亥姆霍兹定理任意矢量场
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
亥姆霍兹定理
➢ 为什么讨论？ ➢ 稳态场与时变场的对比 ➢ 稳态场方程是麦克斯韦方程的特例
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
实验定律、 定义物理量
亥姆霍兹定理
F ?
F ? F A
库仑定律和电场强度
静电场的环路定理 高斯通量定理 电位函数 电位移矢量
媒质分界面上场量 的方程
分界面上的衔接条件
静电场的源 静电场的时间特性
研究思路、研究内容
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的源 ➢ 为什么讨论？ ➢ 场源的特点决定着场的性质
➢ 相对于观察者静止且量值不随时间变化的电 荷 产生静电场
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的时间特性 ➢ 静电场是稳态场，物理量仅是空间位置的函数， 与时间无关，即 • 0
边界条件 微分方程1
介质1
衔接条件 微分方程 2 介质2
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
定解条件 (边值问题)
静电场的边值问题 唯一性定理
分析解法
镜像法和电轴法
和电路参数的关系
电容和部分电容
能量
静电场的能量
本节要点
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理 — 研究电磁场的主线
F A
1 F(r)
(r)
dV
4 V rБайду номын сангаас r
1
A(r )
F(r) dV
4 V r r
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的意义—研究电磁场的主线 本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问题；
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV
亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界 条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是 亥姆霍兹定理的内容。
二、矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 调和场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处有： F 0和 F 0 则在该区域V内，场 F (r )为调和场。
已知
矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件
在电磁场中
电荷密度 电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
无源有旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某 些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该区域V 内，场 F (r )为无源有旋场。
有源有旋场
若矢量场F (r )在某区域V内，在某些位置或整个空间内，
有 F 0和 F J 0 ，则称在该区域V内，
场F (r )为有源有旋场。
注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
有源无旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某
些位置或整个空间内，有 F 0 ，则称在该区域V
内，场 F (r )为有源无旋场。
讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理
c F(r ) dl 0
结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源 无旋场也称保守场。
有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：
F (r ) F ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) J
F (r ) Fl (r ) F (r ) Fs (r ) J
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
电磁场与电波题库
一、填空题1.对于矢量A u v ，若A u v ＝xe u uv xA＋ye u u vyA＋ze u u vzA，则：y e u u v •xeu u v＝ 0 ；z e u u v•zeu u v＝ 1 ；ze u u v ⨯xeu u v＝yeu u v；x e u u v ⨯x e u u v＝ 0 。
2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为0()()()limsA r dS r divA r ττ→•=⎰V V Ñ；用哈密顿算子表示为A ∇•u v。
3. 哈密顿算子的表达式为∇＝ x e u u v x ∂∂＋y e u u v y ∂∂＋z e u u v z∂∂ ，其性质是 一阶矢性微分算子4. 在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ϖ和电场E ϖ满足的方程为：E D ϖϖε=.5．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B ϖ和磁场H ϖ满足的方程为： B=uH 。
6.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为0()()B r H r μ=，通常称它为真空的磁特性方程或本构关系。
7．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为 拉普拉斯 方程。
8．如果两个不等于零的矢量的 点积 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。
9. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 正 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 反比 。
10. D E ε=u v u vB H μ=uv u u v J Eσ=uv u v 。
11．在理想导体的表面， 电场 的切向分量等于零。
12. 矢量场)(r A ϖϖ穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：()Sd r A Sϖϖϖ⋅⎰。
13．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 0 。
14．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为静电场。
15．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 磁矢位A函数的旋度来表示。
(完整版)电磁场理论试题
《电磁场理论》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）1. 关于有限区域内的矢量场的亥姆霍兹定理，下列说法中正确的是 （A ）任意矢量场可以由其散度和旋度唯一地确定； （B ）任意矢量场可以由其散度和边界条件唯一地确定； （C ） 任意矢量场可以由其旋度和边界条件唯一地确定； （D ） 任意矢量场可以由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。
2. 谐变电磁场所满足的麦克斯韦方程组中，能反映“变化的电场产生磁场”和“变化的磁场产生电场” 这一物理思想的两个方程是 （B5关于高斯定理的理解有下面几种说法， 其中正确的是、选择题（每小题2分，共20 分）(A)H 0, E —(B ) H J E, E(C H J,E 0(D )H 0, E -3.—圆极化电磁波从媒质参数为分量不产生反射，入射角应为 3 r 1的介质斜入射到空气中，要使电场的平行极化（B ）(A) 15°(B ) 30°(C ) 45(D) 604.在电磁场与电磁波的理论中分析中，常引入矢量位函数A ，并令B A ，其依据是（C ）(A)B 0 ;(C ) B 0;(B)B J ；(D) B J电磁学》试卷 第 2 页 共 7 页(A) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零； (B) 如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷； (C) 如果高斯面内有净电荷，则通过该面的电通量必不为零； (D) 如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。
6．若在某区域已知电位移矢量 ( A)2( B ) 2D xe x( C )ye y ，则该区域的电何体密度为 ( B )2( D )27. 两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是( C )(A )线圈的尺寸(B ) 两个线圈的相对位置(C )线圈上的电流 (D )线圈中的介质8 . 以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是( B )(A )电场是无旋场 (B )电场和磁场相互激发(C)电场和磁场无关 (D )磁场是有源场9. 两个相互平行的导体平板构成一个电容器， 与电容无关的是10. 用镜像法求解静电场边值问题时， 判断镜像电荷设置是否正确的依据是 ( C )(A) 镜像电荷的位置是否与原电荷对称 (B) 镜像电荷是否与原电荷等值异号(C) 待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变 (D) 同时满足A 和B(A )导体板上的电荷(C )导体板的几何形状 (B) 平板间的介质(D) 两个导体板的相对位1 •电磁波在波导中传播的条件是波导管只能让频率 __________ 一特定值的电磁波通过，该特 定频率称为 _____________ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A A
0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A 0 则称 A 为无源场。
例子：
求 r r x xex y yey z zez
r x 3 x
求 r r3
1
r
x
x2
y
y y
z
z z
(
)
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
( )
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
ex
Az y
Ay z
ey
Ax z
Az x
ez
Ay x
Ax y
ex x
ey y
ez z
Ax Ay Az
1
例1：r =？
r
r
x
x2
y
y2
z
z2
2
解： r 1 1 2(x x) x x r y y , r z z
dl A
(
A)n
lim
S 0
L
S
A An n
定义 A 为矢量场的旋度，它在 S 法线方向上
的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在
空间某点上的环流特征。若空间各点 A 0 ，
则称 A为无旋场。
例子：
证明
r r3
=0
证
y
ex
x
ey
y
ez
z
注意：
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
Aຫໍສະໝຸດ ex x
ey
y
ez
z
ex A x ey A y ez A z
A x A y A z x y z
A
第零章第二节
矢量场论复习
德州学院重点建设课程
§2 矢量场论复习
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间 标量场 (x, y, z,t) (x,t)
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
矢量场的通量
面元 ds 的通量： d A ds
有限面积 S 的通量
闭合曲面的通量
S
A
ds
A dS s
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具
有局域性质，不能反映空间一点的情况。
高斯公式
矢量场的环量（环流）
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 A dl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
斯托克斯公式（定理）
A dl (A) dS
L
S
矢量场的旋度
当L无限小： dl A ( A) S ( A)n S L
Ads S
AdV
V
V
Ax x
Ay y
Az z
dxdydz
矢量场的散度
缩小到一点
A dS ( A)V
S
A dS
A lim S
V 0 V
A 0
z
z r3
z
y
y r3
y2
z
z2
2
r r3
x
x
x r3
y
y
r3
y
z
z z r3
(r 0)
3 r3
x
x
3 r4
x
r
x
y
y
3 r4
y
r
y
0
grad
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
，刻画了标量场的空间分布特征
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
等值面： (x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
三、矢量微分算子
ex x ey y ez z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
坐标的函数来描述： 矢量场 A(x, y, z,t) A(x,t)
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，
这是电动力学求解电磁场的主要方法。 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
证明 A A A
证：
A
x
Ax
y
Ay
z
Az
Ax x
Ay y
Az z
x
Ax
y
Ay
z
Az
A A
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
x 2 r
r y r z r
r
ex
x
r
x
ey
y r
y
ez
z z r
r r
r r r
例2： ( ) =？
解：
( )
x
x x
( ) ( )
y
在空间任意靠近两点函数 的全微分
d dx dy dz
x y z
d
ex
x
ey
y
ez
z
d
d
d dxex dyey dzez
d
d
el
cos
在空间某点的任意 方向上，导数有无 穷多个，其中有一 个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：