考点15-函数y=Asin(wx￠)的图象及三角函数模型的简单应用

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年高考数学真题分类汇编考点15 函数y=Asin(wx+￠)的图象及三角函数模型的简单应用理(含解析)

知识点15 函数y=Asin （wx ϕ+）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图象如图，则（）A.5B.4C.3D.2【解题指南】观察图象可知，0x 到40π+x 的图象为整个图象周期的一半. 【解析】选B.由图像可知，44200ππ=-+=x x T ，即22T p pw==,故4w =. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（）A.43π B.4πC.0D.4π- 【解析】选B. 将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，即,4k k Z πϕπ=+∈.3. （2013·四川高考理科·Ｔ5）函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大值点.【解析】选A ，根据图象可知3593()4123124T ππππ=--==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 4. （2013·四川高考文科·Ｔ6）函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A.2,3π- B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大（小）值点.【解析】选A ，根据图示可知1115621212122T ππππ=-==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 5.（2013·福建高考文科·Ｔ9）将函数()()sin 222⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭f x x ππθθ()1的图像向右平移个单位长度>ϕϕ后得到函数()()(),,0g x f x g x P ϕ⎛ ⎝⎭的图像若的图像都经过点，则的值可以是（）A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π【解题指南】平移问题上，图象和式子的区别对待，务必认识清楚，方能正确解题．【解析】选B. ()f x 的图像向右平移ϕ个单位，()()sin 2g x x ϕθ=-+⎡⎤⎣⎦，由题()sin sin 2θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3πθ=。

函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤法一法二1、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换1．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为s ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12t －π4，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________，初相是________．2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14 D ．23．(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位4、由y=sin2x 向______平移_______单位可得到y=cos2x 的图像.5、将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．92、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的作法7、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【变式训练】 1.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象．3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式8. (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝________.(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为________．图(1) 图(2)9．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋3 B. 3 C.33D ．2－ 311．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的应用12．函数y ＝sin(x ＋π2)，x ∈R ( )A ．在[－π2，π2]上是增函数 B ．在[0，π]上是减函数 C ．在[－π，0]上是减函数 D ．在[－π，π]上是减函数13．函数y ＝sin(3x －π4)的图象的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0) C ．(7π12，0) D ．(11π12，0).________],[)62sin(.14条对称轴有在πππ--=x y15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 16．(2012全国高考新课标卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减。

第四讲函数函数y=Asin(wx+)的图像及三角函数模型的简单应用-高考状元之路

第四节函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则（）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为，频率为，振幅为____，相位是____，初相是．课堂设计题型一函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ，则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是（）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。

高考数学考点14函数y=Asin(wx+￠)的图象及三角函数模型的简单应用

考点14 函数y=Asin （x ωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )A.))(43,41(Z k k k ∈+-ππ B. ))(432,412(Z k k k ∈+-ππ C ))(43,41(Z k k k ∈+-D. ))(432,412(Z k k k ∈+- 【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2345241πϕϖπϕϖ,,解得ω=π, 4πϕ=，所以)4cos()(ππ+=x x f令z k k x k ∈+<+<,242πππππ，解得432412+<<-k x k ，z k ∈，故单调递减区间为))(432,412(z k k k ∈+-.2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )A.(k π−14,k π+34)(k ∈Z) B.(2k π−14,2k π+34)(k ∈Z) C.(k −14,k +34)(k ∈Z) D.(2k −14,2k +34)(k ∈Z)【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知,{14ω+φ=π2,54ω+φ=3π2,解得ω=π,φ=π4,所以f(x)=cos (πx +π4),令2k π<πx+π4<2k π+π,k ∈Z,解得2k-14<x<2k+34,k ∈Z,故单调递减区间为(2k −14,2k +34)(k ∈Z).3.(2015·山东高考理科·T3) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x=的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 4.(2015·山东高考文科·T4) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 5. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k 的部分图像确定函数的最大值,可得y max =3+k ,y min =k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ① k-3=2 ②解之得M=8.6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【解题指南】求出函数f(x)的解析式，利用正弦函数的图像和性质进行判断。

考点14 函数y=Asin(wx+￠)的图象及三角函数模型的简单应用

考点14 函数y=Asin （wx ϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x 的图像（）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（）A.8π B.4π C.83π D.43π 【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 2sin(2)4f x x x x p=++的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为())](2)]44f x x x p pj j -+=+-，其图像关于y 轴对称，则()f x x ，所以2=+42k p p j p -，所以ϕ的最小正值是38p. 4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（）A.向左平行移动21个长度单位B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】x y 2sin =→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【解题提示】sin y x =−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x =+. 【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x =+的图象，选A.二、填空题6. （2014·上海高考文科·Ｔ12）[]sin 10,2______.x x π=方程在区间上的所有解的和等于【解题提示】ωϕ首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求.【解析】152sin()1,sin(),2+332366117.2637.3x x x xππππππππππ=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案：7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x xππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到siny x=的图象，则6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x xωϕ=+图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y xωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin2sin2sin63y x x xπωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Zωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ==，所以1()sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以1sin sin62664fππππ⎛⎫⎛⎫=∙+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：2三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:错误！未找到引用源。

第四节函数y=Asin(wx+F)的图象及三角函数模型的简单应用

x 4 4
方法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ∴ ×1+= ，∴=
4
∴f(x)=2sin
x 4 4
2
4
变式3-1 已知函数f(x)=2sin(wx+F)的图象如图所示，求f 7 的值
12
3 +=0可得=- 4 4 3
=0.
方法二：由图象知最小正周期T= ，f 因为f
7 =f 12 4
2 5 = 3 4 4
2 = 3
2

=f 4 3 7 =0，所以f 12
7 10 x 4
所得函数解析式为：y=sin =sin
7 5x 4
，再压缩横坐标得y=sin
故选D.
(2010·福建)将函数f(x)=sin(x+)的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则的值不可能 2 等于( B ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 知识准备：1. 设a>0，则函数y=f(x)的图象向左平移a 个单位，得y=f(x+a)的图象；向右平移a个单位，得 y=f(x-a)的图象；2. 若sin a=sin b，则a=b+2k， k∈Z
4 7 B. y=sin 10 x 2 3 C. y=sin 10 x 2 D. y=sin 10 x 7 4
5 x 的图象向右平移 2
错解方法一：将原函数图象向右平移
4
个单位长度得：
T 4 2
=0.
题型四三角函数模型的简单应用
【例4】如图为一个观览车示意图，该观览车的半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动q角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与q间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．

考点15函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用

考点15函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用函数y = Asin(wx+￠)表示一个正弦函数，其中A为振幅，w为角速度，￠为初相位。

首先，我们来看下正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪线，它在x轴上的周期为2π/w。

振幅A 决定了波浪的高度。

接下来，我们来看一下参数A、w、￠对正弦函数图象的影响：1.参数A：振幅A决定了正弦函数的波动幅度。

如果A增大，波浪的高度也会增大；如果A减小，波浪的高度也会减小。

如果A等于0，表示没有波动，图象就是一条直线。

2.参数w：角速度w决定了正弦函数的周期。

如果w增大，波浪的周期变小；如果w减小，波浪的周期变大。

如果w等于0，表示没有周期性的波动，图象就是一条水平线。

3.参数￠：初相位￠决定了正弦函数的起始位置。

如果￠增大，图象向左移动；如果￠减小，图象向右移动。

接下来，我们来看一些简单的应用：1.表示周期性变化的函数：正弦函数可以用来表示一些周期性变化的现象，比如季节变化、日出日落时间、海洋潮汐等。

通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况。

2.声音和音乐：音乐中的音调是由声音的频率决定的，而频率与正弦函数的周期有关。

通过改变正弦函数的周期，可以改变音调的高低。

3.电子信号：正弦函数在电子工程中有广泛的应用。

例如，交流电信号正是一个正弦函数。

通过调整正弦函数的振幅和周期，可以控制电流或电压的大小和频率。

4.振动和波动：正弦函数可以用来描述物体的振动和波动现象。

比如，弹簧的振动、水波的传播等。

通过调整正弦函数的振幅、周期和起始位置，可以描述不同类型的振动和波动。

在实际应用中，可以通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况和需求。

正弦函数模型在物理、工程、生物学等领域有着广泛的应用。

高考数学考点15 函数y=Asin(wx+￠)的图象及三角函数模型的简单应用

温馨提示：考点15 函数y=Asin （x ωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2018·天津高考理科·T6)将函数y =sin 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 ( )A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增 D .在区间上单调递减【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数图象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三角函数的逻辑推理能力.【解析】选A .因为将函数y =sin 的图象向右平移个单位长度,得到函数y =sin2x 的图象.用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A 正确,其他都不正确.2.(2018·天津高考文科·T6)将函数y =sin 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 ( )A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数图象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三角函数的逻辑推理能力.【解题指南】先求出平移后函数的解析式,再用五点法画出函数的草图,观察图象即可得出结论.【解析】选A.因为将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin2x的图象;用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A正确,其他都不正确.二、填空题3.(2018·江苏高考·T7)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是.【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.答案:-三、解答题4.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【命题意图】考查三角函数图象与性质,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)方法一:显然m>-,若x∈,则2x∈,2x-∈,①若2m-<即m<,则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.②若2m-≥即m≥,当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,综上,m的最小值为.方法二:显然m >-,因为f (x )在[-,m ]上的最大值为,所以y =sin(2x -)在[-,m ]上的最大值为1,又因为当且仅当2x -=+2k π,即x =+k π(k ∈Z)时,y =sin(2x -)=1.所以[-,m ]∩{x |x =+k π(k ∈Z)}≠∅,令+k π≥-(k ∈Z)得k ≥-,即k =0,1,2,…所以x =+0×π=∈[-,m ],即m ≥,所以m 的最小值为.关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则()()()()card A B card B C card C A card A B C---+{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系互否15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm na a-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或. 74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式（1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=. 125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立). 134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d .',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+;(2)1m m n n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式(1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11m m nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.。

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文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.知识点15 函数y=Asin （wx ϕ+）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像（）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【解题提示】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选A.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.【解析】选D.因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（）A.8π B.4π C.83π D.43π【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 22sin(2)4f x x xx的图像向右平移ϕ个单位，所得函数为()2sin[2()]2sin[2(2)]44f x xx ，其图像关于y 轴对称，则()2cos 2f x x ，所以2=+42k ，所以ϕ的最小正值是38. 4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（）A.向左平行移动21个长度单位B. 向右平行移动21个长度单位C.向左平行移动1个长度单位D. 向右平行移动1个长度单位【解题提示】x y 2sin =−−−−−−−−→1向左平行移动个长度单位21sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动21个长度单位得到函数1sin[2()1]2y x =++sin(21)x =+.故选A.5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【解题提示】sin y x =−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位sin(1)y x =+. 【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin(1)y x =+的图象，选A.二、填空题6. （2014·上海高考文科·Ｔ12）【解题提示】【解析】7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x = 的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】函数()sin()f x x ωϕ=+ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为sin(2)y x ωϕ=+，再向右平移6π个单位长度得到的函数为sin 2sin 2sin 63y x x x πωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以212,3k k Z ωωπϕπ=⎧⎪⎨-+=∈⎪⎩ 又因为0,22ππωϕ>-≤<可求得1,26πωϕ== ，所以1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以1sin sin 626642f ππππ⎛⎫⎛⎫=•+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：三、解答题8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: f (t )错误!未找到引用源。

t-sin 错误!未找到引用源。

t ,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差.【解题指南】(1)将f (t )=10-错误!未找到引用源。

cos π12t-sin 错误!未找到引用源。

t 化为y=Asin (ωx+φ)+b 的形式,然后代入x=8求值.(2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差. 【解析】(1)f (8)cos 错误!未找到引用源。

-sin π812⨯() =10-错误!未找到引用源。

cos2π3-sin 2π3=10-错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=10. 故实验室上午8时的温度为10℃. (2)因为f (t )=π1π10sin )12212t t -+=10-2sin ππ()123t +. 又0≤t<24,所以错误!未找到引用源。

≤错误!未找到引用源。

t+π3<7π3,-1≤sin 错误!未找到引用源。

≤1. 当t=2时,sin 错误!未找到引用源。

=1; 当t=14时,sin 错误!未找到引用源。

=-1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.9. （2014·湖北高考理科·Ｔ17）某实验室一天的温度（单位：oC ）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系：(t)103sin,[0,24).1212f t t t ππ=-∈(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11oC ，则在哪段时间实验室需要降温？【解题指南】（Ⅰ）将ππ()103cossin 1212f t t t =-化为错误!未找到引用源。

的形式，可求得只一天的温度最大值和最小值，进而求得最大温差。

（Ⅱ）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由f （t ）＞11，求得11232t ππ-（）＜，即71161236t ππππ≤-＜，解得t 的范围，可得结论．【解析】（Ⅰ）因为31(t)102(t sin t)102sin(t )12212123f ππππ=-+=-+ 又0t 24≤< 当t 2=时，sin(t )1123ππ+=；当t 14=时，sin(t )1123ππ+=-。

于是(t)f 在[0,24)上取得最大值12oC ，取得最小值8oC .故实验室这一天最高温度为12oC ，最低温度为8oC ，最大温差为4oC 。

（Ⅱ）依题意，当(t)11f >时实验室需要降温由（1）得(t)102sin(t )123f ππ=-+，故有102sin(t )11123ππ-+>即1sin(t )1232ππ+<-。

又024t ≤<，因此711t 61236ππππ<+<，即1018t <<。

在10时至18时实验室需要降温。

10.（2014·福建高考文科·Ｔ18）．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【解题指南】（1）直接将54π带入到解析式求值．（2）利用三角恒等变换将函数()f x 解析式化简，再利用正弦型函数的性质求解．【解析】18.解法一：（1）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+ sin 2cos21x x =++ )14x π=++（1）511()112444f πππ=+=+= （2）22T ππ== 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 11.（2014·福建高考理科·Ｔ16）．（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【解题指南】⑴先由平方关系式求出cos α；⑵运用降幂公式，辅助角公式进行化简，再研究性质．【解析】【解析】解法一：(1)∵02απ<<，sin 2α=，∴cos 2α=，………………3分∴11()22222f α=+-=；……………………………………5分 (2)∵21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos21sin 2222x x +=+-11sin 2cos222x x =+)24x π=+，……………………………9分 ∴2T π==π2，由222242k x k ππππ-≤+≤π+，得k x k 3πππ-≤≤π+88，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为[,]k k 3πππ-π+88，k ∈Z .…………………………13分解法二：21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos21sin 2222x x +=+-11sin 2cos222x x =+sin(2)24x π=+，…………………………………4分(1)∵02απ<<，sin 2α=，∴4απ=，………………………………………6分∴1()sin(2)sin 24242f ααπ3π=+==；……………………………9分 (2)2T π==π2，由222242k x k ππππ-≤+≤π+，得k x k 3πππ-≤≤π+88，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为[,]k k 3πππ-π+88，k ∈Z .……………………13分。