人教A版高中数学必修5精选优课教案1.1.2余弦定理2

合集下载

人教A版高中数学必修5精选优课教案 1.2应用举例

正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。

难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。

2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。

高中数学人教A版必修5第一章《1.1.2 余弦定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版必修5第一章《1.1.2 余弦定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1、能推导余弦定理及其推论,能运用余弦定理解已知“边,角,边”和“边,边,边”两类三角形。

2、培养学生知识的迁移能力;归纳总结的能力;运用所学知识解决实际问题的能力。

3、从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用,让学生感受数学的美,激发学生学习数学的兴趣。

通过主动探索,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神,形成学习数学知识的积极态度。

2学情分析
本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。

3重点难点
重点:余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点:利用向量的数量积证余弦定理的思路。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】复习回顾
1.什么是正弦定理?
2.正弦定理能解决三角形中哪些问题?。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形1正弦定理和余弦定理2余弦定理》优质课教案0

《余弦定理》教学设计、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书•数学必修5》（人教A版）第一章第一节第二课时，本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角” “三边”的解三角形问题。

高一（下）学生学习余弦定理有一定的知识基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。

其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标知识与技能：1理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法：1通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

情感与态度：1在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。

三、学情分析对普高高一（下）的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量、正弦定理等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。

根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

四、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

五、教学用具普通教学工具、多媒体工具六、教学过程1.创设情景，提出问题•问题1余姚梁弄四明湖有一座湖心岛，湖心岛两旁有两座小岛A和小岛B, 现在要测量这两座小岛间的直线距离（如图1）•请想办法解决这个问题.设计意图：这是一个发生在我们身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容.2.构建模型，解决问题. 学生活动：可能提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；也有学生提出在湖面另一处选一点C,然后量出AC, BC的长度，再测出/ ACB.A ABC是确定的，就可以计算出AB的长. 问：上述两种方法中，哪一种方法更经济实惠且便于我们操作? 答：方法接下来，我们通过三种不同方法来板演一下. 解法1:（向量方法）如图3，因为AB =AC - C B ,2 2T2 T2T AC +CB +2AC CB cos(二-C), 即I AB h .,l AC |2 | BC |2 -2 | AC | | BC | cosC .解法2 :（建立直角坐标系）建立如图4所示的直角坐标系，则A （| AC | cosC, | AC | sinC）, B (I BC | , 0),根据两点间的距离公式，可得|AB|= . (| AC |cosC-|BC |)2(| AC |sinC -0)2,所以，| AB |= • | AC f—| BC |2匚2 | AC「| BC「cosC .解法3:(构造直角三角形) 如图2,过点A作垂线交BC于点D,贝U | AD | = | AC | sinC,| CD | = | AC | cosC, | BD | = | BC | - | CD | = | BC | - | AC | cosC, 所以，|AB|— |AD|2 | BD |2「| AC I2 |BC |2 -2| AC | | BC | cosC .活动评价：师生共同评价板演.3.追踪成果，提出猜想所以，AB (AC CB)ABC 中，a, b, c 是角A, B, C 的回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△对边长，则有c2=a2- b2-2abcosC成立.类似的还有其他等式,2 2 2 2 2 2a cb -2cbcosA , b =c a -2cacosB .正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理.问题2:刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯. 学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角 C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程.教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式•而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等.4.学以致用，拓展延伸.问题4:我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性. 同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形. 让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”.学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即2 2 2 2 2 2" b +c -a a +c —b小cos A, cosB ,cosC 二 2bc-思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？设计意图：让学生了解勾股定理是余弦定理的一种特例。

人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理

,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

高中数学 1.1.2 余弦定理2教案新人教A版必修5

《1.1.2余弦定理》教学设计一．教学内容分析本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。

本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析略了让同学们参与公式的推导建构过程。

这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。

导致学生还是无法接受新的知识。

华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。

才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。

不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。

四．设计思想本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。

通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。

五．教学目标知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度价值观：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

人教A版高中数学必修5教案1.1.2

1.1.2余弦定理（一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

【原创】人教A版高中数学必修五第一章1.1.2余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一．教学目标知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二．教学重点和难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

三．教学过程（一）知识回顾1.正弦定理：R cc B b A a 2sin sin sin === 2.运用正弦定理能解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形（二）提出问题已知三角形两边长和夹角求第三边的问题，即：在ABC ∆中已知AC=b ，AB=c 和A ，求a 。

（三）解决问题1．定理推导在ABC ∆中，设a BC b AC c AB ===,,，那么c b a -=，则c b a a -==，问题转化为已知：c c b b == ,和b 与c 的夹角A 且c b a -= 求a . A bc c b c b b b a a c b c b a a a cos 22)()(222-+=⋅-⋅+⋅=-⋅-=⋅=即：A bc c b a cos 2222-+=2．自主探究（1）、在ABC ∆中已知：C ,和b a 求c 。

（2）、在ABC ∆中已知：b B ,求和c a 。

3．归纳总结（1）余弦定理在ABC ∆中有：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=（2）定理描述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《1.1.2余弦定理》教学设计
永安一中江冰
一．教学内容分析
本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。

本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析
数学的公式定理课-------我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。

导致学生还是无法接受新的知识。

华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。

才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析
我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。

四．设计思想
本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。

五．教学目标
知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。