第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理 (1)
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
F F ( L , X x) F ( L, X 0 ) A Bx
2018/11/9 17
~ 条件平差法： F (L ) F ( L) rA O r ,1 r ,1 , n n ,1 r ,1
sin L2 S 2 S1 sin L1
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第二节 函数模型
在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型， 一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而 得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表 或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它 的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者 称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
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差法。
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由图知
方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测 ~ 值，选择t个独立量作为平差参数 X ，则每个观测量必定可 t ,1 以表达成这个t个参数的函数，即有 ~ ~ L F(X ) n ,1
如果这种表达式是线性的，一般为 ~ ~ L B X d n ,1 n ,t t ,1 n ,1 例如
0
F L
~ L, X 0
F1 L2 F2 L2 Fn L2
~ ~ ~
F X
~ L, X 0
x
F1 X2 F2 X2 Fn X2
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差第四章平差数学模型与最小二乘原理
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL BX 0 A0 4、 附有限制条件的间接平差法
~
L F(X)
n,1
u ,1
~
(X ) 0
s,1 u,1
Bx l Cx Wx 0
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares
2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。
3）三维GPS控制网 网中元素：已知点，未知点，基线向量。
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据
①水准网（三角高程网）： ②测角网： ③测边网和边角网：
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据
~
L F(X)
n,1
u ,1
~
(X ) 0
s,1 u,1
线性方程情况下
L% BX% d
CX%
Wx
0
§4.3 函数模型线性化 Linearization of Functional Model
四种平差方法的一般形式分别为 条件平差法：
Fi (L) 0 (i 1,2,,r) n t r
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么 如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。
Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares
平差数学模型与最小二乘原理
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理(4.1-4.3)
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
一、几何模型的必要观测、多余观测 3 ．必要观测 γ ♣确定平面三角形的形状 观测三个内角的任意两个即可。 α ♣确定平面三角形的形状与大小 必须有选择地观测三个元 素，其中至少有一条边。如，任 意2个角度+1个边、2个边+1个角 度、三个边。
h2 − h3 − h4 = w ≠ 0
h6 + h4 − h5 = w ≠ 0
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
二、测量平差 1. 条件方程 一个几何模型若进行多余观测，则每增加一 个多余观测，就必然增加且只增加一个确定的函 数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个 这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中 称为条件方程。 条件方程 2. 闭合差：以观测值代入条件方程，由于存 闭合差 在观测误差，条件式将不能满足。测量平差中将 观测值代入后所得值称为闭合差。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。 可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形 成r 个条件。 n=3 t =2 r =n−t =1
γ
~ ~ ~ α + β + γ ≠ 180 α + β + γ = 180 ο 实际上：
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
3．必要观测 （1）必要观测个数t 只与几何模型有关，与 实际观测量无关。 （2）必要元素不仅要考虑其个数，并且还 要考虑类型。 （3）一个几何模型的必要观测元素之间是 不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一 函数关系 个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素 的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数 独立量，简称独立量。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
平差数学模型与最小二乘原理电子教案
2平差数学模型与最小二乘原理2.1 参数估计及其最优性质几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。
这些元素都被称为几何量。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。
几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。
1.如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。
它们都是同一类型的元素。
2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。
它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。
3.要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。
如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。
必要观测个数用t表示。
例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。
对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。
必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。
观测值个数用n个表示。
当n <t 时,显然无法确定模型的解；当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。
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第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 下： 在不同时刻
的位置是
y ，函数如
y
测定质点位置，得一组观测值
y1 , y2 .... yn
1 , 2 .... n
由运动方程可得： v y i i i 或 用图解表示如图： V B X Y
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？ 此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形成r个条件。
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的性质
必要元素的个数t只取决于模型本身 所有的必要元素都是彼此函数独立的量 模型中所有的量都是必要元素的函数 一个模型中函数独立的量有且只有t个 模型中作为必要元素的“量”不是唯一 的
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章 平差数学模型与 最小二乘平差原理
§4-1 测量平差概述 §4-2 函数模型 §4-3 函数模型的线性化 §4-4 测量平差的数学模型
§4-5 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
几何模型中包含多种“量”(真值)， 例：
(1) 角度：三个内角∠A、∠B、∠C (2) 边长：三条边长a、b、c
ˆ W 0 AV B x
cu u1 c1
c1
2 2 1 D 0 Q 0 P
2 2 1 D 0 Q 0 P
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-5 最小二乘原理
参数估计及其最优性质： 无偏、一致、有效
最小二乘原理
V V min
T T
V PV min
一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平 n
V TV min
V T PV min
满足上式的估计称为最小二乘估计二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
内容小结
必要元素 平差问题存在的条件 平差模型 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
条件平差
间接平差
A V W 0
r 1
r n n1
r 1
2 2 1 D 0 Q 0 P 2 2 1 D 0 Q 0 P
ˆ l V B x
n1 nt t 1
n1
附有参数的条件平差 cn n1 附有条件的间接平差
以平面三角形为
(3) 高：三边上的高ha、hb、hc
(4) 坐标：三点的平面坐标
Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc； (5) 方位角：TAB ；TBC ；TCA (6) 坐标差：ΔXAB ，ΔYAB ；……
(7) 面积、周长……
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”
y
y
yi
o
i
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
写成矩阵：
间接平差函数模型
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘出的点不成直线 。 采用什么准则对参数
和
进行估计，从而使估计直线
最佳地拟合于观测点？
2 V 方和达到最小，即： i min i 1
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素) (2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素) (3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一、 参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差 为例： A W 0 条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程 多解。其它模型同。
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。