2018届高三上学期半期数学(理科)测试题

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．
1. 已知集合则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故选B.
点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2. 已知向量，当时，实数的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,则,故选A.
3. 已知命题，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题的否定,故选D.
4. 下列函数既是奇函数又在上单调递减的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A,是偶函数,不合题意;
选项B, B. 在上单调递减,在上单调递增,不合题意;
选项C,=0,函数是奇函数,又在上单调
递减,则在上单调递减,符合题意;
选项D,在上单调递增,不合题意;
故选C.
5. 等比数列的各项均为正数，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】等比数列,
=10,故选D.
6. 对于任意实数以下四个命题：；
；；.
其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于,命题正确;对于,命题正确;对于,不正确,如;对于不正确,如
;综上可得,正确的个数是个,故选B.
7. 已知向量共线，其中则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
8. 已知中，若G为的重心，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】=
=4,故选C.
点睛:本题考查平面向量基本定理的应用以及数量积的应用. 平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
9. 若满足约束条件则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意画出可行域如图所示,表示斜率为-2的平行直线系,当经过点
B(-1,-1)时,的最小值为-3,故选A.
10. 在中，，，分别是角，，的对边，且，，
那么周长的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】, ,解得或1(舍去),则,由正弦定理,则周长为
=
,又,当时,周长取到最大值为,故
选C.
点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据
条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.
11. 数列为递增的等差数列，其中则
数列的通项公式为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,
,又数列为递增的等差数列，则,即,解得或,当时，, ;当
时, ,不合题意舍去,故应选B.
12. 设函数与有公共点，且在公共点处的切线方
程相同，则实数的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,可得,由(1)得,解得或(舍去),代入(2)得, ，构造
，则在上单调递减，在上单调递增，即的最小值为，所以的最大值为，故选A.
点睛:本题考查导数的几何意义以及函数的最值问题. 求曲线的切线方程是导数的重要应用
之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点
的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. ________.
【答案】
【解析】试题分析：，故答案为2.
考点：定积分的计算
14. 函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】由题意得,解得,故填.
15. 已知为锐角，且则_________.
【答案】
【解析】由题意
,即,又为锐角，则,故填.
16. 已知函数若函数只有一个零
点，则函数的最小值是_________.
【答案】
【解析】, 是奇函数, 又
,则函数在上单调递增,由题意可得
, 根据函数单调得,
,即与只有一个交点,所以,函数
当且仅当取等号,故应填.
点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性,以及函数与方程的思想和基本不等式的应用. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能
答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．
17. 若函数
（I）求的最小正周期；
（II）求在时的最小值，并求相应的取值集合.
【答案】(1) ;(2) 详见解析.
【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,即可求出最小正周期；(2)根据正弦函数的有界性可得 , 解出x并写成集合形式即可.
试题解析:
（I）,
.
（II）
,
18. 已知在等差数列中，为其前项和，,；等比数列的前项和
.
（I）求数列，的通项公式；
（II）设,求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行基本量运算,得出数列,
再由的前项和求出数列;(2),利用错位相减法求出数列的前项和.
试题解析:
（I）设等差数列的首项为公差为，
且满足上式，
（II）
点睛: 用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19. 设的内角的对边分别为已知
（I）求；
（II）若求的面积.
【答案】(1) (2) .
【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边a,b,c化成角的正弦值,用两角和与差的正弦公式化简,可求出角B;(2)由余弦定理求出边a,根据三角形的面积公式求解即可.
试题解析:
（I）由已知以及正弦定理可得
（II）由（I）以及余弦定理可得 .
.
20. 已知函数的图象经过点，且在取得极值．
（I）求实数的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)的图象经过点，;即,解方程组得出a,b的值;(2)由题意可
得,,即和是函数的极值点,函数
在区间上不单调,则解出m 的范围即可.
试题解析:
（1）的图象经过点，
①
又，
则即②
由①②解得
（2）由得：
令
当
当
∵函数在区间上不单调
21. 已知数列中，
（I）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（II）求证：
【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析.
...............
试题解析:
（I）由题设知数列是首项为,公比为的等比数列,
（II）
22. 已知函数，在定义域内有两个不同的极值点
（I）求的取值范围；
（II）求证：
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点
, 令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明, 即证
,,
,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.
试题解析:
（I）令由题意可知,
当
（II）由题意及（I）可知，即证。