高考数学模拟试题四及答案
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷(4)
成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷（4）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．若1n x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ．563．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)4．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．BC ．6D ．5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．tan570°=（ ）A B ．C D 7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．458．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加11．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π12．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
湖南省常德市高2024届高三高考模拟数学试题及答案
常德市高2024届高三高考模拟试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|,}230A x mx m =->∈R ,其中2A ∈且1A ∉,则实数m 的取值范围是( )A.33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B.33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知复数πcos6z =+=( )3．平面向量a ,b 满足1b a b =⋅=,则a 在b 方向上的投影向量为( )A.12b - b C.b - D.b4. 将函数()cos 2fx x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象,若对满足()()122f x g x -=的1x ,x 12minx -==( )21(0)4y a +=>的焦距为2,则该椭圆的离心率为( )6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸7. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的第5项为（ ） A ．9- B ．7-C ．7-或1D ．9-或18.如图，已知M 为双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>上一动点，过M 作双曲线E 的切线交x 轴于点A ，过点A 作AD OM ⊥于点D ，22OD OM b ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ）B.2D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1z ，2z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A.若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数 B.若12z z +与12z z 均为实数，则12z z = C.若1z ，2z 均为纯虚数，则12z z 为实数 D.若12z z 为实数，则1z ，2z 均为纯虚数 10．已知非零函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,且()()22f x f x +=-,则()A.()10f =B.4是函数()f x 的一个周期C.()()11f x f x +=---D.()y f x =在区间[]0,2024上至少有1012个零点11．已知6ln m m a =+,6nn e a =+,其中n m e ≠,则n m e +的取值可以是( )A.eB.2eC.23eD.24e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．241(1)(2)x x x+-的展开式中常数项为__________． 13. 在公差为正数的等差数列{}n a 中，若13a =，3a ，6a ，832a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为___________.14．已知圆()22:21220C mx m y ax a +----=,若对于任意的a ∈R ,存在一条直线被圆C 所截得的弦长为定值n ,则m n +=__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足1sin sin cos cos A BA B-=.（1）求证：22A B π+=；（2）求222a b c+的最小值.16. （15分）如图1，菱形ABCD 2BD =,将其沿BD 折叠形成如图2所示的三棱锥A BCD -．（1）证明：三棱锥A BCD -中，BD AC ⊥;（2）当点A 在平面BCD 的投影为BCD △的重心时，求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值．17．（15221(0)y a b b+=>>的左顶点为A ,右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）设过点F 的直线l 与C 相交于M ,N 两点,直线l 的倾斜角为锐角.若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 与18．（17分）在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为：首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获利第四名,紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军决赛,胜者获得冠军,败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<,且不同对阵的结果相互独立. （1）若0.6p =,经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁; ①求甲获得第四名的概率;②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望;（2）除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．（17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =,那么在区间(,)a b 内至少存在一点m ,使得()0f m '=.(1)运用罗尔定理证明：若函数()f x 在区间[],a b 连续,在区间(,)a b 上可导,则存在0(,)x a b ∈,使得21,()12x g x x bx =-+,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数1x ,2x ,都有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立,求实数b 的取值范围.(3)证明：当1p >,n ≥11111[]1(1)p p p n n--<---.2024数学参考答案1. A2. C3. D4. A5. C6. C7. B8. B9. ABC 10． ABD 11. CD 12. 16 13. 165 14.1或115.（1）由1sin sin cos cos A B A B -=知，2A π≠即sin cos cos sin cos A B A B B +=，∴()sin cos sin 2A B B B π⎛⎫+==-⎪⎝⎭∴2A B B π+=-，即22A B π+=，得证.（2）由（1）知22A B π=-，2C B π=+∴()22222222222cos11cos cos 2sincos cos B Ba b B B c BB-+-++==∴2222224cos 55cos a b B c B +=+-≥当且仅当2cos 2B =时，222a b c +取最小值516. （1）记BD 的中点为E ，由菱形的性质，有AD AB =，CD CB =，所以AE BD ⊥，CE BD ⊥. 而AE 和CE 在平面ACE 内交于点E ，故BD 垂直于平面ACE . 又因为AC 在平面ACE 内，所以BD AC ⊥.（2）设BCD △的重心为点G ，则AG 垂直于平面BCD .这表明直线AC 与平面BCD 所成角等于ACG ∠，故所求正弦值即为sin ACG ∠的值.由于2CE ==，2AE =，故2433CG CE ===，42233EG CE CG =-=-=.从而3AG ===，故sin AGACH AC∠=====.所以直线AC 与平面BCD所成角的正弦值是3. 17．（1）由题意知a c +=, 得22223a ac c b ++=,由222a b c =+, 得2222233a ac c a c ++=-,化简得2a c =,所以b =,又因为椭圆过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,2914b =, 29112c +=,解得1c =.所以2a =,b =213y =. （2）设直线l 的方程为1x my =+,()0m >. 由点31,2P ⎛ ⎝=2=. 联立2221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2161290y y +-=.设()11,M x y ,()22,N x y ,则12y y +=12y y =所以直线PM 与直线PN 的斜率的和为1212121212123333322221011224y y y y y y x x y y y y ----++=+=-⋅=--, 18．（1）①记“甲获得第四名”为事件A ,则()()210.60.16P A =-=; ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X , 则X 的所有可能取值为2,3,4,连败两局：()()2210.60.16P X ==-=,3X =可以分为：连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负;()()()()()230.610.60.610.60.610.610.60.552P X ==+-⨯⨯-+⨯-⨯-=, ()()()410.60.60.60.610.60.60.288P X ==-⨯⨯+⨯-⨯=;故X 的分布列如下：故数学期望()20.1630.55240.288 3.128E X =⨯+⨯+⨯=;（2）“双败淘汰制”下,甲获胜的概率()()()32331132P p p p p p p p p =+-+-=-,在“单败淘汰制”下,甲获胜的概率为2p ,由()()()()3222232321211p p p p p p p p p --=--=--,且01p <<所以1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()3232p p p ->,“双败淘汰制”对甲夺冠有利;10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()3232p p p -<,“单败淘汰制”对甲夺冠有利;()bt f a at =-,令函数()()F x f x tx =-,则()()F a F b =,()()F x f x t ''=-,显然()F x 在[],a b 上连续,且在(,)a b 上可导,由罗尔定理,存在0(,)x a b ∈,使得0()0F x '=, 即0)(0f x t '-=,所以0()f x '=（2）依题意,()ln 1,()f x x g x x b ''=+=-, 不妨令12x x >,则12121212()()()()||||f x f x g x g x x x x x -->--恒成立,由（1）得|()||()|f x g x ''>,(1,2)x ∈,于是ln 1||x x b +>-,即1ln ln 1x b x x --<-<+, 因此ln 1ln 1x x b x x --<<++,令()ln 1(12)x x x x ϕ=--<<, 求导得1()0x x xϕ-'=>,函数()x ϕ在(1,2)上单调递增,则0()1ln 2x ϕ<<-, 而函数ln 1y x x =++在(1,2)上单调递增,其值域为(2,3ln 2)+, 则1ln 22b -≤≤,所以实数b 的取值范围是1ln 22b -≤≤.（3）令函数1()p h x x -=,[1,]x n n ∈-,显然函数()h x 在(1,)n n -上可导, 由（1）,存在(1,)c n n ∈-,使得()h c '=又()(1)p h x p x -'=-⋅11()(1)pp h c p c n--'-=-=-,1111[](1)p p n n ---=-1n c n ≤-<<,1p >,则p c n <>11111[]1(1)p p p n n--<---.。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。