第4章间接平差原理
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间接平差
x 2 ( X 1 x1 )
0 2
0
v4 ( X
0
x2) H
A
B
x 1 ( h1 X 1 H
)
0 2 0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) X1 )
B 0
0
x1 x 2 (h2 X
x 2 (h4 X
0
A 0
x 2 ( X 1 x1)
x2 H
C
v4 X 1 x1 H
0
B
B
x 1 ( h1 X 1 H
A
)
0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) ) )
0
x 2 ( h3 X
0 2 0
H
C
x1 (h4 X 1 H
B
v3 X
2
H
2
A
v4 X
H
B
v5 X 1 X
2
v6 X 1 X
2
v 1 v2 v3 v 4 v 5 v6
X 1 H
A
h1
B
X 1 H
h2
X
2
0
X 1 H
h1
B
140 x 1
X
2
X
0 2
x2
X 1 H
h2
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
第四章-间接平差
X~1 X~ 2
L~2 L~3
,
X~ 1 X~ 2
L~2 L~2
,
X~ 1 X~ 2
L~4 L~6
,
2020/1/3
20
§4-2 误差方程
等因，为X综它~1上们 所X都~2述是，函采数BA用独C间立。接的平。差但，不应能该选选取定X~刚1 好L~t2个, X~而2 又 L~4,
Z ，则
的协因数阵为 QLL
QZZ
QXˆL QQVLˆLL
QLXˆ Q XˆXˆ QVXˆ QLˆXˆ
QLV Q XˆV QVV QLˆV
QLLˆ Q XˆLˆ
QVLˆ QLˆLˆ
式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非 对角线上为两向量的互协因数阵。
Error Theory and Fundation of Surveying Adjustment
主讲：喻铮铮 单位：许昌学院城市与环境学院
2020/1/3
1
第一章 绪论
第二章 误差理论基础
内
第三章 平差数学模型与最小二乘原理
容
第四章 间接平差
第五章 条件平差
提
第六章 附有参数的条件平差
要
第七章 附有约束条件的间接平差 第八章 参数加权平差和分组平差
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
V T PV Bxˆ lT PV xˆT BT PV lT PV ,
顾及式BTPV=0
V T PV lT PBxˆ l lT Pl lT PBxˆ
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
间接平差原理
函数非线性要将其线性化，列出误差方程。
3、由误差方程系数B和自由项组成法方程。 4、解算法方程，求
ˆ x
，计算参数的平差值
0 ˆ ˆ。 X X x
5、由误差方程计算V，求出观测量平差值 L L V
。
ˆ L V 和 ，进而求出 L
。
一、间接平差一般原理
则有：
T ˆ ˆ l ) min ( Bx l ) P( Bx
按数学上求函数自由极值的方法，得
V PV V T 2V P V T PB 0 ˆ ˆ x x
T
转置后得：
则有：
间接平差的基础方程
解此基础方程，有：
可得
即：
一般地，间接平差的函数模型为
（4-1-1）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都 取近似值，令 代入（4-1-1）式，并令
由此可得误差方程
3、间接平差的随机模型
4、平差准则
V PV min
T
5、间接平差的目的
求解极值条件方程组： 和
，得到
0 ˆ ˆ X X x
V
ˆ x
第4章 间接平差
§4-1 间接平差原理
知识回顾：
1、间接平差法（参数平差法）：是通过选定t个与观测值
有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别
表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，
用求函数极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观 测值的平差值。
2、间接平差法的误差方程 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测 值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选 取两个内角的最或然值作为参数 X ˆ 、X ˆ ，则可以建立参数 1 2 与观测值之间的函数关系式
测量平差基础课件——间接平差原理
令： Xˆ X 0 xˆ
l L (BX 0 d ) L L0
则有： V Bxˆ l
一、间接平差原理
设有n个观测值L ，必要观测个数为t,
选定t个独立参数 Xˆ 近似值取为X 0，有
Xˆ X 0 xˆ
L LV
平差值方程为：
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X t di
P 0 0
1 0
0 1
0 0
2
0 0 0 2
6
第一节 间接平差原理
3.组成法方程
Nbb
BT PB
5 1
1
2
W
BT Pl
11 7
5 1
1
2
xˆ1 xˆ2
11 7
0
4.解算法方程
Xˆ 1
Xˆ 2
观测值 平差值
V Bxˆ l [1.7,2.7,2.7,0.3] xˆ1
令：L n,1
L1
L2 Ln T
a1 b1 t1
V
n,1
V1
V2 Vn T
B a2
b2
t
2
Xˆ
t ,1
Xˆ 1
d
n,1
d1
Xˆ 2 Xˆ t T n,t
d 2 d n T
an
bn
t
n
L V BXˆ d
3
第一节 间接平差原理
L V BXˆ d
xˆ
2
5 1
1 1
2
11 7
1 9
2 1
5.求改正数
1 11 1.7 5 7 2.7(mm)
T
hhˆˆ12 hhˆˆ43
h1 h2 hh43
误差理论与测量平差基础间接平差.pptx
2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第5页/共48页
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
第15页/共48页
例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
第17页/共48页
（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
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3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
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例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
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（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
第4章间接平差原理
第四章 间接平差
第一节 间接平差原理
ˆ 间接平差法（参数平差法）是通过选定 v1 = x1 − ( L1 − X 10 ) 间接平差法（参数平差法） t个独立未知量作为参数，将每个观 v2 = x2 − ( L2 − X 20 ) 个独立未知量作为参数， ˆ 测值分别表达成这t个参数的函数， 测值分别表达成这t个参数的函数， v3 = − x1 − x2 − ( L3 + X 10 + X 20 − 180) ˆ ˆ 建立函数模型，按最小二乘原理， 建立函数模型，按最小二乘原理， T 用求自由极值的方法解出参数的最 要求 V PV = min X1 或然值， 或然值，从而求得各观测值的平差 值。
− ˆ x = N bb1W
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
5.求观测值改正数 5.求观测值改正数
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
ˆ V = Bx − l
6.求平差值 6.求平差值
L = L +V,
∧
ˆ V = Bx − l
3.组成法方程 3.组成法方程
3
第四章 间接平差
第一节
二、计算步骤 1.确定t,选 个独立量为参数X. 1.确定t,选t个独立量为参数X. 确定t, 2.列立误差方程 2.列立误差方程 ˆ L + V = BX + d 或
ˆ 或L + V = f ( X )
间接平差原理
4.解算法方程 4.解算法方程,求参数的改正数 解算法方程,
平差值
ˆ ˆ X = X0 + x ∧ L = L +V
∧ ∧
平差值方程为： 平差值方程为： 令：nL1 = [L1 ,
第一节 间接平差原理
ˆ 间接平差法（参数平差法）是通过选定 v1 = x1 − ( L1 − X 10 ) 间接平差法（参数平差法） t个独立未知量作为参数，将每个观 v2 = x2 − ( L2 − X 20 ) 个独立未知量作为参数， ˆ 测值分别表达成这t个参数的函数， 测值分别表达成这t个参数的函数， v3 = − x1 − x2 − ( L3 + X 10 + X 20 − 180) ˆ ˆ 建立函数模型，按最小二乘原理， 建立函数模型，按最小二乘原理， T 用求自由极值的方法解出参数的最 要求 V PV = min X1 或然值， 或然值，从而求得各观测值的平差 值。
− ˆ x = N bb1W
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
5.求观测值改正数 5.求观测值改正数
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
ˆ V = Bx − l
6.求平差值 6.求平差值
L = L +V,
∧
ˆ V = Bx − l
3.组成法方程 3.组成法方程
3
第四章 间接平差
第一节
二、计算步骤 1.确定t,选 个独立量为参数X. 1.确定t,选t个独立量为参数X. 确定t, 2.列立误差方程 2.列立误差方程 ˆ L + V = BX + d 或
ˆ 或L + V = f ( X )
间接平差原理
4.解算法方程 4.解算法方程,求参数的改正数 解算法方程,
平差值
ˆ ˆ X = X0 + x ∧ L = L +V
∧ ∧
平差值方程为： 平差值方程为： 令：nL1 = [L1 ,
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令： 误差方程 则有： 则有：
ˆ B T PBx − B T Pl = 0
N bb = B T PB, W = B T Pl
t ,t t ,1
则上式变为： 则上式变为：
ˆ V = Bx − l
要求： V T PV = min 要求： 令： 则有： 则有：
ˆ N bb x − W = 0
法方程
法方程的解： 法方程的解： − ˆ x = N bb1W
平差值
ˆ ˆ X = X0 + x ∧ L = L +V
∧ ∧
平差值方程为： 平差值方程为： 令：nL1 = [L1 ,
V = [V1
n ,1
一般地：设有n个观测值 一般地：设有n ∧ ˆ L = B X+ d
n, 1 n, t t , 1 n, 1
Li + vi = ai X 1 + bi X 2 + L + t i X t + d i
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
∧
对自变量X求导，令一阶导数为0 对自变量X求导，令一阶导数为0，即： 或
∂V T PV ∂V = 2V T P = V T PB = 0 ˆ ˆ ∂x ∂x
观测值和参数的平差值： 观测值和参数的平差值：
L = L +V, ˆ ˆ X = X0 + x
− ˆ x = N bb1W
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
5.求观测值改正数 5.求观测值改正数
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
ˆ V = Bx − l
6.求平差值 6.求平差值
L = L +V,
∧
ˆ V = Bx − l
3.组成法方程 3.组成法方程
第四章 间接平差
第一节 间接平差原理
ˆ 间接平差法（参数平差法）是通过选定 v1 = x1 − ( L1 − X 10 ) 间接平差法（参数平差法） t个独立未知量作为参数，将每个观 v2 = x2 − ( L2 − X 20 ) 个独立未知量作为参数， ˆ 测值分别表达成这t个参数的函数， 测值分别表达成这t个参数的函数， v3 = − x1 − x2 − ( L3 + X 10 + X 20 − 180) ˆ ˆ 建立函数模型，按最小二乘原理， 建立函数模型，按最小二乘原理， T 用求自由极值的方法解出参数的最 要求 V PV = min X1 或然值， 或然值，从而求得各观测值的平差 值。
3
第四章 间接平差
第一节
二、计算步骤 1.确定t,选 个独立量为参数X. 1.确定t,选t个独立量为参数X. 确定t, 2.列立误差方程 2.列立误差方程 ˆ L + V = BX + d 或
ˆ 或L + V = f ( X )
间接平差原理
4.解算法方程 4.解算法方程,求参数的改正数 解算法方程,
2011-9-23
ˆ ˆ ˆ ˆ [vv] = ( X 1 − L1 ) 2 + ( X 2 − L2 ) 2 + (− X 1 − X 2 + 180 − L3 ) 2 = min
∂[vv] ˆ ˆ ˆ = 2( X 1 − L1 ) − 2(180 − X 1 − X 2 − L3 ) = 0 ˆ ∂X 1 ∂[vv] ˆ − L ) − 2(180 − X − X − L ) = 0 ˆ ˆ = 2( X 2 2 1 2 3 ˆ ∂X 2 ˆ ˆ 2 X 1 + X 2 − 180 − L1 + L3 = 0 (1) ⇒ ˆ ˆ 基础方程 X 1 + 2 X 2 − 180 − L2 + L3 = 0 (2) ˆ (2) × 2 − (1) ⇒ 3 X − 180 + L − 2 L + L = 0
T
−1
间接平差原理
ˆ X1
ˆ X2
4.解算法方程 4.解算法方程
观测值 平差值
ˆ x1 5 − 1 11 1 2 1 11 1.7 x = − 1 2 ⋅ − 7 = 9 ⋅ 1 5 ⋅ − 7 = − 2.7 ( mm) ˆ2 ˆ h1 h1 v1 1.003 1.0047 1.7 ˆ h2 = h2 + v 2 = 0.501 (m) + 2.7 ( mm) = 0.5037 (m) ˆ h h3 v3 0.503 0.5003 − 2.7 5.求改正数 5.求改正数 3 ˆ h4 h4 v 4 0.505 0.5047 − 0.3 T
L t1 L t2 L L L tn
ˆ L + V = BX + d
2011-9-23 2
第四章 间接平差
第一节
ˆ L + V = BX + d
间接平差原理
将基础方程第一式代入第二式，得： 将基础方程第一式代入第二式，
令：
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
6
第四章 间接平差
第二节
一、参数个数的确定 参数的个数等于必要观测个数。 参数的个数等于必要观测个数。
误差方程的列立
二、参数的选取
可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 水准网：有已知点：等于待定点个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 无已知点：待定点数减1 无已知点：待定点数减1。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 测角网：有四个必要的起算数据， 测角网：有四个必要的起算数据，等于 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 倍待定点数。 2倍待定点数。 三、误差方程的列立 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 方法： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 倍总点数减4 2倍总点数减4。 水准网和GPS网一般是线性的 网一般是线性的， 测边网、边角网、导线网：有四个必要 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 测边网、边角网、导线网： 的起算数据，等于2倍待定点数。 的起算数据，等于2倍待定点数。 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数： 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 ˆ ˆ Y − YD Y − YD 倍总点数减3 ˆ 2倍总点数减3。 ˆ ˆ L1 = α DB − α DA = arctan B − arctan A
B T PV = 0
P为对角阵 基础方程
ˆ V = Bx − l B T PV = 0
2011-9-23
ˆ ˆ ˆ [ paa ]x1 + [ pab]x 2 + L + [ pat ] xt = [ pal ] ˆ ˆ ˆ [ pab] x1 + [ pbb]x 2 + L + [ pbt ]xt = [ pbl ] LLLLLLL ˆ ˆ ˆ [ pat ] x1 + [ pbt ]x 2 + L + [ ptt ] xt = [ ptl ]
0 − 7 l= 0 2
ˆ v 4 = x1 − (h4 − X 10 + H B )
2011-9-23
2 0 P= 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2
第四章 间接平差
第一节
3.组成法方程 3.组成法方程
5 − 1 N bb = B PB = − 1 2 11 W = BT Pl = − 7 ˆ 5 − 1 x1 11 ⋅ − = 0 − 1 2 x ˆ2 − 7
ˆ XB − XD
2011-9-23
ˆ XA − XD
7
第四章 间接平差
第二节 误差方程的列立
二、参数的选取 可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三、误差方程的列立 再如下图的测边网： 再如下图的测边网： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 方法： 水准网和GPS网一般是线性的 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 网一般是线性的， 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数：
ˆ V = Bx − l = [1.7,2.7,−2.7,−0.3]
参数平差值
6.求平差值 6.求平差值
2011-9-23
ˆ ˆ X 1 X 10 x1 12.003 1 .7 12.0047 = 0 + = ˆ (m) + − 2.7 (mm) = 12.5083 ( m) ˆ X 2 X 2 x 2 12.511
0 ˆ 选定t 选定t个独立参数 X 近似值取为 X ，有
2 1 1 ˆ L1 = X 1 = + L1 − L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 2 1 ˆ L 2 = X 2 = − L1 + L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 1 2 L 3 = − L1 − L2 + L3 + 60 观测值 3 3 3
ˆ B T PBx − B T Pl = 0
N bb = B T PB, W = B T Pl
t ,t t ,1
则上式变为： 则上式变为：
ˆ V = Bx − l
要求： V T PV = min 要求： 令： 则有： 则有：
ˆ N bb x − W = 0
法方程
法方程的解： 法方程的解： − ˆ x = N bb1W
平差值
ˆ ˆ X = X0 + x ∧ L = L +V
∧ ∧
平差值方程为： 平差值方程为： 令：nL1 = [L1 ,
V = [V1
n ,1
一般地：设有n个观测值 一般地：设有n ∧ ˆ L = B X+ d
n, 1 n, t t , 1 n, 1
Li + vi = ai X 1 + bi X 2 + L + t i X t + d i
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
∧
对自变量X求导，令一阶导数为0 对自变量X求导，令一阶导数为0，即： 或
∂V T PV ∂V = 2V T P = V T PB = 0 ˆ ˆ ∂x ∂x
观测值和参数的平差值： 观测值和参数的平差值：
L = L +V, ˆ ˆ X = X0 + x
− ˆ x = N bb1W
ˆ x = ( B T PB ) −1 B T Pl
5.求观测值改正数 5.求观测值改正数
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
ˆ V = Bx − l
6.求平差值 6.求平差值
L = L +V,
∧
ˆ V = Bx − l
3.组成法方程 3.组成法方程
第四章 间接平差
第一节 间接平差原理
ˆ 间接平差法（参数平差法）是通过选定 v1 = x1 − ( L1 − X 10 ) 间接平差法（参数平差法） t个独立未知量作为参数，将每个观 v2 = x2 − ( L2 − X 20 ) 个独立未知量作为参数， ˆ 测值分别表达成这t个参数的函数， 测值分别表达成这t个参数的函数， v3 = − x1 − x2 − ( L3 + X 10 + X 20 − 180) ˆ ˆ 建立函数模型，按最小二乘原理， 建立函数模型，按最小二乘原理， T 用求自由极值的方法解出参数的最 要求 V PV = min X1 或然值， 或然值，从而求得各观测值的平差 值。
3
第四章 间接平差
第一节
二、计算步骤 1.确定t,选 个独立量为参数X. 1.确定t,选t个独立量为参数X. 确定t, 2.列立误差方程 2.列立误差方程 ˆ L + V = BX + d 或
ˆ 或L + V = f ( X )
间接平差原理
4.解算法方程 4.解算法方程,求参数的改正数 解算法方程,
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ˆ ˆ ˆ ˆ [vv] = ( X 1 − L1 ) 2 + ( X 2 − L2 ) 2 + (− X 1 − X 2 + 180 − L3 ) 2 = min
∂[vv] ˆ ˆ ˆ = 2( X 1 − L1 ) − 2(180 − X 1 − X 2 − L3 ) = 0 ˆ ∂X 1 ∂[vv] ˆ − L ) − 2(180 − X − X − L ) = 0 ˆ ˆ = 2( X 2 2 1 2 3 ˆ ∂X 2 ˆ ˆ 2 X 1 + X 2 − 180 − L1 + L3 = 0 (1) ⇒ ˆ ˆ 基础方程 X 1 + 2 X 2 − 180 − L2 + L3 = 0 (2) ˆ (2) × 2 − (1) ⇒ 3 X − 180 + L − 2 L + L = 0
T
−1
间接平差原理
ˆ X1
ˆ X2
4.解算法方程 4.解算法方程
观测值 平差值
ˆ x1 5 − 1 11 1 2 1 11 1.7 x = − 1 2 ⋅ − 7 = 9 ⋅ 1 5 ⋅ − 7 = − 2.7 ( mm) ˆ2 ˆ h1 h1 v1 1.003 1.0047 1.7 ˆ h2 = h2 + v 2 = 0.501 (m) + 2.7 ( mm) = 0.5037 (m) ˆ h h3 v3 0.503 0.5003 − 2.7 5.求改正数 5.求改正数 3 ˆ h4 h4 v 4 0.505 0.5047 − 0.3 T
L t1 L t2 L L L tn
ˆ L + V = BX + d
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第四章 间接平差
第一节
ˆ L + V = BX + d
间接平差原理
将基础方程第一式代入第二式，得： 将基础方程第一式代入第二式，
令：
ˆ ˆ X = X0 +x l = L − ( BX 0 + d )
6
第四章 间接平差
第二节
一、参数个数的确定 参数的个数等于必要观测个数。 参数的个数等于必要观测个数。
误差方程的列立
二、参数的选取
可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 水准网：有已知点：等于待定点个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 无已知点：待定点数减1 无已知点：待定点数减1。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 测角网：有四个必要的起算数据， 测角网：有四个必要的起算数据，等于 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 倍待定点数。 2倍待定点数。 三、误差方程的列立 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 方法： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 倍总点数减4 2倍总点数减4。 水准网和GPS网一般是线性的 网一般是线性的， 测边网、边角网、导线网：有四个必要 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 测边网、边角网、导线网： 的起算数据，等于2倍待定点数。 的起算数据，等于2倍待定点数。 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数： 少于四个必要起算数据， 少于四个必要起算数据，等于 ˆ ˆ Y − YD Y − YD 倍总点数减3 ˆ 2倍总点数减3。 ˆ ˆ L1 = α DB − α DA = arctan B − arctan A
B T PV = 0
P为对角阵 基础方程
ˆ V = Bx − l B T PV = 0
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ˆ ˆ ˆ [ paa ]x1 + [ pab]x 2 + L + [ pat ] xt = [ pal ] ˆ ˆ ˆ [ pab] x1 + [ pbb]x 2 + L + [ pbt ]xt = [ pbl ] LLLLLLL ˆ ˆ ˆ [ pat ] x1 + [ pbt ]x 2 + L + [ ptt ] xt = [ ptl ]
0 − 7 l= 0 2
ˆ v 4 = x1 − (h4 − X 10 + H B )
2011-9-23
2 0 P= 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2
第四章 间接平差
第一节
3.组成法方程 3.组成法方程
5 − 1 N bb = B PB = − 1 2 11 W = BT Pl = − 7 ˆ 5 − 1 x1 11 ⋅ − = 0 − 1 2 x ˆ2 − 7
ˆ XB − XD
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ˆ XA − XD
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第四章 间接平差
第二节 误差方程的列立
二、参数的选取 可以选直接观测值的平差值，也可以选 可以选直接观测值的平差值， 非直接观测量的平差值， 非直接观测量的平差值，甚至二者 兼而有之。要保证参数独立 参数独立。 兼而有之。要保证参数独立。 水准网一般选待定点高程平差值； 水准网一般选待定点高程平差值； 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三角网和导线网选待定点坐标平差值。 三、误差方程的列立 再如下图的测边网： 再如下图的测边网： 方法：把观测值表示成所选参数的函数 方法： 水准网和GPS网一般是线性的 水准网和GPS网一般是线性的，三角网 网一般是线性的， 和导线网一般为非线性的。 和导线网一般为非线性的。如图测 角网， 点坐标平差值为参数： 角网，选D点坐标平差值为参数：
ˆ V = Bx − l = [1.7,2.7,−2.7,−0.3]
参数平差值
6.求平差值 6.求平差值
2011-9-23
ˆ ˆ X 1 X 10 x1 12.003 1 .7 12.0047 = 0 + = ˆ (m) + − 2.7 (mm) = 12.5083 ( m) ˆ X 2 X 2 x 2 12.511
0 ˆ 选定t 选定t个独立参数 X 近似值取为 X ，有
2 1 1 ˆ L1 = X 1 = + L1 − L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 2 1 ˆ L 2 = X 2 = − L1 + L2 − L3 + 60 3 3 3 ∧ 1 1 2 L 3 = − L1 − L2 + L3 + 60 观测值 3 3 3