减函数，0.70.50.50.05<∴<，0.5y x = 在[)0,∞+上是增函数，0.7x y =在R 上是减函数，0.50.500.50.70.71∴<<=，则0.70.50.50.7<，即01a b <<<，又 1.1x y =在R 上是增函数，0.101.111.1>=∴，即1c >，综上所述，可知c b a >>，故选：B.10．A【分析】先由图像中周期求得ω，再由点代入求得ϕ，从而利用三角函数图像平移求得()g x 的解析式即可.【详解】结合图像，易得17πππ41234T =-=，则πT =，所以由2πT ω=得2ππω=，所以2ω=，又0ω>，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+，又因为7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭落在()f x 上，所以7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，即7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π2ϕ<，所以当且仅当0k =时，π3ϕ=满足要求，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，所以()ππsin 2sin 263x g x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭.故选：A.11．C【分析】根据题意求得()g x ''，将问题转化为()0g x ''<在()0,1x ∈恒成立，解出不等式即可得到结果.【详解】因为()215a g x x x '=+，()2215a g x x ''=-由凸函数的定义可得，()0g x ''<在()0,1x ∈恒成立，即22215052a a x x-<⇒<在()0,1x ∈恒成立，且当1x =时，2min 5522x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以52a ≤，则实数a 可取的最大整数值为2故选:C.12．A【分析】先构造函数()()f x g x x=，由()()()0,,0x f x x f x '+∞-∀∈<可得()g x 在()0,+¥上单调递增，则所求的不等式等价于()()123123f x f x x x +->+-，列出不等式组，解出x 的范围即可.【详解】设()()()()()2,f x xf x g x g x f x x x ''==-，因为()()()0,,0x f x x f x '+∞-∀∈<，所以在()0,+¥上()0g x ¢>，所以()g x 在()0,+¥上单调递增，由已知，()f x 的定义域为()0,+¥，所以10,230x x +>->，所以()()23 11 2)()3(x f x x f x -+>+-等价于()()123123f x f x x x +->+-，即(()13)2g g x x >-+，所以10230123x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得342x <<，所以原不等式的解集是3,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.13．()()1,22,-⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =++-需满足1020x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =++-的定义域为()()1,22,-⋃+∞，故答案为：()()1,22,-⋃+∞14．34-##0.75-【分析】展开1tan 42⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πα，求出tan α，再代入22tan tan 21tan ααα=-，即可求解．【详解】解：πtantan π1tan 14tan π41+tan 21+tan tan 4ααααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，所以222tan 236t 4an 2==1tan 1383ααα==---⨯-，故答案为：34-.15．0【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.【详解】依题意，()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f =，由()()1f x f x +=-令0x =得()()100f f ==，()()()()()()21111f x f x f x f x f x f x +=++=--=-+=--=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()212111210f f f -=-+⨯==.故答案为：016．2π-##2π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===，则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为22π3222π3⨯-=-故答案为：2π-或2π-+．17．(1)π(2)ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈【分析】（1）利用正弦函数的倍角公式化简()f x ，再由最小正周期公式即可得解；（2）结合（1）中结论求得π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的对称性即可得解.【详解】（1）因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以2ππ2T ==，故函数()f x 的最小正周期为π.（2）由（1）知()1sin 22f x x =，所以π1πsin 2623f x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2π3x k -=，Z k ∈，则ππ26k x =+，Z k ∈，所以函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈.18．(1)6,9a b =-=(2)36210x y ++=【分析】（1）解方程组(1)3(1)320f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩即可求解；（2）只需求出()1f '-，()1f -，再利用点斜式写直线方程即可.【详解】（1）()232f x ax bx '=+，由题意可得(1)3(1)320f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得69a b =-⎧⎨=⎩，检验：()21818f x x x '=-+，令()0f x '=，解得0x =或1x =，当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，满足题意；（2）由（1）得()3269f x x x =-+，所以()21818f x x x '=-+.所以()115f -=，()136f '-=-.所以所求切线方程为()15361y x -=-+，即36210x y ++=.19．(1)f (x )＝－3x ＋162，x ∈[30，54]；(2)P=-3(x-42)2+432,x ∈[30,54]，销售单价为42元.【分析】（1）设出函数的解析式，进而根据表格中的数据求得答案；（2）先求出P ，然后根据二次函数求最值的方法解得答案.【详解】（1）因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组452735012162a b a a b b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为f (x )＝－3x ＋162，x ∈[30，54]．（2）由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )232524860x x =-+-()[]2342432,30,54x x =--+∈.当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．20．(1)π6B =(2)【分析】（1）利用正弦定理、辅助角公式化简已知条件，从而求得B .（2）利用余弦定理求得AB ，进而求得三角形ABC 的面积【详解】（1）在ABC 中由正弦定理及已知条件，可得()sin sin sin 2A B A B =，∵()0,πA ∈，∴sin 0A >，∴sin 2B B =-，∴πsin 13B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0,πB ∈，∴ππ4π333B <+<.∴πππ,326B B +==.（2）∵D 为BC 边的中点，BC =，∴BD =.在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，∴2π7326AB AB =+-，∴2340AB AB --=，解得4AB =或1AB =-（舍去）.∴11sin 4sin 3022ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯︒=△21．(1)[]6,2-(2)9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）()()2222log 1h x x =--+，[]2log 1,3x ∈，计算得到值域.（2）令2log t x =，[]1,3t ∈，题目转化为3341k t t ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]1,3t ∈恒成立，[]31,3t ∈，计算最值得到答案.【详解】（1）()()()2222242log log 2log 1h x x x x =-=-+-，[]2,8x ∈，[]2log 1,3x ∈，设[]2log 1,3m x =∈，()()2221m k m --=+，()()max 12k m g ==，()()min 36k m g ==-，故函数()h x 的值域为[]6,2-.（2）()()22f x f k g x ⋅>⋅，即()()()222234log 3log log x x k x -->，令2log t x =，[]1,3t ∈，()()2343t t k t -->⋅对任意的[]1,3t ∈恒成立.3341k t t ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]1,3t ∈恒成立，[]1,3t ∈，设[]31,3n t =∈.设()()()2594124F n n n n ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()min 5924F n F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故94k <-.实数k 的取值范围为9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.22．(1)见解析(2)()1,e 1-【分析】(1)对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况进行讨论，利用导函数的正负来判断函数的单调区间即可求解；(2)结合（1）的结论，分三种情况进行讨论，根据条件和零点存在性定理即可求解.【详解】（1）∵()e 1x f x ax =--，∴()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间.当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <：令()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞.综上：当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞.（2）由（1）知()e x f x a '=-.当1a ≤时，函数()f x 在区间()0,1上单调递增且()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1上不存在零点.所以当e a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递减且()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1上不存在零点.所以当1e a <<时，函数()f x 在区间()0,ln a 上单调递减，在()ln ,1a 上单调递增，又∵()00f =，()1e 1f a =--，∴当e 10a --≤，即e 1e a -≤<时，函数()f x 在区间()0,1上不存在零点；当e 10a -->，即1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()0,1上存在零点.综上，实数a 的取值范围为()1,e 1-.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
考向04 基本不等式及应用(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向04 基本不等式及应用（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如(0)ay x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立． 2．基本不等式 当a >0，b >0时有ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 【知识拓展】 常用推论：（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知0x >，0y >，且1x y +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．11x y+有最小值4B ．xy 有最小值14C ．22x y +2D x y 有最大值22．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）（多选题）下列命题正确的是（ ） A ．若0a b >>，0c <，则c ca b> B ．若0a >，0b >，0c >，则a a cb b c+≤+ C ．若0a b >>2a ba b++<D ．若1a >-，0b >，22a b +=，则121a b++的最小值为3 3．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（文））若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A ．9B ．4C ．12 D ．144．（2020·安徽高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(4b -c )cos A =a cos C ，且3a =ABC 的周长的取值范围___________.1．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．（2021·重庆高三三模）(多选题)已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（ ） A ．ab 的最大值为2 B ．2a b +的最小值为4 C ．a b +的最小值为3D ．1112+++a b 的最小值为223．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）（多选题）已知2,0,1a b a b >+=，则下列选项一定正确的是（ ） A ．133a b-≤ B ．b a 12C 2a b <D ．11165a b +≥ 4．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知0a >，0b >，则下列说法正确的是（ ） A ．214a a+最小值为a B ．若2a b +=，则()()33a b ab ++的最小值为4C ．若41a b +=，则1b a +的最小值为9 D ．若115a b a b+++=，则a b +的最小值为45．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．6．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD上的一动点，若AF =(0,0)x AE yDC x y +>>，则22341x y -+的最大值为___________.7．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知,x y 都为正实数，则()241xy x x y++的最小值为___________．8．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（理））《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里300=步）________ 里.9．（2021·浙江高三其他模拟）已知正实数,a b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为_______；222a b +的最小值为__.10．（2021·海南高三其他模拟）若0x >，0y >，且211x y+=，则2x y +的最小值是___________，当且仅当___________时，取得最值.11．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元2/m ，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元2/m ，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元2/m .设总造价为S (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).S 的最小值是___________，此时x 的值是___________.1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2020·全国高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．324．（2020·天津高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 5．（2020·江苏高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．6．（2019·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______7．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为______.8．（2020·全国高考真题（文））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34．1．【答案】A 【分析】根据已知，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件. 【详解】 对于选项A ，1111()114y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当12x y ==时取等号，故A 正确； 对于选项B ，2124x y xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，故B 错误；对于选项C ，222222222x y x y x y ++⋅==， 当且仅当12x y ==时取等号，故C 错误； 对于选项D ，2(22()2x y x y xy x y =+++=2x y，当且仅当12x y ==时取等号，故D 错误. 故选：A. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”， 若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．【答案】ACD 【分析】对选项A ，利用不等式性质即可判断A 正确；对选项B ，利用特值法即可判断B 错误；对选项C ，利用基本不等式性质求解即可；对选项D ，首先根据题意得到123a b ++=，从而得到()1122112131a b a a b b ⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣+⎦+，再展开利用基本不等式求解即可. 【详解】对选项A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c <，所以c c a b>，故A 正确； 对选项B ，因为0a >，0b >，0c >，设2a =，1b =，1c =， 则2ab =，32ac b c +=+，a a c b b c+>+，故B 错误； 对选项C ，因为0a b >>，所以()22a b a b <+⇒<+2422a b +⇒<⇒<C 正确；对选项D ，因为22a b +=，所以123a b ++=，所以()()(211211212155311313231a b a b a b a b a b +⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=++≥+=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦+⎦+⎣， 当且仅当()2121a ba b+=+，即0a =，1b =时，取等号.故D 正确. 故选：ACD 3．【答案】A 【分析】根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即2220a b --+=，41414=()()41b aa b a b a b a b+++=+++，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值. 【详解】直线被圆截得的弦长为4，圆的半径为2r === ,圆心为(1,2)-直线过圆心，故2220a b --+= ，即1a b += ，41414=()()415549b a a b a b a b a b +++=+++≥+=+=， 当且仅当4b aa b= ，即2a b = 时等号成立，最小值为9. 故选：A 【点睛】理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由1a b +=，求41a b+的最小值联想用基本不等式求最值.4．【答案】 【分析】先根据正弦定理将已知条件边化角，求出cos A ，然后利用余弦定理及均值不等式即可求解. 【详解】 解：(4)cos cos b c A a C -=，∴由正弦定理得(4sin sin )cos sin cos B C A A C -=，即4sin cos sin()sin B A A C B =+=，又sin 0B >，1cos 4A ∴=， 所以，由余弦定理得22132b c bc =+-，即25()32b c bc +-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(b =c 时等号成立)，所以b +c ≤b c +>a b c ∴<++≤，所以ABC 的周长的取值范围为，故答案为：(23,3]22+. 【点睛】关键点点睛：利用余弦定理得边,b c 后，结合均值不等式建立不等关系，从而求出b +c 22≤，最后根据三角形任意两边之和大于第三边求解.1．【答案】D 【分析】根据题意求出年平均利润函数。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)04 基本不等式及其应用 (含详解)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+ B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+D ．2y =（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．14例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ）A ．4-B ．4C ．8D ．8-例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ） A．4B ．C ．3D ．（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________． 【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______． 例28．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则121x x y ++的最小值为____________． 例29．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为 ________．例30．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________ 例31．（2022·全国·高三专题练习）若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值是__________．【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件． 题型六：“1”的代换求最值例32．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12例33．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例34．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2例35．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知20,0,61a b a b >>+=，则162b a +的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．21D ．27例36．（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A ．49B ．50C ．51D ．52例37．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.例38．（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【方法技巧与总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件．题型七：齐次化求最值例40．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，满足222232390,a b a b --+=则32b aa b+的最小值是（ ） A．B．C．D．例41．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数())f x a b =<的定义域为R ，则24b aa b c-++的最大值是___________.例42．（2022·全国·高三专题练习（理））若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C D 例43．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-最小值为（ ）A B C D 例44．（2022·天津·高三专题练习）已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.例45．（2022·浙江·高三专题练习）已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______． 例46．（2022·全国·高三专题练习）若0,0x y >>且224log 3log 9log 81x y +=，则433x y x y++的最小值为___________. 【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．题型八：利用基本不等式证明不等式例47．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知0a >，0b >． (1)若21a b +=，证明：2233348a b ≤+<；(2)若2a b ab +=，证明：410a b ab ++≥+例48．（2022·陕西渭南·二模（文））设函数()124f x x x =+--． (1)求不等式()23f x x ≥-的解集．(2)若()f x 的最大值为222a b c ++，证明：3ab bc ca ++≤．例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．例50．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明： (1)11192a b b c c a ++≥+++； (2)33332ab bc ca abca b c ++-++≥.例51．（2022·河南洛阳·一模（文））已知a ，b ，c 都是正数.(1)证明：a b c ++≥ (2)若3a b c ++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++. 【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 题型九：利用基本不等式解决实际问题例51．（2021·全国·高三专题练习（理））设计用232m 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）A．（38－ m 3 B ．16 m 3C ．m 3D ．14 m 3例53．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.例54．（2022·全国·高二课时练习）根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为317176cm π的球挖去一个三棱锥P ABC -后得到的几何体，其中PA AB ⊥，BC ⊥平面P AB ，1BC cm =．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC 的长．例55．（2022·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【方法技巧与总结】1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【过关测试】一、单选题 1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E 是ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）．若AE xAB y AC =+，则21x y +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．92．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．123．（2022·安徽马鞍山·三模（理））若0a >，0b >，()lg lg lg 3a b a b +=+，则a b +的最小值为（ ）A．B．4+C ．6D．3+4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知1e ，2e 为平面的单位向量，且其夹角为2π3，若()1222,xe ye x y +=∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．-5．（2022·天津红桥·一模）设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（）A ．6B ．9C ．D ．186．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知a ，Rb ∈，满足e e 1a b +=，则下列错误的是（ ） A ．2ln 2a b +≤- B ．e <0a b +C ．1≥abD ．()222e e 1a b+≥8．（2022·河北保定·二模）已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（） A ．2 B ．3C ．D ．二、多选题9．（2022·河北张家口·三模）已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（ ）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m = B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为210．（2022·河北·模拟预测）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥11．（2022·山东菏泽·二模）设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,上个世纪五十年代，美国数学家D ．H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（ ） A ．()()0.51,,L a b L a b ≤ B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数2()log x f x =，且正实数a ，b 满足()()1f a f b +=，则下列结论可能成立的是（ ） A ．2a b = B ．1122a b --+的最大值为32C．2ab = D ．2211a b +的最小值为三、填空题13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知正实数x ，y 满足12e (2)e yxx y -=+，则22y xy x y++的最小值为__________．14．（2022·吉林·模拟预测（理））已知2x >，则42x x +-的最小值是______． 15．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.16．（2022·浙江·模拟预测）已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________． 四、解答题17．（2022·江西·二模（理））已知函数()263f x x x =++-． (1)解不等式()10f x ≥的解集；(2)设()()3g x f x x =-+到的最小值为t ，若正数m ，n 满足2m n t +=，求11211m n +++的最小值．18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数()24f x x x =-+-，已知不等式()()0f x kx k ≥>恒成立. (1)求k 的最大值0k ； (2)设0a >，0b >，求证：1223a b a b a b k +≥++. 19．（2022·江西九江·三模（文））设函数()||()f x x a a =-∈R ． (1)若关于x 的不等式()(2)4+-≥f x f x 恒成立，求a 的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy 中，()()1+≤f x f y 所围成的区域面积为S ，若正数b ，c ，d 满足()()++=b d c d S ，求23++b c d 的最小值．20．（2022·陕西·模拟预测（理））设函数()142a f x x x x a=-++-()0a > (1)当1a =时，求不等式()52f x ≤的解集； (2)已知不等式()1f x x a ≥+的解集为{}1xx ≤∣，0m >，0n >，m n a +=，求28m n+的最小值. 21．（2022·河南·模拟预测（文））设a ，b 为正数，且1a b +=．证明：(1) (2)()()222a b b a a ++>．22．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=．(1)求14a b c++的最小值；(2)专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x +≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233x xy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥， 所以，2222b a a b a b a b+++≥+，即22b a a b a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对； 对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4-B ．4C ．8D ．8-【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x xx x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92【答案】BC 【解析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号），212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12. 故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y 为正数，由基本不等式可得124x y =+≥=14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件. 题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B．3 C．D．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y -=-，即4x y -=1xy =，可得xy =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可； 【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2C ．2D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a b ab＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果.【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f =，f =故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A．3 B．C．1D．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<。
2021年全国各地高考三模数学试题汇编 专题4 数列、推理与证明第1讲 数列(理卷B)
专题4 数列、推理与证明 第1讲 数列(B 卷)一、选择题（每题5分，共60分）1.（2021·海南省高考模拟测试题·12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a <2．（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·6）已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和．若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29B ．31C ．33D ．353．(2021济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．(2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ） A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5）6．（2021·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7.(2021·北京市东城区综合练习二·3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ） （A ）4（B ）8（C ）16 （D ）648．（2021·厦门市高三适应性考试·7） 已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（ ）.31A .62B .170C .1023D9．(2021·北京市西城区高三二模试卷·6)数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．8410. (2021.芜湖市高三5月模拟·5)11. (江西省九江市2021届高三第三次模拟考试·8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为（ ）A ．91B ．90C ．55D ．5412．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·4）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．23二、非选择题（ 40分）13.（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·16）设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n －1+a n －2－a n－3（n=4,5, ……）,则a 2021 = ．14.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15）15. (2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·13)已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .16. (2021·海淀区高三班级其次学期期末练习·9)若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．17.（2021·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·15）18．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11）在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．19．(2021.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分10分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．。