地图数学模型原理_结课作业

大学研究生结课作业地图数学模型原理与分析院（系）名称：资源与环境科学学院专业名称：土地资源管理学生：坤学生学号：03指导教师：何宗宜二○一五年六月一、在空间数据库中,把大比例尺图形数据缩编成小比例尺,图形数据是按要素分层的,各要素应采用什么模型确定选取指标?答：地图缩编通常会将图形数据按要素分层，如居民地、河流、道路等图层，各种要素选取指标的确定通常又有多种模型可以选择，下面采用一元回归数学模型说明居民地和河流的指标选取过程。

1.居民地选取指标模型确定居民地选取指标的模型包括一元回归模型、多元回归模型、图解计算法、开方根规律模型等，下面采用一元回归模型为例进行说明；（1）根据地图制图综合原理，资料图上居民地密度越大，新编图上居民地选取程度（选取百分比）越低。

居民地选取程度与居民地密度之间存在着相关关系，依据这种相关关系可建立二者之间的回归模型。

相关关系可用幂函数来表示：y=ax^b，其中a，b是待定参数。

例如根据某制图区域1:20万地形图上量测的样品数据可得居民地选取程度数学模型为y=7.47x^(-0.65)，有了居民地选取程度模型，只要知道资料图居民地密度，就可以计算出新编地图居民地的选取程度（或选取数量）。

同理可对全国围已成的各种比例尺地形图作了大量的实际观测，建立相应的居民地选取指标模型；（2）在实际地图制图数据处理中，常常是以与之比例尺相差不远的地形图作为资料图。

考虑实际需要，通过数据分析处理，可得到相应的数学模型如下图所示：图（1-1）2.河流选取指标模型（1）确定河流选取指标模型主要有一元回归模型、多元回归模型、方根模型等。

实施地图综合时，应根据具体情况，选择合适的模型，下面以一元回归模型进行说明；，其中（2）河网密度是确定河流选取指标（标准）的基本依据。

河网密度系数K=LPL是河流的总长度，P是河流的流域面积，根据自然界的规律，河网越密该区域小河流就越，其中n是河流条数。

多，即河网密度系数K和单位面积的河流条数n0有相关关系：n0=np依据河网密度系数K和单位面积的河流条数n0的相关关系，可建立河网密度系数K的数学模型。

根据样本数据的实验结果，可用幂函数建立河网密度的数学模型：K=an0b，a和b 是待定参数；（3）我国多年来的编图实践，使得不同密度的地区河流选取形成一套惯用的标准，如下图：图（1-2）二、在空间数据库中,把大比例尺图形数据缩成编小比例尺,图形数据是按要素分层的,各要素应采用什么模型确定具体的选取?答：地图缩编通常会将图形数据按要素分层，如居民地、河流、道路、地貌等图层，各种要素具体的选取通常由各自的模型来决定，下面以河流和地貌为例阐述要素的具体选取过程。

1.河流结构选取模型（1）河流结构选取数学模型分为“等比数列法”、“模糊数学模型”和“图论模型”三种，下面以“模糊数学模型”为例进行说明；（2）河流模糊数学模型的实施过程包括以下五个方面：●地图上河流选取主要考虑河流的长度、河流的密度（间距），以及河流在人文、地理位置上的重要性和河网类型等。

因此，地图上对河流选取的因素集合为U={u1（河流长度），u2（河流间距），u3（河流的重要性），u4（河网类型）}●河流选取的评判集：在地图制图综合中，对河流只有选取或舍去，故河流选取的评判集为V={v1（选取），v2（舍去）}●影响河流选取的四个因素中，它们所起的作用并不相等，所以要对这些因素分配不同的权重。

根据专家评定和统计分析得Ǎ= （0.35，0.30，0.20，0.15）●模糊综合评判矩阵：为了得到模糊综合评判矩阵，必须首先确定各因素对选取河流的隶属度：①河流长度对其选取的隶属度的确定根据等比数列选取表，当河流长为Li时，资料图上河流间隔为di时，利用回归分析方法，可求出选取时所需的河流间隔C。

这个C值是河流选取和舍去的临界值，隶属度为0.5。

因此，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1]2sin[21210)(~D C L A πμ )2()20()0(C D C D D ≥<<= 式（2-1）式1中，D 为河流选取时与已取河流间隔值。

②河流间隔对其选取的隶属度的确定在制图综合中，河流间隔越小，选取河流的长度越长；因此，利用回归分析可求出河流长度S 和河流间隔d 之间相关关系。

同样，S 值是河流选取与舍去的临界值，隶属度为0.5。

所以有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1)2/()21(0)(11~L S L L D A μ )2()2()(1111L S L L S L L L L -≥-<<= 式（2-2）式2中，L1是选取的最短河流长度，L 为河流长度。

③河流在人文、地理位置上重要性对河流选取隶属度的确定河流在人文、地理位置上重要性对河流选取的作用是比较复杂的模糊概念，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（如表1所示）表（2-1）④河网类型对河流选取隶属度的确定河网类型对河流选取的作用也是比较复杂的模糊概念，同样，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（如表2所示）表（2-2）模糊综合评判结果集：根据模糊综合评判矩阵R̃和因素权重集A ̃ ，通过模糊变换可得到评判结果式（2-3）),()(1)()(1)()(1)()(1)()15.0,20.0,30.0,35.0(~~~21~~~~~~~~b b C C I I D D L L R A B A A A A A A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==μμμμμμμμ根据最大隶属原则，如果b1>b2，该河流选取，如果b1<b2，该河流舍去。

为防止出现b1=b2的情况，要采用清晰大的模糊算子。

2．地貌结构选取模型●地貌结构选取模型基本原理：在地貌综合时，谷地长且间距大的地区，谷地选取可能性大；谷地短且间距小的地区，谷地选取可能性小。

当谷地长度很大时，不考虑谷间距的大小；当谷间距特别大时，也不考虑谷地长度。

但对于切割破碎为特征的地区（例如，风蚀地形、劣地等）。

谷地虽然都比较小而且密度大，那么选取的比例也应大一些。

因此，谷地选取表中除正常使用的部分之外，还要增加一部分在特殊情况下使用的辅表。

●地貌结构选取数学模型：（1）谷地长度分级数列Ai的确定地图上能表达的最短谷地为0.5mm左右。

因此，通常把长度在1mm以下的谷地称为小谷地，即A1=1mm ，把长度在5mm以上的谷地称为大谷地，即An=5mm 由于，A1与An之间数值围很小，因此，按等差分级，即A2=3 mm，可将谷地分为“<1”，“1—3”，“3—5”，“>5”总共4级（单位mm）；（2）谷间距（谷地密度）分级数列B j的确定地图上可以表达的最小谷间距为0.5mm，所以B1=0.5mm，取ρ=1.6，根据前面公式有B2= B1ρ=0.5×1.6=0.8mm，B3=1.3mm ，B4=2.0mm，B5=3.3mm ，B6=5.2mm，B7=8.4mm。

其中，1.3mm是正常情况下两条谷间距的最小间隔。

当谷间距>8.4mm时，2cm已不到3条谷地，只要能清晰表达的谷地都可以选取。

（3）选取表的构成地貌谷地选取表分成两个基本部分，即一般地区适用的部分和特别破碎地区适用的部分，这两部分是连续的。

从破碎地区到一般地区可以逐渐过渡，即两个部分应有机地结合起来。

其结合部的右则为主表，适用于一般地区；左则为辅表，适用于特别破碎地区。

（4）选取数列C lk的确定辅表是为破碎地区而设置的，选取标准相应低一些，以相邻等级的间隔平均值之差的一半作为级差逐步降低。

根据上述计算结果，组成地貌等高线表示的谷地选取模型●利用谷地选取模型，根据谷地的长度和谷间距就可确定谷地的取舍。

当谷地长>5mm时选取，谷地长<0.5mm 时舍去；当谷地长在0.5mm—5mm之间时，只要知道谷地确切的长度值和它与两侧谷地的平均间隔就能确定是否选取。

选取谷地时，要按由大到小的原则。

三、确定河流选取程度的数学模型为：22101b b x x b y =式中，y 为河流选取程度，x1为资料图上单位面积河流条数，x2为资料图上单位面积河流长度（河网密度），b0、b1、b2为待定参数。

试分析b0、b1、b2意义和取值围。

答：以往确定河流的选取标准（指标）时，通常是根据地区的河网密度。

事实上，河流的选取不但与单位面积河流的长度（河网密度）有关，还应与单位面积河流的条数有关。

因此，确定河流选取程度的数学模型为21210bb x x b y = （3-1） 式中， 为河流选取程度， 为资料图上单位面积河流条数， 为资料图上单位面积河流长度（河网密度），b0、b1、b2为待定参数。

设 为单位面积河流选取的条数,则有：111x y y =(3-2) 把(3-2)式代入(3-1)式有：212101b b x x b y += (3-3)下面对参数b0、b1、b2的性质进行讨论。

（1）参数b0在模型公式中3-1中，当b1、 b2、1x 、2x 为常数时，选取程度y 随b0增大而增加，这时b0决定着选取的总程度（水平）。

当b0=0时， =0，河流全部舍去；因此b0≥0（2）参数b1在模型公式中3-1中，当b0、 b2、2x 为常数时，b1一定，由不同的1x 能得到不同的y 。

这时b1决定着不同河流密度的河流选取程度。

显然，b1不能为正值。

如果b1>0，选取程度y 将随着1x 增加而增大，也就是说河流密度越大，选取程度越大，这是违背地图制图综合原理的。

当然，b1也不能小于-1。

若b1<-1，那么由公式(3-3)可以看出，河流密度越大的区域，河流选取数量反而越少，这也是违背地图制图综合原理的。

所以：-1≤b1≤0（3）参数b2在模型公式3-1中，如果b0、b1、1x 不变，b2一定，2x 越大则y 相应增大。

2x 决定不同河流密度的河流选取程度。

如果b2<0，河流密度越大的区域，河流选取程度反而小，这是违背地图制图综合原理的。

所以b2≥0四、以数据的分布特征进行分级的方法有哪几种模型？各适应什么情况？ 答：地图制图的空间要素分级主要有以下七种分级模型：1 等差分级模型等差分级又包括界限等差分级模型和间隔递增等差分级模型。

适应围：数量间隔趋向呈等差排列，可采用等差分级模型。

例如对统计地图的分级一般采用的就是等差分级模型。

2 等比分级模型等比分级分为界限等比分级模型和间隔等比分级模型。

适应围：数量间隔趋向呈等比排列，通常较多运用等比分级方案，如地貌结构选取模型、河流结构选取的数学模型等主要运用这种模型。

3 统计分级模型包括面积相等分级模型、正态分布分级模型及其它分布分级模型。

适应围：由于分级界线的确定是以一些统计量为基础的，所以这类分级模型能较好地反映数据的分布特征。